数阵图 (2)(1)
四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第十讲 有趣的数阵图(二)(例题解析版)全国通用
第十讲有趣的数阵图（二）下面我们继续研究有关数阵图的问题.例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7.∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.3S=28+2B+A+C+D.如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4，综上所述，得出：13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数.本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7.注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）.二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S 的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了.解：例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.分析观察右图，我们发现：①有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等.②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等.③20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y，每条路上4个数之和为S，显然有：3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13＋17+19=2x+2y+77.即S最小=29，此时x=2,y=3但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17＞15，17无处填.所以S=47是无法实现的.这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然，其他路上为4个质数之和，2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加，另两条路上为4个奇相加，形成矛盾.再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上2，终点放上另一个质数，其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算，只有终点放上3，而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）.解：这样，轻而举地可得到：5+19=24，7+17＝24，11+13=24.例3 把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等.分析和解假设每边上的三数之和为S，四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d，那么：a+c=b+d=（1+2+…+8）-2S=36-2S∴2S＝36-（a+C）＝36-（b+d）①_x0001_S=15，则a+c=b+d＝6，又1+5=2+4=6，试验可得下图②若S=14，则a+c=b+d=8，又1+7=2+6=3+5=8，试验可得下两图③若S=13，则a+c=b+d＝10，又2+8＝3+7＝4+610，试验可得下两图④若S=12，则a+c=b+d＝12，又4+8＝5+7＝12，试验可得下图例4 在一个立方体各个顶点上分别填入1～9这九个数中的八个数，使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等，并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.试求：没有被标上的数字是多少？并给出一种填数的方法.分析为了叙述方便，设没有被标上的数字为a，S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面，所以得到：6S=3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-3a6S＝3×45-3a2S＝45-a （1）根据（1）式可看出：因为左边2S是偶数，所以右边45-a也必须是偶数，故a必须是奇数.又因为根据题意，S不能被a整除，而2与a互质，所以2S不能被a整除，45也一定不能被a整除.”在奇数数字1、3、5、7、9中，只有7不能整除45，所以可以确定a=7.这就证明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是19，解法如图.例5 将1～8这八个数标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等.分析观察下图，知道每个顶点属于三个面，正方体有6个面，所以每个面的数字之和为：（1+2+3+4+5+6+7+8）×3÷6=18.这就是说明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是18.下面有3种填法的提示，作为练习，请读者补充完整.解：例6 在下左图中，将1～9这九个数，填人圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.分析为了便于叙述说明，圆圈内应填的数，先由字母代替.