2018年优课系列高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件(25张)1
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Hale Waihona Puke C b A aB p
P
xa, yb分别与a， b共线，
xa, yb都在a， b确定的平面内
并且此平行四边形在 a， b确定的平面内，
p xa yb在a， b确定的平面内 ,即p与a， b共面
2.共面向量定理：如果两个向量 a ， b 不共线， 则向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是
也可以缩小（当 <1时），同时，我们可以 不改变向量a的方向（当 >0 时），也可以改
关于实数与向量的积 a 的理解：
变向量a的方向（当 <0时）。
3、实数与向量的积满足的运算律： 设、 为实数，那么： （结合律）
（1） （）a ( )a
（ 2） （
）a a a（分配律）
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
a 1e1 2e2
如果空间向量 p 与两不共线向量 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb
a， b 共
a ，b，如 反过来，对空间任意两个不共线的向量 p 与向量 a , b 有什么位 果 p x y ，那么向量 b 置关系？
(1 t)OA tOB
O
1 则有 特别的，当t = 时， 2
1 OP (OA OB) 2
P点为A,B 的中点
A、B、P三点共线
AP t AB
OP OA t AB
OP xOA yOB( x y 1)
练习1.对于空间任意一点O，下列命题正 确的是： A
A.若 OP OA t AB B.若 3OP OA AB C.若 OP OA t AB
a // b (b 0)
对空间任意两个向量 a ， b (b 0)
a b (b 0)
。 存在实数λ,使 a b (b 0).
a b (b 0)
a // b (b 0)
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
a
A
a
B
P
由 l // a 知存在唯一的t, 满足
AP t a
对空间任意一点O,
l
O
AP OP OA,
即 若在l上取
所以 OP OA ta ①
OP OA ta
AB a则有
OP OA t AB
②
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.
由此可判断空间任意三点共线。.
OP OA t AB
进一步，OP还可表示为：
1-t OA ____ t OB OP ____
因为 所以
A
a
B
P
AB OB OA,
OP OA t(OB OA)
（分配律）
（3）（a b) a b
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
书本P89练习、1
A
D
(1) AB BC CD 1 ( 2) AB ( BD BC) 2 1 (3) AF ( AB AC) 2
F B
E
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D
B
C
完成课本P89、3 P97 A组1（3）（4）、2
二、1、共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
的充要条件是：存在唯一 问题：平面向量中， a // b (b 0)
的实数
，使 a b .
能否推广到空间向量中呢？
2、共线向量定理:
a // b (b 0)
3.1.2空间向量的数乘运算
已知非零向量 （如图） a
a
试作出： a + a + a和 ( - a)+( - a )+( - a)
a
O A
a
B
a
C
3a
-a
-a
M Q
-a
- 3a N
a
P
a( 0)
a( 0)
一、空间向量的数乘运算
1、定义：实数和向量 a 的乘积是一个向量， 记作 a ，称为向量的数乘运算 。 2、 a的方向和长度如下：
D.若 OP OA AB
，则P、A、B共线
B P A
，则P是AB的中点 O
，则P、A、B不共线
，则P、A、B共线
三、三、1、共面向量:
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做
共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
注意： 向量共线定理是证明两直线平行的常用 方法，但是要注意向量平行与直线平行 是有区别的，直线平行不包括共线的情 况，而向量平行包括共线的情况，（平 行向量与共线向量是一样的）如果要用 此定理判断 a, b 所在直线平行，还需要 说明 a(或b) 上有一点不在 b(或a) 上。
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC ) (2) AE AA ' x AB y AD
' '
(3) AF AD x AB y AA '
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
1）方向： 当 0时， a与向量a的方向相同； 当 0时， a与向量a的方向相反； 当 0时或a 0时， a 0. （即非零向量a与 a ( 0)的方向要么相同， 要么相反。）
