小学生数学思维发展

（2）10～11岁儿童在数概括能力发展中有显著的 变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概 括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式 的一个转折点。
• 刘范等（1983）对8～15岁儿童关于交集概念的 发展进行了研究，结果表明：小学儿童已具有掌 握简单交集概念 。
• 吕静等（1985）研究了儿童面积等分概念的发展。 研究表明：
3～4岁儿童只注意到了玻 璃杯的高度，认为细长的 杯子中水多。5～6岁儿童 似乎意识到了必须同时考 虑杯子的高度和粗细，但 无法进行比较。处于具体 运算阶段的8岁儿童认为， 水既没有增加也没有减少， 水量是不变的（守恒性）。
数量守恒。5岁儿童认为 第一个图的数量相等，第 二图的数量不相等。6～7 岁儿童能够正确辨认。
喻平 yuping1@ 南京师范大学
一、小学生思维发展的相关理论
（一）皮亚杰的思维发展阶段论
1．思维发展的基本假设 （1）认知发展的过程是一个内在结构连续的组织和 再组织过程，过程的进行是连续和经常的，但它 造成的结果是不连续的，因此发展具有阶段性。 （2）发展阶段是按照固定的连续性顺序，一个接一 个出现，它出现的时间可因个人和社会的变化而 不同，但发展的先后顺序不变。
数学核心素养的研究工作1在前面框架基础上以儿童心理发展理论为依据并结合对中小学教师的调查确定各个学段学科核心素养基本的成分完成各个学段学科核2参考国外各种评价理论并结合我国学生的具体情况对各个学段学科核心素养进行水平划分3通过对中小学教师的调查对中小学生的实际测评对建构的评价体系进行检验修订和完善
小学生数学思维发展
（2）前思维运算阶段（2～7岁） • 第一，相对具体性。借助于表象进行思维活动， 还不能进行运算思维。 • 第二，不可逆性。表现为关系是单向的、不可逆 的，不能进行可逆运算，还没有守恒结构。 • 第三。自我中心性。儿童以自我的经验为中心， 只参考自己事物。 • 第四，刻板性。一是在思考眼前问题时，其注意 力还不能转移，还不善于分配；二是的概括事物 的性质时，还缺乏等级观念。
表1 相同试题测定各年级被试正确迅速运算的成绩
年级
二年级
正确率
0.925
速算时间
9分25秒
速度标准差
1.01
三年级 四年级
五年级 P
0.946 0.934
0.952
7分17秒 5分56秒
4分48秒
1.18 1.39
1.84
相邻两个年级之间差异检验P＜0.01
表2 各年级被试在10分钟内完成本年级试题的情况
2. 先模仿，经过半独立性过渡，最后发展到独创编 拟应用题。
实验者把玩具娃娃放到桌子 的不同位置，问儿童：娃娃 看到了什么？ 结果发现：4～5岁的儿童选 择的图片与他们个人的观察 角度一样，而并非玩具娃娃 所看到的。7～9岁的儿童随 着以，观察位置的不同得出 不同的观察结果，但是不能 说出三座山之间的关系。 9～10岁的儿童观察三座山 的结果是不一样的。皮亚杰 得到儿童的判断是以自我为 中心的。
（4）形式运算思维阶段（12岁以后） • 具体运算思维经过不断同化、顺应、平衡，逐步 形成形式运算结构，即进行命题运算思维，与成 人思维接近，达到成熟的思维形式。所谓命题运 算，就是可以在头脑中将形式和内容分开，可以 离开具体的事物，根据假设来进行逻辑推理的思 维。
（二）朱智贤、林崇德的儿童发展理论 他们通过研究得到一些结论： （1）整个小学阶段，小学生逐步从具体形象思维 过渡到以抽象思维为主的形式，但仍然带有很大 的具体性。 （2）小学生的思维由具体形象思维到抽象逻辑思 维的过渡，是思维发展中的飞跃或质变。在这个 过渡中，存在一个转折时期（四年级，约10～11 岁），这个转折时期就是小学生思维发
速度标准差
1.58
三年级
四年级 五年级
0.91
0.89 0.90
2.08
2.43 2.72
研究2：小学生思维独创性的发展研究 • 独创性指标：独立性、发散性、新颖性。 采用自编题目的方法检测。 1. 实物演示编题、根据图画编题、根据数字材料编 题。然后分析不同年级学生自编应用题的水平， 从而观察不同年级学生的水平差异。
