精选2019届四川省成都市中考数学模拟试卷(四)(有答案解析)

2019届四川省成都市中考模拟试卷（四）
数学
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．（3 分）实数a 在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a 按照从小到大的顺序排列，
2
正确的是（）
A．﹣a＜a＜a B．a＜﹣a＜a C．﹣a＜a ＜a D．a＜a ＜﹣a
2222
2．一个正常人的心跳平均每分钟70 次，一天大约跳的次数用科学记数法表示这个结果是（）
A．1.008×10 B．100.8×10 C．5.04×10D．504×102
534
3．（3 分）如图，在下列四个几何体中，从正面、左面、上面看不完全相同的是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
4．（3 分）在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P （﹣3，﹣），P 点关于x 轴的
1
对称点为P （a，b），则=（）
2
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
5．（3 分）下列各式计算正确的是（）
A．（﹣3x ）=9x B．（a﹣b）=a ﹣b C．a a=a D．x +x =x
326222326224
6．（3 分）如图，AD⊥CD，AE⊥BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE．则下列结论
①△ABE≌△ACD
②AM=AN：
③△ABN≌△ACM；
④BO=EO．
其中正确的有（）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
7．（3 分）某学校七年级1 班统计了全班同学在1～8 月份的课外阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图，下列说法正确的是（）
A．极差是47 B．中位数是58
C．众数是42 D．极差大于平均数
8．（3 分）解分式方程+=3 时，去分母后变形正确的是（）
A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x ﹣1）
9．（3 分）如图，在平行四边形ABCD 中，BD⊥AD，以BD 为直径作圆，交于AB 于E，交CD 于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．πC．30 ﹣12πD．π
10．（3 分）已知y 关于x 的函数表达式是y=ax ﹣2x﹣a，下列结论不正确的是（）
2
A．若a=1，函数的最小值是﹣2
B．若a=﹣1，当x≤﹣1 时，y 随x 的增大而增大
C．不论a 为何值时，函数图象与x 轴都有两个交点
D．不论a 为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣2）和（﹣1，2）
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是．
12．（4分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有
13．（4分）若，则=．
个．
14．（4分）已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A=．
三．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
15．（4分）分解因式：16m﹣4=．
2
16．（4分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为．
17．（4分）世界著名的莱布尼兹三角形如图所示，其排在第8行从左边数第3个位置上的数是．
18．（4分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=3，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tan∠EFG的值为．
19．（4分）一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点，则使kx+b的x的取值范围是．
四．解答题（共6小题，满分54分）
20．（12分）（1）计算：（﹣2）﹣+（+1）﹣4cos60°；
22
（2）化简：÷（1﹣）
21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k，k是实数．
2
（1）求证：方程有两个不相等的实数根：
（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）
22．（8分）某校为了解八年级500名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组：A组：37.5～42.5，B组：42.5～47.5，C组：47.5～52.5，D组：52.5～57.5，E组：57.5～62.5，并依据统计数据绘制了如下两个不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是
（2）抽取的学生体重中位数落在
；在扇形统计图中D组的圆心角是度．
组；
（3）请你估计该校八年级体重超过52kg的学生大约有多少名？
（4）取每个小组的组中值作为本组学生的平均体重（A组的组中值为
估计该校八年级500名学生的平均体重．
=40），请你
23．（8分）如图，在一笔直的沿湖道路上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏东15°的方向，AB=4km．
（1）求观光岛屿C与码头A之间的距离（即AC的长）；
（2）游客小明准备从观光岛屿C乘船沿甜回到码头A或沿CB回到码头B，若开往码头A、B
的游船速度相同，设开往码头A、B所用的时间分别是t、t，求的值．（结果保留根号）
12
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB ═，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线EB的解析式；
（3）求S△OEB．
25．（10分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
五．解答题（共3小题，满分30分）
26．（8分）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是千米/时，乙车行驶的时间t=小时；
（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米．
27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC 的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A 和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A O B，点A、O、