设每个三角形三个顶点圆圈内的数字和为S.即：A+B+C=S、D+E+F=S、G+H+I=S、C+G+E=S、A+G+D=S、B+H+E=S、C+I+F=S.将上面七个等式相加得到：2（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+C+G+E=7S.即：A+B+C+D+E+F+G+H+I=3S又∵A、B、C、D、E、F、G、H、I，分别代表1～9这九个数.即：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.3S=45S=15.这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15.在1～9九个数中，三个数的和等于15的组合情况有以下8种即：（1、9、5）；（1、8、6）；（2、9、4）；（2、8、5）；（3、7、5）；（2、7、6）；（3、8、4）；（4、5、6）；观察九个数字在上述8种情况下出现的次数看，数字2、4、5、6、8都均出现了三次，其他数字均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内，这样就得到本题的两个解.解：例7 在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.分析为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S，那么图中六个正方形可得到：a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S,b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S.将上面的六个等式相加可得到：2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S.则4b2＝S4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S.于是有：4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4×45=9S.9S=4×45S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20.所以：b2=5.从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.由上面两式可得：a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3.如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数.①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾.④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同.综合上述，a2必为偶数.由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数.这样，就比较容易找到此解.解：注：也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了.习题十1.将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.2.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.3.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.。
【二年级】奥数数学数阵图之谜课件PPT
重叠部分：15 （4）重叠次数：13次
知识链接
辐射数阵图 关键点：找特殊 ——重叠部分
拓展（★ ★ ★ ★）
把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条线上的三个圆圈内的数 之和都等于15。
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（1）线和：15×4=60 （2）数和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 （3）重叠部分：60-45=15 （4）重叠次数：3次 （5）重叠数：15÷3=5
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万变不离其宗！ 很像哦！
例题【三】（★ ★ ★ ）
把1～7这七个数分别填入图中的各○内，使每条直线上三个○里数的和相等。 一共有多少种方法？
1
1
2
7
64
2
6 32 5 333
7不符合题目要求
符合要求
3重复，不符合
例题【六】（★ ★ ★ ）
把10，20，30，40，50，60，70这7个数填在圆圈里，使每 条直线上和每个圆周上的三个数的和都是120。
（1）线和：120×3=360 （2）数和： 10+20+30+40+50+60+70=280 （3）线和—数和： 360-280=80—重叠部分 （4）中间数：80÷2=40
二年级奥数数阵图带答案
在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧！如图，在空格中填入2、3、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于8。
【解答】如图，在空格中填入1、2、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于9。
【解答】知识分类一：基础数阵图113325341245如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。
