选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()
()2
2
1sin 1
x x
f x x ++=
+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则
()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）
A ．0
B ．2
C ．2019
D ．2020
2．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记
()()22
1212M x x y y =-+-，则（ ）
A ．M 的最小值为25
B ．M 的最小值为45
C ．M 的最小值为
85
D ．M 的最小值为
165
3．已知()2
1ln (0)2
f x a x x a =+
>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()
1212
2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,1
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．[)1,+∞
4．已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫
-⎪⎝⎭
=->在[1)+∞，
上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）
A ．[0)+∞，
B ．(0)+∞，
C ．(1)+∞，
D ．[1
)+∞， 5．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>1
2，则不等式1()22
x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D ．(－1，1)
6．已知函数()2
ln 1
f x x x =
--，则()y f x =的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()x
f x e >的解集为（ ）
A ．()01，
B ．()1
+∞， C ．()1-∞， D ．()0-∞，
8．函数()2
62x
f x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,1--
9．已知函数()32
114332
f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤
B ．24m ≤≤
C ．2m ≤
D ．4m ≤
10．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()f f x 有相同的值域，则a 的取值范
围为（ ） A ．(],0-∞
B ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦
C ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．[)0,+∞
11．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x
+-<的解集为（ ） A ．(,)e +∞
B ．(0,)e
C ．1(,)e e
D ．1(0,)
(1,)e e
12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（ ） A ．()()21ln 2f f -< B ．()()21ln 2f f -> C ．()()211f f -<
D ．()()211f f ->
二、填空题
13．已知曲线()3
2
351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点
P ，则点P 的横坐标为______________.
14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式
()
0f x x
>的解集为________. 15．已知函数1
()f x x ax
=+在(),1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是_____________．
16．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则+a b 的值为________． 17．已知曲线x x
y e
=
在1x x =处的切线为1l ，曲线ln y x =在2x x =处的切线为2l ，且12l l ⊥，则21x x -的取值范围是_________.
18．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,
上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.
19．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11
a b
+的最小值为______________. 20．已知函数f (x )＝ln x －f ′ (
12
)x 2
＋3x －4，则f ′(1)＝________． 三、解答题
21．已知函数3
2
1()12
f x x x ax =-
++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间31,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上的最大值．
22．已知函数2()ln f x x x =-，()g x kx =． （1）求函数()f x 的最小值；
（2）若()g x 是()f x 的切线，求实数k 的值；
（3）若()f x 与()g x 的图象有两个不同交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，求证：121x x >． 23．已知函数311
()ln 62
f x x x x x =
+-.
（1）求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程； （2）若()f x a <对1(,)x e e
∈恒成立，求a 的最小值. 24．已知函数()3
ln 42
x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12
y x =. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间.
25．已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体
①函数()f x 在其定义域上是单调函数；②()f x 的定义域内存在区间[]
a b ，，使得()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
（1）判断()3
g x x =是否属于M ，若是，求出所有满足②的区间[]
a b ，
，若不是，说明理由；
（2）若()h x t M =
∈，求实数t 的取值范围．
26．已知a ∈R ，函数()2ln f x x a x =-. （1）若有极小值0，求a 的值；
（2）若存在1x 、()20,1x ∈，使得不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，求实数a 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
将函数解析式变形为()2
2sin 11
x x
f x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】
()
()2
22221sin 12sin 2sin 1111
x x x x x x x f x x x x ++++++=
==+
+++，
所以，
()()()()()22
22020sin 202022020sin 202020202020222020120201
f f ⨯-+-⨯++-=
++=+-+， ()()()()
()
22
2
2cos 122sin 1x x x x x f x x
++-+'=
+，函数()f x '的定义域为R ，
()()()()()22
22cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
-=
⎡⎤-+⎣⎦
'()()()()
()222
2cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，
因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
2．D
解析：D 【分析】
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线
22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的
图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】
解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，
221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．
由2y lnx x =-+，得1
1y x
'=
-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12
k =-．
令
11
12
x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ， 切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=
的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为
165
． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，
联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩
，解得145x =，
即当M 最小时，214
5
x =． 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
3．D
解析：D 【分析】 根据条件
()()1212
2f x f x x x ->-可变形为
112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()2
1()2ln ()202
g x f x x a x a x x =-=+
>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】
根据1212
()()2f x f x x x ->-可知
112212()2[()]
20f x x f x x x x --->-， 令()2
1()2ln ()202
g x f x x a x a x x =-=+>- 由
112212
()2[()]
20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，
所以()()'200,0a
g x x x a x
=
+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，
而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题由条件
()()
1212
2f x f x x x ->-恒成立，转化为112212
()2[()]
20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数
()2
1()2ln ()202
g x f x x a x a x x =-=+
>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 4．D
解析：D 【分析】
首先求导，由题意转化为在[1,)x ∈+∞，220ax x a -+≥恒成立，即221
x
a x ≥+在[1,)+∞上恒成立.再利用基本不等式求出221
x
x +的最大值即可. 【详解】
22
2()ax x a
f x x
-+'=，(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增，等价于220ax x a -+≥恒成立. 即221
x
a x ≥
+在[1,)+∞上恒成立. 因为2
22111x x x x x x
=≤=++，当1x =时，取“=”， 所以1a ≥，即a 的范围为[1,)+∞.