111
B的对应点分别是点A、O、B．若△A O B的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点
111111
A的横坐标．
1
2019年四川省成都市中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分27分）
1．（3分）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a按照从小到大的顺序排列，
2
正确的是（）
A．﹣a＜a＜a B．a＜﹣a＜a C．﹣a＜a＜a D．a＜a＜﹣a
2222
【解答】解：由数轴可得：
﹣1＜a＜0，则﹣a＞0，
则a＜a＜﹣a，
2
故选：D．
2．一个正常人的心跳平均每分钟70次，一天大约跳的次数用科学记数法表示这个结果是（）
A．1.008×10B．100.8×10C．5.04×10D．504×102
534
【解答】解：∵一个正常人的平均心跳速率约为每分钟70次，
∴一天24小时大约跳：24×60×70=10080=1.008×10（次）．
5
故选：A．
3．（3分）如图，在下列四个几何体中，从正面、左面、上面看不完全相同的是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
【解答】解：球的三视图均为圆、正方体的三视图均为正方形，
而圆柱体和圆锥的三视图不完全相同，
故选：B．
4．（3 分）在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为P （﹣3，﹣），P 点关于x 轴的
1
对称点为P （a，b），则=（）
2
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【解答】解：∵P 点关于原点的对称点为P （﹣3，﹣），
1
∴P（3，），
∵P 点关于x 轴的对称点为P （a，b），
2
∴P （3，﹣），
2
∴==﹣2．
故选：A．
5．（3 分）下列各式计算正确的是（）
A．（﹣3x ）=9x B．（a﹣b）=a ﹣b C．a •a=a D．x +x =x
326222326224
【解答】解：A、（﹣3x ）=9x ，正确；
326
B、（a﹣b）=a ﹣2ab+b ，错误；
222
C、a •a=a ，错误；
325
D、x +x =2x ，错误；
222
故选：A．
6．（3 分）如图，AD⊥CD，AE⊥BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE．则下列结论
①△ABE≌△ACD
②AM=AN：
③△ABN≌△ACM；
④BO=EO．
其中正确的有（）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【解答】解：∵AD⊥CD，AE⊥BE，
∴∠D=∠E=90°，
由得出Rt△ADC≌Rt△ABE，故①正确；
∴∠B=∠C，
由得出△ABN≌△ACM，故③正确，
∴AN=AM，故②正确；
但不能得出BO=EO，
故选：B．
7．（3 分）某学校七年级1 班统计了全班同学在1～8 月份的课外阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图，下列说法正确的是（）
A．极差是47 B．中位数是58
C．众数是42 D ．极差大于平均数
【解答】解：A、极差=83﹣28=55≠47，错误；
B、中位数是（58+58）÷2=58 ，正确；
C、众数是58，错误；
D、平均数=，错误；
故选：B．
8．（3分）解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（）
A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3D．2﹣（x+2）=3（x ﹣1）
【解答】解：方程变形得：﹣=3，
去分母得：2﹣（x+2）=3（x﹣1），
故选：D．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD 于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．π C．30﹣12π D．π
【解答】解：连接OE，OF．
∵BD=12，AD：AB=1：2，
∴AD=4，AB=8，∠ABD=30°，
∴S△ABD==24，S=
扇形
=6π，S△OEB==9，
∵两个阴影的面积相等，
∴阴影面积=2×（24﹣6π﹣9）=30﹣12π．
故选：C．
10．（3分）已知y关于x的函数表达式是y=ax﹣2x﹣a，下列结论不正确的是（）
2
A．若a=1，函数的最小值是﹣2
B．若a=﹣1，当 x≤﹣1时，y随x的增大而增大
C．不论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
D．不论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣2）和（﹣1，2）
【解答】解：∵y=ax﹣2x﹣a，
2
∴当a=1时，y=x﹣2x﹣1=（x﹣1）﹣2，则当x=1时，函数取得最小值，此时y=﹣2，故选项22
A正确，
当a=﹣1时，该函数图象开口向下，对称轴是直线x=﹣==﹣1，则当x≤﹣1时，y随x 的增大而增大，故选项B正确，
当a=0时，y=﹣2x，此时函数与x轴有一个交点，故选项C错误，
当x=1时，y=a×1﹣2×1﹣a=﹣2，当x=﹣1时，y=a×（﹣1）﹣2×（﹣1）﹣a=2，故选项22
D正确，
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是88°，90°，99°，108°，116°．
【解答】解：如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90°
当∠ACB=48°时，有以下4种情况，
故答案为：88°，90°，99°，108°，116°
12．（4分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有2个．
【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，
∴=，
解得：n=2．
故答案为：2．
13．（4分）若，则=．
【解答】解：∵，
∴3x+3y=5y﹣5x，
∴3x+5x=5y﹣3y，
∴8x=2y，
∴=．
故答案为：．
14．（4分）已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A=45°．
【解答】解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，
∴DA=DC，EB=ED，
∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=∠DEC=60°，
而∠DEC=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=×60°=30°，
∴∠CDB=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A=45°．