【解答】将2，4，6，7，8，10分别填入图中空格，使每一个横行、竖行、斜行的三个数的和等于18。
【解答】81 8 7935 7 26 104把1、3、5、7、9、11、13七个数填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21。
【解答】这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14；1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。
把1、2、3、7、8、9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。
【答案】把1、2、3、4、5、6这六个数填入下图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。
【答案】58219753知识分类二：数阵图进阶213645把10、20、30、40、50、60、70、80这八个数填入下图的圆圈里，使每个大圆上的五个数的和都是200.【答案】在圆圈内填上1～8这八个数字，使长方形每条边上三个数的和为12.【答案】703080401020605024675381将1、2、3、4、5、6这六个数填在下面的圆圈里，使每条线上三个数的和等于9.【答案】由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1～7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15.【答案】34256137521 3754 6将10、14、6填入下图，使每个圆圈中四个数的和都是30.【答案】412288126210144。
一上奥数(数阵、填数、填符号、搭配、路线、排队)
1.数阵图类型 发射型：封闭型2.突破方法：①找数字出现最多的线，用加减法去算②头中尾，填中间，大小大小手拉手3.数阵图歌数阵图，真有趣，每条线，和相等数越多，先找他，头中尾，中间填10.9.3.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9.4.把4、5、7、8四个数填在四个空格里，使得横行、竖行三个数相加等于18.5.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于10.6.在正方形中填上合适的数，使横行、竖行、斜行上的三个数相加都等于18.7.把数字1、2、3、4、6、7、8、9分别填入下面八个圆圈中，使每条线上的三个数字的和等于15.8.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都相等.9.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都等于9.10.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加都相等.11.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加和都等于14.12.把2、3、4、5、6、7、8这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数和都等于15.13.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等.14.把5、5、7、7、9、9分别填在下面的圆圈里，使每条边上都有5、7、9.8简单数阵知识点：11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15.2.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于8.3.要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？4.在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15.5.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是12.6.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15.7.把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2.8.把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为 20.9.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等.10.在每个方格内，只能填1、2、3三个数字，使横行、竖行的三个数相加都相等，但每一横行、竖行的三个数字互不相同.54、634和8,5和7随便填1.相邻数加法和减法的特征： ①加法特征：大小、大小和相等，是横式变形的根本.②减法特征：相邻两数相减，差永远是1.（减法相等的依据）③根据等式是天平，可以左右加减同一个数（等式重要性质）2.重要方法：①找特殊：对于多个式子，有些式子的填法很多（不作为突破点），要学会寻找填法较少或者唯一的作为突破点；②分组法：几个连续数的“和”填式子，找中间数9横式填数知识点：3.不等式填数，先假设是等式，然后根据要求填写合适的数.4.当你不会做题的时候，往数学方法靠近，千万不可“胡猜乱想”：①学习方法第一位②多看看前面的笔记，帮助自己理解.（每个算式中，同一个数只能用一（1）（）+（）=（）+（）（2）（）+（）-（）=（）（3）（）-（）+（）=（）2.把1、2、3、4、5、6、7、8这8个数分别填入下面的方框里（每个数只能用一次），使等式成立.3.