KdV-mKdV方程的精确解

KdV-mKdV方程的精确解
王艳红;王振辉;毛星星
【摘要】KdV-mKdV equation is found in the earliest and is the most representative of nonlinear evolution e-quations in history. It has very important application in mathematics, physics, engineering and other fields. Recent years we find more and more solutions. In this paper, we construct some new exact solutions for KdV-mKdV equation by using hyperbolic function expansion method, and extended tanh method. The method of this paper can also be extended to other nonlinear partial differential equations. In addition, the obtaining of the exact solutions will provide a necessary foundation for the approximate calculation, theorem analysis and other real problems.%KdV-mKdV方程是发现最早且最具代表性的非线性发展方程,在数学、物理、工程等领域,都有十分重要的应用前景.近些年来,对它的精确解的求解问题的研究不断增多.采用双曲正切函数展开法和推广的tanh 法,对KdV-mKdV方程构造并分别求解,得到一些新的精确解.这种方法也可进一步推广用于求解其他非线性偏微分方程.另外,精确解的获得可为近似计算、定理分析等现实问题提供基础.
【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(032)001
【总页数】4页(P118-121)
【关键词】KdV-mKdV方程;精确解;双曲函数展开法;推广的tanh法
【作者】王艳红;王振辉;毛星星
【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000
【正文语种】中文
【中图分类】O175
0 引言
随着科学技术的迅速发展，科学研究的主题逐步从线性向非线性转化.非线性现象(如孤子、混沌、分形等)在许多领域被发现，其对应的数学模型——非线性方程应运而生.理解并认识这些非线性现象，最主要的手段就是求解这些非线性方程的精确解析解，并对其解进行科学分析.目前，求解非线性发展方程的方法有很多，如Backlund变换、双线性法、齐次平衡法、椭圆函数法、李群法，等等.本文考虑组合KdV-mKdV方程：
ut+(α+βuγ)uγux+εuxxx=0.
(1)
该模型可以很好地描述在具有非谐束缚粒子的一维非线性晶格中的波传播.特别是在等离子体物理中，方程描述了小振幅粒子声波的传播；在固体物理中，方程被用于解释通过氟化钠单晶的热脉冲传播.该方程也是流体力学中的重要模型.
当β=0,γ=1时,方程(1)即为KdV方程
ut+uux+αuxxx=0，
(2)
而当α=0,γ=1时,方程(1)还原为mKdV方程
ut+αu2ux+uxxx=0.
(3)
式(1)-(3)中:α,β,γ,ε均为实常数.
1 定理的证明
假设γ=1，代入方程(1)得
ut+(α+βu)uux+εuxxx=0,
(4)
做行波变换
u=u(ξ),ξ=k(x-ct),
(5)
式中：k,c为待定常数.
将式(5)带入式(4)得到
-kcu′+(α+βu)uku′+εk3u‴=0,
(6)
又因k≠0，所以
-cu′+(α+βu)uu′+εk2u‴=0.
(7)
1.1 精确解——双曲正切函数展开法
假设方程(7)具有如下双曲正切函数多项式形式的解，即
(8)
式中：系数ai(i=0,…，m)为待定参数.
将式(8)代入方程(7)，平衡方程(7)中线性最高阶导数项εuxxx与最高阶非线性项(α+βu)uux的幂次，线性最高阶导数项幂次为m+3,非线性项的幂次为2m+m+1.因此，根据幂次平衡，有2m+m+1=m+3，得到m=1.
将m=1代入方程(7)拟解的形式为u=a0+a1f. 由
u′=(a0+a1f)′=a1(1-f2)，
(9)
u″=(u′)′=-2a1ff′=-2a1f3,
(10)
u‴=(1-f2)(6a1f2-2a1).
(11)
将式(9)-(11)代入到方程(7)得
-ca1(1-f2)+[α+β(a0+a1f)](a0+a1f)
a1(1-f2)+εk2(1-f2)(6a1f2-2a1)=0.
(12)
整理后得
(13)
不妨记a=a0,b=a1,求得解为
因此，方程(4)存在精确解：
(14)
定理1 方程(4)具有如下形式：
(15)
的精确解.
1.2 精确解——推广的双曲正切函数展开法
假设方程(8)有如下形式的解
(16)
式中：系数di(i=0,…,m)为待定参数；f′满足
平衡方程(7)中线性最高阶导数项εuxxx与最高阶非线性项(α+βu)uux的幂次，得到
r=2(n+1),
(17)
任给一个n，可以得到一个r与之对应.在这里我们取n=1，即
(18)
u(ξ)=d0+d1f.
(19)
方程(18)在不同情况下具有不同种类的行波解，如三角函数解、有理函数解、钟状孤立子解、扭状孤立子解、jacobi椭圆函数解,等等. 以下求解u的各阶导数：
(20)
(21)
u‴
(22)
将式(20)-(22)代入到方程(7)中得
化简并整理后得
令各幂次系数为零，得到如下非线性代数方程组：
3d1c1c3εk2=0,
解该方程组后，得和d≠1为任意常数.取c1=0时，c3=c0=c1=0).
引理方程当c3=c0=c1时，方程具有钟状孤子解、三角函数解和有理函数解，即
定理2 方程(4)具有
c2>0,c4<0
(24)
形式的解.
定理3 方程(4)具有
c2>0,c4<0
(25)
形式的解.
定理4 方程(4)具有
(26)
形式的解.
对u1中各个待定参数赋值，令α=β=ε=1，c=k=1.则则
(27)
用mathematica作图，得到图1和图2.
2 结论
本文利用2种方法，简洁地求得了KdV-mKdV方程的精确解析解.其最大优点是通过变量代换，分别将求解非线性偏微分方程的问题化为求解非线性代数方程组的问题和求解非线性常微分方程的问题，因而较为简洁.本文的方法也可进一步推广用于求解其他非线性偏微分方程.另外，精确解的获得将为近似计算、定理分析等现实问题提供必备的基础.
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