故选：D 【点睛】
本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.
5．A
解析：A 【分析】 根据f ′(x )>
1
2，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022
=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1
()022
--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>
12
，
所以()1
02
f x '
-
> 所以()()()()()11
0222
x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()11
11022
=-
-=g f ， 所以不等式1()22x f x <
+，即为1
()022
--<x f x ， 即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.
6．A
解析：A 【分析】
利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】
令()ln 1g x x x =--，则11
()1x g x x x
-'=-
=， 由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增， 由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以当1x =时，()()min 10g x g ==， 于是对任意(0,1)
(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，
因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】 构造函数()()
x f x g x e
=
，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.
【详解】
令()()
x f x g x e
=，因为()()f x f x '<， 则()()()
0x
f x f x
g x e
'-'=
<， 所以()g x 在R 上递减， 又()01f =，则()01g =， 不等式()x
f x e >等价于
()
()10x
f x
g e
>= ， 所以0x <. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.
8．B
解析：B 【分析】
求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】
()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，
∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<， 由()()010f f ''<，
故()f x 的极值点所在的区间为()0,1， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】
求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果 【详解】 解：由()32
114332f x x mx x =
-+-，得'2()4f x x mx =-+， 因为函数()32
114332
f x x mx x =
-+-在区间[]1,2上是增函数， 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立，
得4
m x x
≤+恒成立
因为44x x +
≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，
所以4m ≤， 故选：D 【点睛】
此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题
10．B
解析：B 【分析】
判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．
【详解】
()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，
()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞
即()f x 的值域为[)21,a ++∞，
函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞，
0211a ∴<+≤，解得：1
02
-<≤a ．
故选：B 【点睛】
本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．
11．C
解析：C 【分析】
先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】
因为()()()()2
2()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R
上的偶函数，
又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x
+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<
即：(ln )(1)f x f <，
()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，
当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于
ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
,，故选C.
【点睛】
对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x f
x f x ==-，对于奇函
数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．
12．B
解析：B 【解析】
分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'
1f x lnx x
='>
，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()1
10xf x g x f x x x
-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．
详解：令()(),0g x f x lnx x =->，
∴()()()1
1xf x g x f x x x
=''-'-=，
∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，
∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->． 故选B ．
点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．
二、填空题
13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要
解析：0或1-或
53
【分析】
设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标． 【详解】
设P 的坐标为(
)
32
,351m m m m +-+，2
()9101f x x x +'=-，
过点P 的切线方程为(
)()
32
2
3519101()m m m m x y m m +-+=+---，
代入点()1,0的坐标有()()()3
2
2
35191011m
m m m
m m --+-+=+--，
整理为323250m m m --=，
解得0m =或1m =-或53
m =， 故答案为：0或1-或53
. 【点睛】
本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：
（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；
（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．
14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析：()
()1,00,1-
【分析】 令()()
f x
g x x
=
，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出
()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.
【详解】 由题意，令()()f x g x x =
，则()()()
2xf x f x g x x
'-'=， 因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()
2
0xf x f x g x x
'-'=<，
故()g x 在()0,∞+上单调递减，
又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，
所以()()()()
()f x f x f x g x g x x x x
---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，
根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101
f g g -===，
所以()
()1,00,1x ∈-时，()0g x >.