把4、5、6、7、9、13分别填入下面的中（每个数只能用一次），使等式成立．4.将0、1、2、3、7、8、9填入下面的方格内，使算式成立.5.把2、3、4、6、7、9分别填入下面6个圆圈中，使3个算式成立.6.在下面括号里填入适当的数.（）-9＞26+7 （2）（）-12＜10+207.把1～10这十个数填入横线中，使等式成立．（每个数只能用一次）8.智力擂台．（1）把0、1、2、3、4、5按要求填在方格里，每个数只能用一次．□-□=□-□=□-□如果是加法算式，又可以怎样填呢？□+□=□+□=□+□（2）数学谜语．像个蛋，不是蛋；说它圆，不太圆；说它没有它又有，十、百、千、万连成串．猜一数字．9.把1、2、3、6、7、8、9分别填入□中，使算式成立：10.用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数编出下面两道加减混合算式（每个数只能用一次）．11.在括号里填入合适的数，使不等式成立.15+3＞（） 27-（）＞26-7 9+（）＜（）29四个数值编三道加减混合算式．（每个算式中每个数只能用一次）（1）（）+（）=（）+（）（2）（）+（）-（）=（）（3）（）-（）+（）=（）2.把0、1、2、3、7、8、9分别填入□中，使算式成立：3.把3、4、5、6、32、33、34、35这8个数填入下面的两个算式中，使等式成立.4.在5、6、7、8、9、10、11中选择6个数填入下面的算式，使等式成立.（）+（）=（）+（）=（）+（）（）-（）=（）-（）=（）-（）5.括号里最小能填几?（）-4＞7+2 26-（）＜9+146.用2、4、5、6、7和10组成加减两个算式（每个数字只能使用一次）.（）+（）=（）（）-（）=（）7.从1——9这九个数中选出4个数进行组合，使他们相加的和是100.8.把1～10这十个数填入横线中，使等式成立．（每个数只能用一次）参考答案：课堂共同学习1.（1）3+6=4+5 （2）3+6-4=5 （3）5-3+4=6（答案不唯一：核心借助3+6=4+5）2.1+8-7=2,3+6-4=5（答案多多，核心借助大小大小和相等）3.①6+7=13，②9-5=44.8+9=20-3=17（突破点：中间第一个必然为2，最后一个首位必然是1）5.3+7=10,9-4=5，2+6=8（突破点：只有2+6=8）6.43,41（最小和最大填法）7.（突破点在最后一个）8.（1）5-4=3-2=1-0 （2）0+5=1+4=2+3 （3）0 9.8+9=23-6=1710.2+9-8=3， 7-5+4=6（答案多多）11.略课后自我提升：1.（1）26+29=27+28 （2）26+29-27=28 （3）28-26+27=292.8+9=20-3=173.3+35-4=34 5+33-6=324.5+11=6+10=7+9 6-5=8-7=10-95.14 、 46.5+2=7 10-4=67.32+68=1008.略1.填符号核心理念：看得数，变少了，找减号，变多了，找加号.2.对于相同数字填符号：如4 4 4 4 = 0（运用组合法靠近要求的结果）三种组合：①单个为4 ②4+4=8 ③4-4=03.对于相邻位置凑数字：①找靠近结果的数字组合 ②剩下的按照加减去推断 如：1 2 3 4 5 =33，优先考虑23结合.（选择填“＞、＜、=、＋、或－”）.10 15○9+6 18-7○1115○5=20 19○2○8=9 20○0=10○10 11○3○5=92.将1、2、3、4、5、6、7、8分成和相等的四组填入下面的方格中.3.将1、2、3、4、5、6、7、8分成和相等的两组组填入下面的方格中.4.在四个4中间填上“+、-”号，使算式成立.（写出三种不同的填法）4 4 4 4 = 010巧填符号知识点：4 4 4 4 = 04 4 4 4 = 05.在下面的方格中填入适当的数，使相邻三个数相加的和都是10.6.在数字之间添上“十”号，位置相邻的两个数字可以组成一个数．5 6 7 8 9 = 98．7.在下图五个2中间填上“+、-”号，使算式成立.（写出三种不同的填法）2 2 2 2 2 = 22 2 2 2 2 = 22 2 2 2 2 = 28.在方格里填上合适的数，使等式成立.（1）9=□+2+3（2）□=□-4-1（3）8-□=□+59.在下面的数字间填上“+、-”号，使算式成立.（位置相邻的数字可以组成一个数）1 2 3 4 5 = 51 2 3 4 5 = 241 2 3 4 5 = 610.在六个8之间填上加减号，使等式成立（提示位置相同的数字可以组成一个数）8 8 8 8 8 8=8811.在1、3、5、7、9之间填上“＋或-”（位置相邻的数可以组成一个数），使等式成立.1 3 5 7 9 =7912.在合适的地方填写“＋或-”，使等式成立.1 2 3 4 5 6=1-”，使等式成立.5 5 5 5 = 02.在合适的地方填写“＋或-”，使等式成立.1 2 3 4 5 = 73.在所给的已知数之间，填上“＋或－”使等式成立.（1）8 4 3 = 9 （2）5 6 3 = 8（3）7 2 1 = 8 （4）9 5 2 = 64.在下列各数之间填上“＋或-”（相邻数可以组成一个数），使他们结果为10.2 2 2 1 1 1 = 105.在○中填入“＋或-”，使等式成立.（1）8○9=19○2 （2）30○15=9○6（3）3○8=14○3 （4）20○20=17○176.在1、2、3、4、5之间填上“＋”（位置相邻，可以组成一个数），使他们和等于33. 1 2 3 4 5 =337.在6个6之间填上“+或-”，使下面的等式成立. 6 6 6 6 6 6=0 6 6 6 6 6 6=12参考答案：课堂共同学习：（部分有答案）6.5+6+78+9=98．8.（1）4；（2）多种答案如：5、10；（3）多种答案如：0、3和1、2 11.13+57+9=79 12.1+2+3-4+5-6=1课后自我提升：（部分有答案） 2.1+2+3-4+5=7 4.22-2-11+1=10 6.1+23+4+5=331.