• 林崇德（1981）对小学生数概念及运算能力发展 作了研究。首先，确定小学儿童数概括能力为五 个等级： （1）直观概括水平：指标是依靠实物、教具或配合 手指头来掌握10以内的数概念； （2）具体形象概括的运算水平：掌握一定整数的实 际意义、数的顺序和数的组成。 （3）形象抽象概括的运算水平：掌握了整数、小数 和分数的实际意义、大小、顺序和组成，能够从 大量几何图形的集合中概括出几何概念，并掌握 一些几何体的计算公式和定义。
（1）7岁以前，基本上没有面积等分概念，8岁后才 出现面积等分概念的萌芽，9～10岁介于萌芽和过 渡阶段。11岁才达到基本掌握。 （2）儿童面积等分概念的认知水平的发展是形与数 的矛盾统一过程。 （3）各年龄儿童认知水平的发展是由直接感知占主 导地位逐步向抽象推理的间接认知占主导地位的 转化过程。但不论哪种认知成分在某阶段占主导 地位时，常有其它许多种认知成分同时起着作用。 （4）同种认知成分在不同年龄阶段所起的作用，有 着不同质的变化。 （5）启发教育在面积等分概念中，有着一定作用， 在7岁后的有效性才显著增加。
• 张增杰等（1985）对5～15岁儿童掌握概率概念的 认知发展作了研究，得到的结果是： （1）儿童的概率概念随年龄而发展，10岁左右起， 简单概率概念发展加速, 这也许是易于传授概率知 识的时期。 （2）儿童概率概念发展的先后受课题难易的影响。 12岁以上儿童有90%能掌握简单的1/2概率概念， 13岁开始有75%左右能掌握1/3概率概念，而对于 1/6 、2/3概率概念，15岁儿童能掌握的不到25%。 （3）粗略地说，对概率的认识可以按次分为三步， 认识事件的可能性和随机分布，认识可能性的相 对大小，以数量表示概率。
（3）小学生逐步具备了人类思维的完整结构，但这 个思维结构还有待于进一步完善和发展。 逐步具备明确的思维目的性，表现出完整的思维 过程，有比较完善的思维材料和结果，思维品质 的发展使个体表现出明显的差异性，思维的监控 和自我调节能力也在日益加强。 （4）小学生从具体形象思维向抽象逻辑思维的发展 存在着不平衡性。 在整个小学阶段，儿童的抽象思维水平在不断提高， 具体形象成分和抽象成分的关系在不断发生变化， 这是它的发展的一般趋势。但是具体到不同的思 维对象、不同学科、不同教材的时候，这个一般 的发展趋势又会表现出不平衡性。
• 沈家鲜等(1984)研究了5～17岁儿童容积概念的 发展，他们选取不同地区的720名被试进行实验。 结果表明： （1）儿童对容积变化的认知随年龄而增长，儿童 的思维水平既与儿童的年龄大小有关，也与儿童 知识经验的多少以及课题的难易程度等因素有关。 （2）从认知水平看, 可依次分为任意性回答、感知 为主水平、表象为主的水平、概念推理为主水平 四种。在这些思维水平中包含着各种认识成分的 交互作用。 （3）儿童在对容积变化的认知错误是混淆面积与 体积概念，分不清楚容积体积与高度，分不清楚 容积变化的数量与空间的相应位置。
（二）小学生思维品质的研究
1．测量思维品质的客观指标 （1）测量思维敏捷性的指标 以速度和正确度为指标，求出时间与正确率。出 现4种情形： 正确――迅速 正确――不迅速 不正确――迅速 不正确――不迅速 （2）测量思维灵活性的指标 以一题多解的方法数量、一题多变的变化数量为 客观指标。
（3）测量思维深刻性的指标 主要包括概括水平和推理水平。例如，概括能力 表现在对数的实际意义的认识，对数的顺序和大 小的理解，进行数的分解和组合的能力。推理能 力主要表现为简单的归纳能力和演绎能力。 （4）测量思维独创性的指标 以自编应用题的数量和难度为指标。 • 实物编题形象编题语词或数字编题 • 模仿编题半独立编题独立编题
8 7 6 5 4 3 2 1 0 二年级 三年级 四年级 五年级 实物编题 形象编题 数字编题
图1
各年级学生自编应用题的平均数
（1）小学生自编应用题的能力落后于解答应用题的 能力。 （2）实物编题与图画编题的数量之间没有显著性差 异，图画编题与数字编题之间存在显著性差异。 （3）四年级是自编应用题，即思维独创性发展的一 个转折点。 （4）各年级初试的自编应用题中除表现出一般年龄 特征外，还表现出明显的个别差异。
