一维热方程解的存在性

坌 坌
u'(t)=Au(t) t>0
， u(0)=u0(x) x∈(0,1)
（2 ）
群. 特别地， 若坌t≥0， 有 ||T(t)|| ≤1， 则称为压缩 C0 半群.
定义算子 A 如下： A覬=覬" 覬∈D(A)
D(A)={覬|覬∈H10(0,1)∩H2(0,1),且 覬(0)=覬(1)=0} 如上定义的算子 A 生成 X 上的压缩
以闭化， 其闭包是 H [0,1]， 所以上述定义的微分算
2 0
子 A 是闭算子. 下证 ρ(A)劢(0,+∞). 设 λ=α+iβ， 令(λI- A)f=0 即 f"- λf=0. 解二阶微分方程得到： f (x)=C1e 由 f(0)=f(1)=0 得到 e
姨λ 姨λ x
由上面证明知算子 A 满足 Hille- Yosida 定理 的条件， 所以算子 A 生成压缩 C0 半群 T(t).证毕. +C2e
慧
忻州 034000 ）
专科部，山西
摘 要： 文章利用算子半群理论证明了一维热方程解的存在性和唯一性， 此方法与以往解的存在性证 明区别在于无须直接求解便可得到其解的稳定性结论. 关键词：压缩 C 0 半群； 热方程； 算子； 存在唯一性 中图分类号： O177.92 文献标识码： A 文章编号： 1673- 260X （2012 ） 03- 0015- 02
- 姨λ x
，
定理 2
对于每个 u0(x)∈H10(0,1)∩H2(0,1)初边
+e
- 姨λ
=0 即 e
2 姨λ
=1， 所以 2
值问题 （1 ） 存在唯一解.
证明
则 λn=- n2π2,(n∈N). 姨 λ =2nπi， 对于每个 λn，相应的 (λnI- A)f=0 的解为： fn(x) =Cn1enπxi+Cn2e- nπxi， 再由 fn(0)=fn(1)=0 有 Cn1- Cn2， 所以 fn (x)=Cn(enπxi- e- nπxi).于是{λn|λn=- n2π2}奂σp(A)； 另外对 坌g∈X,λ ≠λn， 方程 （λI- A ） f=g 有唯一 解； 所以 ρ(A)劢(0,+∞)； 最后证明对每个 λ>0,||R(λ,A)||≤ 1 . λ 对 f∈D(A)， 有 f(x)=
鄣u(x,t) = 鄣2u(x,t) ,(t,x)∈(0,+∞)×(0,1) 鄣t 鄣x2 t∈(0,+∞) x∈(0,1) （1 ）
A 生成压缩 C0 半群的充要条件为： （a ） A 为闭稠定算子； （b ） ρ (A)劢(0,+∞), 且对于每个 λ>0， 有 ||
- 15 -
证明
因为 C0 [0,1]奂D(A)， 所以 A 是稠定的；
∞
||f||2≤
1 ||g||2. Reλ+2 1 Reλ+2
由泛函分析知识得 L2(0,1)上的常微分算子 A= d 在 D=C [0,1]奂D(A)上不是闭算子， 但是 A 可 0 dx2
∞ 2
所 以 当 λ>0 时 ， ||R (λ,A)g||2=||f||2 ≤ ||g||2≤ 1 ||g||2， 则有 λ ||R(λ,A)||≤ 1 . λ
第 28 卷 第 3 期 （上 ） 2012 年 3 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition ）
Vol. 28 No. 3 Mar. 2012
一维热方程解的存在性
李
（ 忻州师范学院
定义 2[1] 算子
坌 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 坌 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
T(t)x- x 存在 D(A)= x∈X|lim , t→0 t Ax=lim T(t)x- x ,x∈D(A) t→0 t
坌
坌
称为强连续半群 T(t)的无穷小生成元， 简称为生成 元.
引 理 1 [1] （Hille- Yosida 生成定理） 线性算子
〔2〕Lawrence C. Evans. Parital Differential Equa-
乙f'(t)dt,则
0 1 2 2 2 2
x
tions[M].American Mathematical Society,1998.
〔3〕 卫雪梅 ; 傅初黎 ; 非古典热方程解的存在唯一性
2 ||f||2 = |f(x)| dx≤ xdx||f'||2 = 1 ||f'||2 . 0 0 2 2
算子半群理论是泛函分析的一个内容丰富的 重要分支， 该理论在许多实际问题中， 例如量子力 学中的 Schrodinger 方程、 中子迁移方程 、 人口发展 方程以及分布参数控制理论和工程技术中都得到 了广泛的应用.本文用算子半群知识考虑如下一维 热方程初边值问题：
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
主要结论及证明
的有界线性算子单参数族 T(t),t≥0 如果满足： (1)T(0)=I; (2)坌t,s≥0,T(t+s)=T(t)T(s); (3)坌x∈X,lim T(t)x=x.则称 T(t)是强连续算子半
t→0
取状态空间为 X=L2(0,1)这样初边值问题 （1 ） 可 转化为抽象 Cauchy 问题
乙
1
乙
[J].兰州大学学报 ，1998（2）：16-20.
引理 2 [1]
u(t,0)=u(t,1)=0, u(0,x)=u0(x),
解的存在性和唯一性. 首先介绍一些文中用到的算子半群的基本知 识. 1
准备知识 定 义 1 [1]
若 A 生成 C0 半群 T(t)， 则初值问题
劢
设 X 是 Banach 空间， 从X到X上 2
u'(t)=Au(t) 的解存在且唯一， 其解为 u(t)=T(t)x. u(0)=x
2
此定理的证明可由定理 1 和引理 2 直
接得出. —— —— —— —— —— —— —— —— —— —
参考文献 ： 〔1〕Pazy A. Semigroup of linear operators and ap-
plications to partial differential equations [M]. Springer-Verlag,New York,1983.