组合问题： 按照从左往右的顺序先固定一个，然后交换后面的位置，或者和后面的每一个都结合.2.搭配问题：①标号码 ②画线条 ③数数量（加法思维）11搭配组合知识点：3. 简单的数码分类方法：①在个位：从1数到60，个位有6个2②在十位：从1数到60，十位只有20——29有10个24.培养学生严谨的顺序思维，做到不重复和不遗漏.有3顶不同颜色的草帽和3条不同颜色的彩带，你知道有几种不同的搭配方式吗？3.10个小朋友要分两伙做游戏，一共有几种不同的分法？4.某人数数，他从一开始，按照1、2、3、4…的顺序一直数到22，他一共数了几个1，几个2？5.小芳与3个小朋友见面，互相握手问好，一共要握几次手？6.中午学生食堂供应主食3种：米饭、馒头、面条，菜4种：青菜、鱼、牛肉、鸡肉.小红到食堂吃饭，主食和菜各挑选一份，她一共有几种不同的选法？7.用7、2、1三个数字可以组成多少个不同的三位数？8.老师有2件不同款式的上衣，有3条不同颜色的裤子，你知道老师能搭配出几种不同的穿着方式吗？9.星星面前有一盘花生米，他“1、2、3、4、5.....”一个一个的往下数，一直数到35.星星一共数了几个5，一共数了几个2？10.4个人下围棋，每两个人下一盘围棋，一共下了几盘围棋？11.明明有一个5分硬币，4个2分硬币，8个1分硬币，要组成8分，共有几种不同的搭配方法？12.从小力、小红、小新、小芳4人中挑选2位同学参加小记者选拔比赛，一共有几种不同的选法？3条不同款式的裤子．一件上衣搭配一条裤子，一共有多少种不同的搭配方法？2.小冉有3条不同款式的裙子，5双不同款式的靴子，某日她要去参加聚会，若穿裙子和靴子，则不同的穿着搭配方式的种数为（） A．7 B．8 C．153.用9、0、5三个数字，可以组成多少个不同的三位数？4.课间时间到了，学校为同学们准备的点心有4种：饼干、面包、薯条、蛋挞；准备的饮料有3种：果汁、牛奶、酸奶.每位同学可以任意选择一种点心和一种饮料，请问有几种不同的选择方法？5.红、黄、绿三种颜色可以组成不同的信号方式，有几种不同的信号方式？6.甜甜学数数：1、2、3、4、…一个接一个地往下数，一直数到45，她一共数了（）个含有数字5的自然数．7.用2，3，4三个数字可以组成多少个不同的三位数？写出并从小到大排列．8.从A、B、C、D四位同学中任选2人参加学校演讲比赛，一共有几种不同的可能性？并列举各种可能的结果．参考答案：课堂共同练习：1.4个2.9种3.5种4.13个1，6个25.6次6.12种7.6个8.6种9.4个5,14个210.6盘11.7种12.6种课后自我提升：1.6种2.C3.4个4.12种5.6种6.5个7.一共有6个；从小到大排列为：234＜243＜324＜342＜423＜4328.一共有6种不同的可能性，分别是：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ．1.学习树状加法图：2.标号→画线→数数进行相加3.小猫要回家，它可以有几种不同的走法？4.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地有几种走法？5.一只蜜蜂，从“1”爬到“6”处，有几种不同的走法？6.小蚂蚁从1走到5，不走重复路，有几种不同的走法？7.小明、小红、小强、小莉是好朋友，这天他们每两人互通了一次电话。
(完整)小学三年级奥数--数阵图
数阵图（一）在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
试一试：练习与思考第1题。
例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
二年级奥数数阵图
数阵图1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。
(1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。
3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之和都等于14。
拓展练习（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于12。
（2）把1，2，3，4，5，6分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例4. 把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。
简单数阵图例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。
例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。
例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。
1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。
2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。
3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。
4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。
二年级第九讲简单的数阵图
第九讲简单的数阵图●知识导引一、数阵图数：连续，大小，奇偶性。
图：辐射型，封闭型，混合型。
二、突破口的选择1.数比较多的地方。
2.重叠部分：考虑第一个数，中间数，最后一个数。
三、方法1.尝试法（有序枚举）。
2.计算法：线和，数和，重叠部分。