2．研究案例 研究1：小学生思维敏捷性发展研究（林崇德）
• 研究目的：探明小学生思维敏捷性发展水平。 • 研究方法：测量。 • 研究过程：第一步，使用二年级至五年级学生都 学习过的计算题，测量速算的时间，并统计正确 率；第二步，使用各年级学生本学期所学知识范 围内的习题，在10分钟内进行速算测定。 • 研究结果：
（3）在相继的发展阶段中有一个不连续的成分，各 水平不同的发展阶段的结构一旦确立就有它的特 点，存在着和其他阶段不同的质的差异。 （4）发展的每一新水平是许多因素的一个新融合， 组成一个新结构，在此之前，各因素还没有构成 系统的联系。
2．儿童发展阶段理论 （1）感知运动阶段（0～2岁） 儿童主要是通过感觉动作图式与外界取得平衡处 理主、客体关系。
三、小学数学思维品质的发展
（一）思维的品质的涵义
• 思维的敏捷性：思维活动的速度。 • 思维的灵活性：指思维活动的灵活程度。 • 思维的深刻性：指思维活动的抽象程度和逻辑水 平，以及思维活动的广度、深度和难度。 • 思维的批判性：思维活动中独立分析和批判的程 度。 • 思维的独创性：指思维的创造性。
二、小学生数学概念的发展
（一）一些研究 • 刘范等（1981）对我国10个地区959名7～12岁 儿童数学概念的发展情况作了系统研究。选择了 认数、数序和系列 、数的组成、运算和应用等四 个方面作为研究的材料，与学校年级大体相对应 地分为6个年龄组，按照统一的方案进行测验。结 果显示：
（1）7～8岁左右阶段，儿童初步形成三位以内整数 概念系统。对于三、四位数范围内的“相邻数”、 “认写”、“比大小”、“图与数”等项目已能 基本掌握，但对“完成系列”和复杂的须借助推 理的“数的组成”及“应用”，还有一定的困难， 空间观念的发展尚很不完善，一般只能从二维空 间去认知图形。数群观念已基本建立，但部分儿 童在很大程度上还要依靠逐个点数来进行计算， 只能运用数概念解答较简单的应用题。
（3）具体思维运算阶段（7～11岁） • 儿童出现了可逆性和守恒性，因而可以进行群集 运算： • 组合性：A＜B，B＜CA＜C • 可逆性：A＋B＝CC－A＝B • 结合性：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） • 同一性：任何运算都有一个逆运算与之组合，即 A＋B＝0 • 重复性：质的重复，性质不变
（二）教育启示 （1）9～11岁，注重发展学生的小数、分数概念， 培养学生的空间能力。 （2）8～10岁儿童从具体形象概括向形象抽象概括 过渡，因此，要重点发展学生的形象抽象能力。 （3）10～11岁儿童在数概括能力发展中有显著的 变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概 括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式 的一个转折点。因此要培养学生的抽象概括能力。 （4）8～15岁儿童要培养交集概念。 （5）10～11岁要重点发展学生空间能力的关键期。
（2）9～11岁左右的阶段，儿童关于整数、小数概 念系统正处于巩固和形成的过程中，基本上能掌 握万以上整数，小数和分数概念正在形成或开始 形成中。从9岁开始，已部分掌握了小数概念。这 一阶段的儿童对各种数概念系统正在逐步形成， 逐步从二维空间认识图形向三维空间认识图形过 渡。
（3）11～12岁左右的阶段，儿童整数、小数、分 数的概念系统逐步趋向统一。除个别项目外，一 般都能较好地掌握，分数概念也已基本掌握。已 逐步形成三维空间观念，空间想象力逐步增强。
（4）初步代数的概括运算水平：能用字母的抽象 代替数字的抽象，例如能初步列方程解应用题开 始掌握算术范围内的交集与并集思想。 （5）代数命题概括运算：能够根据假设进行概括。 研究结果表明： （1）小学儿童的数概括发展水平，既表现出比较 显著的年龄特征，又存在着个体差异。7～8岁儿 童基本上属于具体形象概括； 8～10岁儿童从具 体形象概括向形象抽象概括过渡，且大部分儿童 在三年级就完成了这个过渡；大多数10～12岁儿 童进入初步本质抽象的概括水平。