学高一数学北师大版必修一学案1.1集合的含义与表示

1 集合的含义与表示

1．集合的含义

(1)集合与元素

一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…标记．集合中的每个对象叫作这个集合的元素，元素常用小写字母a ，b ，c ，d ，…标记．

集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．

(2)集合中元素的三个性质

①确定性

给定一个集合A ，任何一个对象a 是不是这个集合的元素就确定了．要么a 在集合A 中，要么a 不在集合A 中，二者必居之一．不允许有模棱两可的情况出现．例如：“我们班的高个子同学”就不具备确定性，因为组成集合的标准不明确，身高是多少时算“高个子”？再如“著名科学家”“较大的数”等，都不能组成集合，原因是各对象间找不出公共特征、属性，即元素的“指定”．

②互异性

在给定的集合中，元素是互异的．也就是说，集合中的任何两个元素都不相同，因此，集合中的元素没有重复现象．例如，方程(x －1)2(x ＋3)＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－3，其中1是二重根，在写由该方程的根构成的集合时，1只能出现一次，即只能写成由1和－3两个元素组成的集合，而不能写成由1,1，－3三个元素组成的集合．

③无序性

集合中元素的无序性，是指在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集中在一起，虽然习惯上会将某些元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，例如：由元素a ，b 组成的集合与由元素b ，a 组成的集合是同一个集合．

1．符号“∈”，“∉”是表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系的，这一点务必牢记；

2．“a ∈A ”或“a

∉A ”取决于a 是不是集合A 中元素，如果是，用a ∈A ；否则，用a ∉A .

【例

1－1】下列语句：

①2012

年伦敦奥运会上获得金牌的运动员可以构成一个集合；

②世界上所有的“大款”可以构成一个集合；

③由实数x ，－x ，所组成的集合里最多有2个元素；

④小于5的正整数组成的集合中的元素可按顺序1,2,3,4书写，也可按顺序2,4,3,1书写． 其中正确的是________．

解析：在①中，由于获得金牌的运动员是确定的，因此它能组成一个集合．在②中，由于“大款”没有一个确定的标准，因而不能判定一个人到底是不是“大款”，故它不能组成集合．在③,0,||,0,x x x x x ≥⎧==⎨

-<⎩x =-，所以由集合中元素的互异性知，当x ＝0时，由实数x ，－x ，所组成的集合里只有一个元素0；当x ≠0时，集合里

有两个元素x 和－x .④符合集合中元素的无序性．

答案：①③④

【例1－2】设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系正确的是( )．

A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M

C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M

解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x＜0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0不是不等式3－2x＜0的解，故0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2是不等式3－2x＜0的解，故2∈M.

答案：B

2．常用的数集及其记法

在数学中，最常用到的集合是关于数的集合，简称为数集．例如：不等式的解集、方程的解集等等．随着学习的深入，经常会用到自然数、整数、正整数、有理数、实数各自构成的集合，为了表达起来方便，对于这些常用的数集，我们专门指定一些大写字母来表示(如下表)：

＋

在这些特定集合符号中，N与N＋的区别为：N比N＋多一个元素0，也就是说，自然数集包括数0,0是最小的自然数．再就是符号N＋中的“＋”号在下标位置，不能写成N＋.

【例2】R；0.3∈Q；0∈N；0∈{0}；0∈N＋；1

2

∈N

＋

；

－π∈Z；－5∈Z.其中正确的关系式的个数是()．

A．4 B．5 C．6 D．7

解析：判断数与常用数集之间的关系，关键是要牢记各数集字母所表示的集合的意义，

R，0.3∈Q,0∈N,0∈{0},0∉N＋，1

2

∈N

＋

，－π∉Z，－5∈Z，所以

正确的关系式有5个．

答案：B

3．集合的表示方法

集合的常用表示方法有列举法、描述法．

(1)列举法

把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．一般来说，对于元素较少的集合常用列举法表示．例如：中国的直辖市构成的集合用列举法可表示为{北京，上海，天津，重庆}，关于x的方程x－a＝0的解集可写成{a}．

破疑点用列举法表示集合的几点注意事项

用列举法表示集合时，必须注意如下几点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合的元素不能重复；⑤集合的元素可以表示任何事物，如人、物、地点、数等；⑥对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，也可用列举法表示，但是必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如N＋＝{1,2，3，…}，所有正偶数组成的集合可写成{2,4,6,8，…}．

(2)描述法

用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法．

用描述法表示集合的具体方法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的代表符号及取值范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出这个集合中元素所满足的条件．例如，不等式x ＋5＜1的整数解组成的集合可以表示为{x∈Z|x＋5＜1}；方程x2－2x－3＝0的解集可以表示为{x|x2－2x－3＝0}；函数y＝－3x＋1图像上的点(x，y)的集合可以表示为{(x，y)|y＝－3x＋1}．破疑点用描述法表示集合的几点注意事项

使用描述法表示集合时注意：①弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式；②弄清元素所满足的条件是什么，当用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑；③当条件中出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围；④当集合的元素有无数多个，或者集合的元素是有限个但比较多时，用列举法显然不能或不容易表示出集合，这时就采用描述法．