●例题精讲例题1将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9按照要求填入下图的圆圈中，使得每边上的和为12（同一个数只能使用一次）。
★找数最多的部分作为突破口，有序的枚举，尝试进行填空。
练习1在下面的圆圈中填上适当的数，使每条直线上的三个数之和都是12。
例题2将1~16这十六个数分别填入下面的方框，使横行、竖列、斜对角的四个数的和都相等。
★先观察横行、数列、斜对角，寻找出题目的突破口，再从数多的部分入手，逐一填数，各个击破。
练习2将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面的圆圈中，使得每边上的和为10，同一个数只能使用一次。
例题3把2，3，4，5，6这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于11，每个数只能是一次。
★找突破口（重叠部分），条件中要填的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个数进行重叠数的尝试，最后小数配大数。
练习3把5，6，7，8，9这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于22，每个数只能使用一次。
例题4将1~9这九个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于12，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个进行尝试。
练习4将1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于14，每个数只能使用一次。
例题5把1，2，3，5，7，9，11这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都为14，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数不是连续的，奇偶性尝试或者计算的方法。
二年级奥数：数阵图
二年级奥数：数阵图渣渣兔摆棋子，它想让每行每列的三个数相加都等于 15。
现在摆了 4 个，剩下的应该摆哪几个数呢？数阵图——把数按照一定的规律要求排起来方法：找准要求和填数的突破口庆祝渣渣兔的生日，微微老师给它做了一个蛋糕。
现在往蛋糕上插上数字蜡烛，希望每条线上的三个数相加和都等于 12。
你来帮帮我！辐射型数阵图关键点：重叠数如果所填的数是连续数，可以尝试重叠数为最大的、最小的、中间数其余的：大手拉小手请把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 12。
请把 1~9 这九个数字分别填入圆圈内，使每条横线、竖线、斜线上的三个数相加的和都是12。
请你把 1、2、3、5、7、9、11 这 7 个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 14。
辐射型数阵图（一个重叠点）如果所填的数不是连续数，用拆数法，将总数拆成几个数相加的形式。
请你把 1、2、3、4、5、7 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 13。
封闭型数阵图（多个重叠数）方法：有序的拆数（重复的数就是数阵图中的重叠数）数阵图，关键点是找出重叠数1、辐射型——连续的数：尝试法：头、尾、中间数；其余大手拉小手不连续的数：拆数法2、封闭型——拆数法【练习 1】在圆圈内填上适当的数，使每条线上的三个数之和都为 12。
你能做到吗？【练习 2】把 4~8 这 5 个数填入圆圈中（左下图），使两条直线上三个数之和等于 18。
【练习 3】将 1-7 这 7 个数填入右上图中，使每条线上的数之和都未 14。
【练习 4】请将 3、4、5、6、7、8、9 填入下面的圆圈里，并使每条直线上三个数字之和都相等。
（同一图片中不能出现相同的数；不同图片中数字可以重复使用。
）【练习 5】请你把 1、2、3、4、5、6 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 14。
数阵图(二)(含详细解析)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】17 89411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
封闭型数阵图1
12×3=36 1+2+3+4+5+6=21 36-21=15 所给数中和为15的三个数： 4，5，6
例2：将1—6分别填在与例1相同的图中， 使每条边上三个圆圈内的数的和等于10.
1
6 4
10×3=30 1+2+3+4+5+6=21 30-21=9 1+3+5=9 或 2+3+4=9
5
3
2
或1+2+6=9
所给数1~6中和为9的三个数：1，3，5或2，3，4 或1，2，6
评注： 评注：在找到重叠数之后 还要把它们填入图形中看看 能不能成立， 能不能成立，并不是每组重 叠数都能成功的。 叠数都能成功的。
【例3】将1—6这六个数分别填入下图中 的小圆圈内，使每个大圆圈上的四个数之 和都等于13.
封闭型
例1：将1—6分别填在图中，使每条边上 三 2 4 5
9×3=27 1+2+3+4+5+6=21 3 27-21=6 1+2+3=6
所给数 1~6的和
重叠数之和
1~6中和为6的三个数：1，2，3
练习：
1.将1、2、3、4、5、6填在下图中，使 每条边上的三个数的和等于12.
13×2=26
2 1 3
1+2+3+4+5+6=21 26-21=5 2个数的和为5有：
5
6 4
1和4，2和3
尝试：①1和4 尝试：②2和3
1，2，3，4，5，6 1，2，3，4，5，6
√ ×
•【思考3】将1—10这十个数分别填入 图中的圆圈内，使每个大圆圈上的六 个数之和都等于33.