故答案为45°．
三．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
15．（4分）分解因式：16m﹣4=4（2m+1）（2m﹣1）．
2
【解答】解：原式=4（4m﹣1）=4（2m+1）（2m﹣1），
2
故答案为：4（2m+1）（2m﹣1）
16．（4分）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为．
【解答】解：根据题意，AB=AE+BE=13，
222
∴S ABCD=13，
正方形
∵△ABE≌△BCF，
∴AE=BF=3，∵BE=2，
∴EF=1，
∴S EFGH=1，
正方形
，故飞镖扎在小正方形内的概率为．
故答案为．
17．（4分）世界著名的莱布尼兹三角形如图所示，其排在第8行从左边数第3个位置上的数是．
【解答】解：∵第8行最后一个数是，第7行最后一个数是，第6行最后一个数是，
∴第7行倒数第二个数是﹣=，第8行倒数第二个数是﹣=，
∴第8行倒数第三个数是﹣=
故答案是：．
，
18．（4分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=3，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tan∠EFG的值为．
【解答】解：如图，连接AE交GF于O，连接BE，BD，则△BCD为等边三角形，
∵E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠EBF=∠BEC=90°，
Rt△BCE中，CE=cos60°×3=1.5，BE=sin60°×3=∴Rt△ABE中，AE=，
，
由折叠可得，AE⊥GF，EO=AE=，设AF=x=EF，则BF=3﹣x，
∵Rt△BEF中，BF+BE=EF，
222
∴（3﹣x）+（）=x，
222
解得x=，即EF=，
∴Rt△EOF中，OF==，
∴tan∠EFG==故答案为：．
．
19．（4分）一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点，则使kx+b的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
【解答】解：把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入y=，
得﹣m=﹣2，﹣n=﹣2，
解得m=2，n=2，
所以A点坐标为（﹣1，2），B点坐标为（2，﹣1），
把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入y=kx+b得
，
解得，
所以这个一次函数的表达式为y=﹣x+1，
函数图象如图所示：
根据图象可知，使kx+b的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
四．解答题（共6小题，满分54分）
20．（12分）（1）计算：（﹣2）﹣+（+1）﹣4cos60°；
22
（2）化简：÷（1﹣）
【解答】解：（1）原式=4﹣2+2+2+1﹣4×
=7﹣2
=5；
（2）原式=÷
=
=．
21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k，k是实数．
2
（1）求证：方程有两个不相等的实数根：
（2）当k的值取﹣2、0、2时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）【解答】（1）证明：原方程可变形为x﹣5x+4﹣k=0．
22
∵△=（﹣5）﹣4×1×（4﹣k）=4k+9＞0，
222
∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：原方程可化为x﹣5x+4﹣k=0．
22
∵方程有整数解，
∴x=为整数，
∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．
22．（8分）某校为了解八年级500名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组：A组：37.5～42.5，B组：42.5～47.5，C组：47.5～52.5，D组：52.5～57.5，E组：57.5～62.5，并依据统计数据绘制了如下两个不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是50；在扇形统计图中D组的圆心角是72度．
（2）抽取的学生体重中位数落在C组；
（3）请你估计该校八年级体重超过52kg的学生大约有多少名？
（4）取每个小组的组中值作为本组学生的平均体重（A组的组中值为
估计该校八年级500名学生的平均体重．
=40），请你
【解答】解：（1）16÷32%=50，360°×=72°，
故答案为：50，72；
（2）B组的人数为50﹣4﹣16﹣10﹣8=12，4+12+16=32＞25，
∴抽取的学生体重中位数落在C组；
故答案为：C．
（3）由频数分布直方图可得，D，E两组学生的体重超过52kg，
∴500×=180，
即该校八年级体重超过52kg的学生大约有180名；
（4）A、B、C、D、E五组的组中值分别为40，45，50，55，60，
∴抽取的50名学生的平均体重为（40×4+45×12+50×16+55×10+60×8）=50.6（kg），
∴该校八年级500名学生的平均体重为50.6kg．
23．（8分）如图，在一笔直的沿湖道路上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏东15°的方向，AB=4km．
（1）求观光岛屿C与码头A之间的距离（即AC的长）；
（2）游客小明准备从观光岛屿C乘船沿甜回到码头A或沿CB回到码头B，若开往码头A、B
的游船速度相同，设开往码头A、B所用的时间分别是t、t，求的值．（结果保留根号）
12
【解答】解：（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D．
根据题意得∠CAB=30°，∠ABC=105°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=60°，
∴∠CBD=45°，
在Rt△ABD中，∠CAB=30°，AB=4km，
∴BD=ABsin30°=2km，AD=ABcos30°=2km，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴CD=BDtan45°=2km，
AC=AD+CD=（2+2）km；
（2）在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BC=BD=2km，
∵速度相同，
∴===．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB ═，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线EB的解析式；
（3）求S△OEB．
【解答】解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，