故答案为：()()1,00,1-.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数
()()
f x
g x x
=
，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
15．【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解：因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以 解析：()
[),01,-∞+∞
【分析】
根据题意将问题转化为以()222
11
'10ax f x ax ax
-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，再分类讨论即可得答案. 【详解】
解：因为函数1
()f x x ax
=+
在(),1-∞-上单调递增， 所以()222
11
'10ax f x ax ax
-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a <时，显然()222
11
'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a >时，因为()222
11
'10ax f x ax ax
-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以2
1
≥
a x 在区间(),1-∞-上恒成立， 所以2max
11a x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()
[),01,-∞+∞
故答案为：()[),01,-∞+∞
【点睛】
本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.
16．【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意；当时有两个相等的实根不满足题意；∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本 解析：7a b +=
【分析】
先根据极值列方程组解得a b ，值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】
解∵函数322
()f x x ax bx a =--+
∴2()32f x x ax b '=--，
又∵函数322
()f x x ax bx a =--+，当1x =时有极值10，
∴2
320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，∴411a b =-⎧⎨=⎩或3
3a b =⎧⎨=-⎩
当411a b =-⎧⎨=⎩时，2
()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意； 当33
a b =⎧⎨=-⎩时，22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根，不满足题意； ∴7a b += 【点睛】
本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
17．【分析】由求导根据得到由得到而然后令用导数法求解【详解】令则所以因为故所以因为故又令则当时为减函数故所以在上恒成立故在上为减函数所以即因此的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义导数 解析：(),1-∞-
【分析】
由()x
x f x e =，()ln g x x =，求导，根据12l l ⊥，得到112
1
x x x e -=，由20x >，得到11x >.而112111
x x x x x e --=-，然后令()1,1x x h x x x e
-=->，用导数法求解.
【详解】
令()x x f x e =
，()ln g x x =，则()1x x
f x e -'=，()
1g x x
'=，
所以1
111x x k e -=
，22
1
k x =， 因为12l l ⊥，故
1
12111x x e x -⨯=-，所以1
121x x x e -=， 因为20x >，故11x >.
又112111x x x x x e --=-，令()1,1x x h x x x e -=->，则()221x
x x
x x e h x e e
---=-='， 当()1,x ∈+∞时，2x
y x e =--为减函数，
故12210x x e e --<--<，所以()0h x '<在()1,+∞上恒成立， 故()h x 在()1,+∞上为减函数，所以()()11h x h <=-，即211x x -<-. 因此，21x x -的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数
解析：43. 【分析】
先求导数，判断函数单调性和极值，结合3
2
()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,
上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】
32()26f x x x m =-++， 2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,
令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，
当20x -<<时，()0,()f x f x '
<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '
>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，
所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,
上的最小值， 即(0)3f m ==，
函数在[]22-,
上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，
∴函数在[]22-,上的最大值为43.
故答案为：43 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.
19．1【分析】由知为奇函数求导分析为增函数故利用可以算得的关系再利用基本不等式的方法求的最小值即可【详解】故为奇函数又所以为增函数又故所以当且仅当时取得最小值1故答案为1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性
解析：1 【分析】
由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用
()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求
11
a b
+的最小值即可. 【详解】
()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,
所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-, 故49,49a b a b =-+=,所以
()11111144599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1
519
⎛≥+= ⎝,当且仅当4b a
a b =时取得最小值1. 故答案为1 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.