小学数学《数阵图》练习题(含答案) (1)
小学数学《数阵图》练习题（含答案）课前复习1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16.【答案】【答案】2.在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18.【答案】3. 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是64.【答案】在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵.到底什么是数阵呢?我们先观察下面2个图：在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两条对角线上三个数的和都是15.认真观察，你发现每个图中的数字有什么特点？左上图有两条直线，每条直线上都有3个数字，它们的和都分别等于15；而右上图，将l～9九个数字排成三行、三列，每一行、每一列、每一斜行上的3个数字的和都等于15.数阵就是用数(一般指自然数)按一定的要求和规律，组成特定的形状或布成特定的阵势.它一般分为辐射型(左上图)和封闭型(右上图).要把一些数字按一定的规则填入图形中，有没有巧妙的方法来填呢?今天这节课我们就一起来学习.辐射型数阵图【例1】把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10.【分析】横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数a被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于10，所以(1+2+3+4+5)+a=10×2，a=5.剩下4个数中每两个数之和应该等于5，，1+4=2+3。
【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等.【分析】方法一：把6除外，还剩4，5，7，8，这四个数，在这四个数中4+8=5+7，这样可以填出答案。
方法二：与例1不同之处是已知“重叠数”为6，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.可以先求出这个“和k”.(4+5+6+7+8)+6=k×2.K=18。
【暑期数学培优课程】 第2册 PD 第08讲 幻方和数阵图(2)(上)教师版
第08讲幻方和数阵图（2）（上）教学目标：1、使学员接触并掌握复杂的幻方及数阵填写的一般方法；2、引入难度较大的幻方问题的解决和处理，提升分析能力；3、培养学员“图形与数结合问题”的处理技能，为变身工程师做准备。
教学重点：使学员接触并掌握复杂的幻方及数阵填写的一般方法。
教学难点：引入难度较大的幻方问题的解决和处理，提升分析能力。
教学过程：【知识拓展】例1、如下图，请把11、12、13、14、15、……、26补充进没有填数的空格（每个数在同一个幻方中只能出现一次），使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等。
解析部分：第一步：引导学员对于此题的中的四阶幻方概念进行学习，鼓励学员在纸上进行尝试计算操作，对于四阶幻方有初步的理解；第二步：观察到题目中给出的已知条件，根据四阶幻方具体特点对此题中的幻方进行填写。
”第三步：引导学员对于此题的解决过程进行回顾，对于四阶幻方的填写模式进行复习，通过学员更多的尝试操作加深对于幻方的理解。
参考答案：例2、如下图，在这只毛毛虫身体上的7个小圆中分别填入1-7这7个数，使得三个大圆上的数之和相等。
参考答案：【阶段复习】练习1、如下图，请把20、21、22、23、24、……、35补充进没有填数的空格（每个数在同一个幻方中只能出现一次），使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等。
参考答案：练习2、如下图，请把1、2、3、4、5、……、16补充进没有填数的空格（每个数在同一个参考答案：练习3、请在下图的每个小圈圈内填入1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同。
那么所填数的总和是多少？参考答案：或【课堂总结】四阶幻方：1、四阶幻方需要分成“两圈”进行数据的尝试填写；2、注意在填写过程中数据的对称性的应用。
非线性数阵：1、注意所给数据之间的关联，并作快速计算；2、对于数据的对称性合理的进行应用。
【作业与预习】作业1、如下图，请把1、2、3、4、5、……、16补充进没有填数的空格（每个数在同一个参考答案：作业2、将8个不同的数分别填入下图空格圈中(数阵中每个数只能出现一次),使每个圆圈上五个数的和等于21。
小学数学数阵图
解题过程
边和X3 = a+b+c+d+e+f+g+2c 14X3 = 1+2+3+4+5+6+7+2c 42 = 28+2c 14 = 2c c= 7
2020/12/9
例1 （★★）
将1~7这七 个数字， 分别填入 2 图中各个 ○内，使 每条线段 上的三个 ○内数的 和都等于 14。
1
6
7
5
4
3
先填入边和，直线上微调，满足圆圈。
【超常大挑战】(★★★★★)
a ,b ,c ,d ,e, f, g ,h ,I ,处分别填入1至9， 如果每个圆环所填的数的和都相等， 那么这个相等的和最大是多少？最少是多少？
a+e+i+c+g+2(b+d+f+h)=和×5 45+b+d+f+h=和×5 b+d+f+h最大时为6,7,8,9 此时和为15 b+d+f+h最小时为1,2,3,4 和为11 当和为15时无解，和为14有解 最大为14，最小为11