∴AB=6，
∵cos∠OAB═=，
∴，
∴OA=10，
由勾股定理得：OB=8，
∴A（8，6），
∴D（8，），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=8×=12，
∴反比例函数的解析式为：y=；
（2）设直线OA的解析式为：y=bx，
∵A（8，6），
∴8b=6，b=，
∴直线OA的解析式为：y=x，
则，
x=±4，
∴E（﹣4，﹣3），
设直线BE的解式为：y=mx+n，
把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，
解得：，
∴直线BE的解式为：y=x﹣2；
（3）S△OEB=OB|y|=×8×3=12．
E
25．（10分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵OD⊥AC，
∴=，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴=，即+=+，
∴=，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF=1×=，
则AC=2AF=；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF、EC=EF，
又∵AO=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO﹣OF=1﹣t，
∴1﹣t=2t，
解得：t=，
则DF=BC=、AC===，∴EF=FC=AC=，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
则cot∠ABD=cot∠D==
（3）如图2，
=；
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=
=180，
，
则+2×
解得：n=4，
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，
∴BC=AC=，
∵∠AFO=90°，
∴OF=AOcos∠AOF=，
则DF=OD﹣OF=1﹣，
∴S△ACD=ACDF=××（1﹣）=．
五．解答题（共3小题，满分30分）
26．（8分）如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B 地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是80千米/时，乙车行驶的时间t=6小时；
（2）求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米．
【解答】解：（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t=480÷80=6（小时）；（2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，
∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，
∴结合函数图象可知，当x=时，y=300；当x=5时，y=0；
设甲车从C地按原路原速返回A地时，即≤x≤5，
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=kx+b，
将函数关系式得：，
解得：，
故甲车从C地按原路原速返回A地时，
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=﹣120x+600；（3）由题意可知甲车的速度为：=120（千米/时），
设甲车出发m小时两车相距80千米，有以下两种情况：
①两车相向行驶时，有：120m+80（m+1）+80=480，
解得：m=；
②两车同向行驶时，有：600﹣120m+80（m+1）﹣80=480，
解得：m=3；
③两车相遇之后，甲返回前，有120m+80（m+1）﹣80=480，
解得：m=；
∴甲车出发小时或3小时或两车相距80千米．
故答案为：（1）80，6．
27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC 的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA（SAS），
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH=，
Rt△ACH中，AH=
∴AE=AH+EH=4．
=3，
28．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A 和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A O B，点A、O、
111
B的对应点分别是点A、O、B．若△A O B的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点
111111
A的横坐标．
1
【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），
∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y=x﹣1，
∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），
∴n=×4﹣1=2，
∵抛物线y=x+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
2
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣1；
2
（2）令y=0，则x﹣1=0，
解得x=，
∴点A的坐标为（，0），
∴OA=，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB===，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，
DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，
∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t，t﹣t﹣1），E（t，t﹣1），
2
∴DE=（t﹣1）﹣（t﹣t﹣1）=﹣t+2t，
22
∴p=×（﹣t+2t）=﹣t+t，
22
∵p=﹣（t﹣2）+，且﹣＜0，
2
∴当t=2时，p有最大值；
（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A O∥y轴时，B O∥x轴，设点A的横坐标为x，
11111
①如图1，点O、B在抛物线上时，点O的横坐标为x，点B的横坐标为x+1，
1111
∴x﹣x﹣1=（x+1）﹣（x+1）﹣1，
22
解得x=，
②如图2，点A、B在抛物线上时，点B的横坐标为x+1，点A的纵坐标比点B的纵坐标大，
11111
∴x﹣x﹣1=（x+1）﹣（x+1）﹣1+，
22
解得x=﹣，
综上所述，点A的横坐标为或﹣．
1。