20．-1【分析】根据题意由函数f （x ）的解析式对其求导可得在其中令可得再令即可解可得f′（1）的值【详解】根据题意函数f(x)＝lnx －f′()x2＋3x －4其导数令令则即答案为-1【点睛】本题考查导数
解析：-1 【分析】
根据题意，由函数f （x ）的解析式对其求导可得11
2'32
f x xf x '=-+（
）（） ，在其中令12x =
可得12f ⎛⎫
' ⎪⎝⎭
，再令1x =即可解可得f′（1）的值， 【详解】
根据题意，函数f (x )＝ln x －f ′ (
12
)x 2
＋3x －4， 其导数11
2'32f x xf x '=-+（
）（），令12
x =，
1111152'3,,
1222222f f f '=-⨯⨯+∴'=（）（）（） 令1x =，则1
5
213 1.12
f x '=-⨯⨯+=-（
） 即答案为-1. 【点睛】
本题考查导数的计算，注意12f ⎛⎫
'
⎪⎝⎭
为常数． 三、解答题
21．（1）210x y -+=；（2）4927
． 【分析】
（1）当2a =时，求得函数的导数2
()32f x x x '=-+，得到(0)2f '=，即可求解曲线
()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（2）由函数在1x =处有极小值，求得2a =-，得到2
()32f x x x '=--，根据导数的符
号，求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案. 【详解】
（1）当2a =时，函数3
2
1()212
f x x x x =-
++， 可得2
()32f x x x '=-+，可得(0)2f '=
又由()01f =，
所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程12(0)y x -=-，即210x y -+=.
（2）由3
2
1()12
f x x x ax =-
++，可得2()3f x x x a '=-+， 因为函数在1x =处有极小值，可得(1)20f a '=+=，解得2a =-，
此时3
2
1()212
f x x x x =-
-+，且2()32f x x x '=--， 令()0f x '=，即2320x x --=，解得2
3
x =-或1x =， 当2
3
x <-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当2
13
x -
<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 在23(2,),(1,)3
2
--上单调递增，在区间2
(,1)3
-
上单调递减，
所以()1
1,(2)52
f f =--=-， 因为24931(),()3
2724
f f -=
=， 所以函数()f x 的最大值为249()327
f -=. 【点睛】
解决函数极值、最值综合问题的策略：
求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 22．（1）11
ln 222
+；（2）1；（3）证明见解析. 【分析】
（1）利用导数求出其单调性，即可得出函数()f x 的最小值；
（2）利用导数的几何意义得出切线方程20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝
⎭，再由
2
0000
12,1ln 0x k x x x -
=-+-=求出k 的值； （3）将22
111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加相减化简得出
212
1212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=
-，令211x t x =>，构造函数2(1)()ln (1)1
t F t t t t -=->+，利
用单调性证明2(1)
ln 1
t t t ->
+，从而得出1212ln 22x x x x +>，再由令()ln 2G x x x =+的单调性得出12()(1)G x x G >，从而得出121x x >. 【详解】
解：（1）∵2
()ln f x x x =-，∴2121
()2(0)x f x x x x x
-'=-=>
当0,2x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x
在2⎛ ⎝⎭上单调递减；
当,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，∴
()f x
在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 故函数()f x
的最小值为2
11
ln ln 222222f ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）若()g x 是()f x 的切线，设切点为00(,())x f x 则过点00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+
即20000012()ln y x x x x x x ⎛⎫=-
-+- ⎪⎝⎭，即2
0000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝
⎭ 由题意知2
0000
12,1ln 0x k x x x -
=-+-= 令2
()1ln (0)h x x x x =-+->，则0x >时，1()20h x x x
'=--< ∴2()1ln h x x x =-+-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =
∴2
001ln 0x x -+-=有唯一的实根01x =，则00
1
2211k x x =-=-=． （3）由题意知22
111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=
两式相加得22
121212ln ()x x x x k x x +-=+
两式相减得222
2
1
211
ln ()x x x k x x x --=-，即212121
ln x x x x k x x +-=-
∴222
11212211221ln ln ()x x x x x x x x x x x x ⎛
⎫ ⎪ ⎪+-=+-
+-
⎪ ⎪⎝⎭
，即2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=- 不妨令120x x <<，记211x t x =
>，则2121212211ln 2ln x x x
x x x x x x x ++==-1ln 1
t t t +- 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)
t F t t t -'=>+
∴2l ())1
n 1(t F t t t -=-
+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)
()ln (1)01t F t t F t -=-
>=+ ∴2(1)
ln 1t t t ->+，因而1212ln 2x x x x +=
112(1)ln 2111
t t t t t t t ++->⋅=--+ 令()ln 2G x x x =+，则0x >时，1
()20G x x
'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增
∵121212()ln 22(1)G x x x x x x G =+>=，∴121x x >． 【点睛】
在处理极值点偏移问题时，关键是构造新函数，结合单调性解决极值点偏移问题. 23．（1）2
3y =；（2）31162
e e -. 【分析】 （1）求导211
'()ln 22
f x x x =
--，再分别求得(1)f ，'(1)f ，用点斜式写出切线方程.