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圈和X2=数字和+a+b 圈和X2=36+a+b 圈和等于21 a+b=6 则a 和b有两种可能1,5和2,4
二年级奥数：数阵图
二年级奥数：数阵图渣渣兔摆棋子，它想让每行每列的三个数相加都等于 15.现在摆了 4 个，剩下的应该摆哪几个数呢？数阵图——把数按照一定的规律要求排起来方法：找准要求和填数的突破口庆祝渣渣兔的生日，微微老师给它做了一个蛋糕.现在往蛋糕上插上数字蜡烛，希望每条线上的三个数相加和都等于 12.你来帮帮我！辐射型数阵图关键点：重叠数如果所填的数是连续数，可以尝试重叠数为最大的、最小的、中间数其余的：大手拉小手请把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 12.请把 1~9 这九个数字分别填入圆圈内，使每条横线、竖线、斜线上的三个数相加的和都是12.请你把 1、2、3、5、7、9、11 这 7 个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 14.辐射型数阵图（一个重叠点）如果所填的数不是连续数，用拆数法，将总数拆成几个数相加的形式.请你把 1、2、3、4、5、7 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 13.封闭型数阵图（多个重叠数）方法：有序的拆数（重复的数就是数阵图中的重叠数）数阵图，关键点是找出重叠数1、辐射型——连续的数：尝试法：头、尾、中间数；其余大手拉小手不连续的数：拆数法2、封闭型——拆数法【练习 1】在圆圈内填上适当的数，使每条线上的三个数之和都为 12.你能做到吗？【练习 2】把 4~8 这 5 个数填入圆圈中（左下图），使两条直线上三个数之和等于 18.【练习 3】将 1-7 这 7 个数填入右上图中，使每条线上的数之和都未 14.【练习 4】请将 3、4、5、6、7、8、9 填入下面的圆圈里，并使每条直线上三个数字之和都相等.（同一图片中不能出现相同的数；不同图片中数字可以重复使用.）【练习 5】请你把 1、2、3、4、5、6 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 14.。
第10讲 数阵图(二)
第10讲数阵图和幻方（二）幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题。
传说公元前二千多年，在大禹治水的时候，在黄河支流洛水浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为“洛书”、相传在我国远古的时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的“河图”，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
一般地，在n×n（n行n列）的方格内，不重不漏填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方。
这个和叫做幻和，n叫做阶。
幻方又叫魔方，九宫算或纵横图。
魔方：我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。
由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
九宫算：所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格。
每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相相等，这样得到的图就叫九宫（算）图。
纵横图：长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。
解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。
（定中间数，填四角数，算其余数）三阶幻方：就是将九个连续自然数填入3×3（三行三列）的方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方。
奇数阶幻方：“罗伯法”“楼贝法”西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。
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6将9－15这7个数填入空格中，使每个正方
形中4个数的和是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7.
4个数的和都等于13。
3、把数字1－9这9个数分别填在圆圈内，
使两条交叉线上5个数的和都是24.
4、将2－7这6个数字填入图中圆圈内9、把3－15这13个数填入圆圈
使每大圆圈四个数字和都是16.中，使每条线上的5个数之和是45.
5、将7、8、9、10、11、12这6个数
填入三角形三条边的圆圈内，使得每
数阵图姓名签字
1、将1－7这七个数填入7个圆圈里，7、将1－9这9个数填入圆圈中，使每条
使每条边上3个数的和是10。边上4个数这和是20.
（每条边上3个数的和是14,怎样填呢）
2、把1－6这6个数分别填入圆圈内，8、将13－20这8个数分别填入圆圈
使横行3个数的和与竖列中，使大正方形每边3个数之和是48.