2）大小： a的长度是 a的长度的 倍。
我们可以把向量a的长度扩大（当 >1时）
P
xa, yb分别与a， b共线，
xa, yb都在a， b确定的平面内
并且此平行四边形在 a， b确定的平面内，
p xa yb在a， b确定的平面内 ,即p与a， b共面
2.共面向量定理：如果两个向量 a ， b 不共线， 则向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是
也可以缩小（当 <1时），同时，我们可以 不改变向量a的方向（当 >0 时），也可以改
关于实数与向量的积 a 的理解：
变向量a的方向（当 <0时）。
3、实数与向量的积满足的运算律： 设、 为实数，那么： （结合律）
（1） （）a ( )a
（ 2） （
）a a a（分配律）
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
a 1e1 2e2
如果空间向量 p 与两不共线向量 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb
a， b 共
a ，b，如 反过来，对空间任意两个不共线的向量 p 与向量 a , b 有什么位 果 p x y ，那么向量 b 置关系？
(1 t)OA tOB
O
1 则有 特别的，当t = 时， 2
1 OP (OA OB) 2
P点为A,B 的中点
A、B、P三点共线
AP t AB
OP OA t AB
OP xOA yOB( x y 1)
练习1.对于空间任意一点O，下列命题正 确的是： A
A.若 OP OA t AB B.若 3OP OA AB C.若 OP OA t AB
a // b (b 0)
对空间任意两个向量 a ， b (b 0)
a b (b 0)
。 存在实数λ,使 a b (b 0).
a b (b 0)
a // b (b 0)
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
a
A
a
B
P
由 l // a 知存在唯一的t, 满足
AP t a
对空间任意一点O,
l
O
AP OP OA,
即 若在l上取
所以 OP OA ta ①
OP OA ta
AB a则有
OP OA t AB
②
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.
由此可判断空间任意三点共线。.
OP OA t AB
进一步，OP还可表示为：
1-t OA ____ t OB OP ____
因为 所以
A
a
B
P
AB OB OA,
OP OA t(OB OA)
（分配律）
（3）（a b) a b
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
书本P89练习、1
A
D
(1) AB BC CD 1 ( 2) AB ( BD BC) 2 1 (3) AF ( AB AC) 2
F B
E
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D
B
C
完成课本P89、3 P97 A组1（3）（4）、2
二、1、共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
的充要条件是：存在唯一 问题：平面向量中， a // b (b 0)
的实数
，使 a b .
能否推广到空间向量中呢？
2、共线向量定理:
a // b (b 0)
3.1.2空间向量的数乘运算
已知非零向量 （如图） a
a
试作出： a + a + a和 ( - a)+( - a )+( - a)
a
O A
a
B
a
C
3a
-a
-a
M Q
-a
- 3a N
a
P
a( 0)
a( 0)
一、空间向量的数乘运算
1、定义：实数和向量 a 的乘积是一个向量， 记作 a ，称为向量的数乘运算 。 2、 a的方向和长度如下：
D.若 OP OA AB
，则P、A、B共线
B P A
，则P是AB的中点 O
，则P、A、B不共线
，则P、A、B共线
三、三、1、共面向量:
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做
共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
注意： 向量共线定理是证明两直线平行的常用 方法，但是要注意向量平行与直线平行 是有区别的，直线平行不包括共线的情 况，而向量平行包括共线的情况，（平 行向量与共线向量是一样的）如果要用 此定理判断 a, b 所在直线平行，还需要 说明 a(或b) 上有一点不在 b(或a) 上。
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC ) (2) AE AA ' x AB y AD
' '
(3) AF AD x AB y AA '
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
1）方向： 当 0时， a与向量a的方向相同； 当 0时， a与向量a的方向相反； 当 0时或a 0时， a 0. （即非零向量a与 a ( 0)的方向要么相同， 要么相反。）
2）大小： a的长度是 a的长度的 倍。
我们可以把向量a的长度扩大（当 >1时）