（2）根据()f x a <对1(,)x e e
∈恒成立，则()max a f x >，再利用导数求解()max f x 即可. 【详解】
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得211
'()ln 22f x x x =--，且2(1)3
f =. 所以'(1)0f =.
所以曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为2
3
y =. （2）设()'()g x f x =，（
1
x e e
<<） 则211
'()x g x x x x
-=-=
. 令'()0g x =得1x =.
当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：
x 1(,1)e
1 (1,)e '()g x
-
+
()g x
极小
则，即，当且仅当时，所以()f x 在1(,)e e
上单调递增. 又311()62
f e e e =
-， 因为()f x a <对1
(,)x e e
∈恒成立， 所以31162
a e e ≥
-， 所以a 的最小值为为311
62
e e -. 【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则
（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；
（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；
24．（1）54a =
；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】
（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；
（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.
【详解】
（1）对()f x 求导得()2114a f x x x
=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =
， 知()3124f a '=--=-，解得54
a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x
'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，
因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去.
当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减；
当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增.
故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.
25．(1) ()g x 属于M ，且满足②的区间[a ，b ]为00⎡
⎤⎡⎡⎢⎥⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，， ; (2) 102⎛⎤ ⎥⎝⎦
， 【分析】
（1）可以看出()g x 为增函数，满足条件①，而方程32
x x =有三个不同的解，从而满足条件②，从而说明()g x 属于M ，且可写出所有满足②的区间[a ，b ]；
（2）()h x 属于M 2
x t =至少有两个不同的实数根，从而得到
12x x t -=-，两边平方并整理可得()221104x t x t -+++= 从而20t
∆=>，得到t ＞0，而
02x t -≥即2x t ≤恒成立，且1≥x ，从而又得到12
t ≤，这样便可得出实数t 的取值范围．
【详解】 （1）()3
g x x =在R 上为增函数，满足性质①； 解32x x =得，x ＝0，或2x =± ； ∴()g x 属于M ，且满足②的区间[a ，b ]为2222002222⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦，，，，，； （2）()1h x x t =-+在定义域内单调递增，满足①；
∵h （x ）∈M ；∴h （x ）满足②；则方程12x x t -=
-少有两个解； 即函数1y x =-与函数2
x y t =-的图象有两个不同的交点. 如图当直线2x y t =
-过点()1,0时，12t = 设直线2x y t =
-与曲线1y x =-相切于点()00,A x y 由函数1y x =
-的导函数为21'=-y x 所以01221
k x ==-，所以02x =，则()2,1A 由()2,1A 在直线2
x y t =-上，解得0t = 根据图象可得函数1y x =-与函数2x y t =-的图象有两个不同的交点，得102
t <≤
∴实数t 的取值范围为102⎛⎤ ⎥⎝⎦
，．
【点睛】
考查函数单调性的定义，函数值域的定义，()f x 满足性质②便说明方程()2x f x =至少
有两个不同解，即函数y =
2
x y t =-的图象有两个不同的交点，数形结合可得出答案,属于中档题.
26．（1）2a e =；（2）(),2-∞.
【分析】
（1）求导，分类讨论得出()f x 的单调性及极值，让极小值为0，求出a 的值； （2）只需使函数()2ln f x x a x =-在()0,1x ∈上存在单调递增区间，然后求解a 的取值范围.
【详解】
解：（1）()f x 的定义域是()0,∞+，()22a x a f x x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极小值；
当0a >时，令()0f x '<，解得02a x <<
；令()0f x '>，解得2a x >， 则()f x 在0,2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递增， 故()f x 有极小值ln 022a a f a a ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭， ∴1ln 02
a -=，∴2a e =； （2）不妨设12x x <，由()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦知，()()12f x f x <， ∴()f x 在()0,1存在增区间，
①由（1）可知，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上为增函数，符合要求；
②当0a >时，由（1），()f x 在0,
2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， ∴只需102
a >>，则有02a <<， 综上，实数a 的取值范围为(),2-∞.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.。