西安市2019届中考数学模拟试卷(二)含答案解析

2019年陕西省西安市中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．﹣的倒数是（）
A．3 B．C．﹣3 D．±
2．如图，由6个相同的小正方体搭成的立体图形，若由图①变到图②，不改变的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．左视图和俯视图
3．计算（﹣3a3）2的结果是（）
A．﹣3a6B．3a6C．﹣9a6D．9a6
4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）
A．32°B．58°C．68°D．60°
5．某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听450克，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10，则这10
听罐头质量的众数为（）
A．460 B．455 C．450 D．0
6．如果a＜b，那么下列不等式中一定正确的是（）
A．a﹣2b＜﹣b B．a2＜ab C．ab＜b2D．a2＜b2
7．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
8．点A（m2+1，y A）在正比例函数y=﹣2x的图象上，则（）
B．y A＜0 C．y A≤﹣2 D．y A≥﹣2
A．y A
＞0
9．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有（）
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE=AB2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2
二、填空题（共4小题，每小题3分，计18分）
11．分解因式：4x2﹣16y2=．
12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．在平面内，将长度为6的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转60°，则线段AB扫过的面积为．
B．用科学计算器计算：sin42.5°=（精确到0.01）．
13．在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=﹣和y=于A，B两点，P 是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于．
14．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，斜边AB=2
，动点P 在AB 边上，动点Q 在AC 边上，且∠CPQ=90°，
则线段CQ 长的最小值= ．
三、解答题（共11题，78分）
15．（1）先化简，再求值：（x+2）2+x （2﹣x ），其中x=．
（2）解分式方程：．
16．解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
17．在济南市开展的“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
（1）统计表中的x= ，y= ；
（2）被调查同学劳动时间的中位数是 时；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
19．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF
的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）
21．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y1＜y2．
22．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
23．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在直角梯形AOBC中，AC∥OB，且OB=6，AC=5，OA=4．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）以O、A、B、C中的三点为顶点可组成哪几个不同的三角形？
（3）是否在边AC和BC（含端点）上分别存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短？若存在，请说明理由，并求出这时点M、N的坐标；若不存在，为什么？
2019年陕西省西安市中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．﹣的倒数是（）
A．3 B．C．﹣3 D．±
【考点】倒数．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣的倒数是﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数．
2．如图，由6个相同的小正方体搭成的立体图形，若由图①变到图②，不改变的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．左视图和俯视图
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：主视图都是第一层三个正方形，第二层左边一个正方形，故A正确；
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．计算（﹣3a3）2的结果是（）
A．﹣3a6B．3a6C．﹣9a6D．9a6
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：（﹣3a3）2=9a6，
故选D．
【点评】本题考查了对积的乘方和幂的乘方法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力，注意：①积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，②幂的乘方，底数不变，指数相乘．
4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）
A．32°B．58°C．68°D．60°
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】计算题．
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
【解答】解：根据题意可知，∠2=∠3，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠1=58°．
故选：B．
【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
5．某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听450克，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10，则这10
听罐头质量的众数为（）
A．460 B．455 C．450 D．0
【考点】众数．
【分析】根据众数的概念求解．
【解答】解：由题意得，质量与标准质量的差值众数为0，
则众数为：450+0=450．
故选C．
【点评】本题考查了众数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
6．如果a＜b，那么下列不等式中一定正确的是（）
A．a﹣2b＜﹣b B．a2＜ab C．ab＜b2D．a2＜b2
【考点】不等式的性质．
【分析】利用不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解答】解：A、a＜b两边同时减2b，不等号的方向不变可得a﹣2b＜﹣b，故此选项正确；
B、a＜b两边同时乘以a，应说明a＞0才得a2＜ab，故此选项错误；
C、a＜b两边同时乘以b，应说明b＞0才得a b＜b2，故此选项错误；
D、a＜b两边同时乘以相同的数，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，关键是要注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，
∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．
8．点A（m2+1，y A）在正比例函数y=﹣2x的图象上，则（）
B．y A＜0 C．y A≤﹣2 D．y A≥﹣2
A．y A
＞0
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】把A点坐标代入y=﹣2x得到y A=﹣2m2﹣2，然后利用非负数的性质易得y A≤﹣2．
【解答】解：∵A（m2+1，y A）在正比例函数y=﹣2x的图象上，
∴y A=﹣2（m2+1）=﹣2m2﹣2，
∵﹣2m2≤0，
∴﹣2m2﹣2≤﹣2，
即y A≤﹣2．
故选C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的
图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）；直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
9．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有（）
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE=AB2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】由条件可判定△ABD为等边三角形，可得出DE⊥AB、BF⊥AD，可求得∠FGE，可判断①；由条件可证得△DCG≌△BCG，可判断②；在△BDF和△CGB中可得出BD≠CG，可判断③；
由等边三角形的面积可知S△ABD=AB2可判断④．可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB，且∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
又∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴DE⊥AB，BF⊥AD，
∴∠GFA=∠GEA=90°，
∴∠BGD=∠FGE=360°﹣∠A﹣∠GFA﹣∠GEA=120°，
∴①正确；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDG=∠CBG=90°，
在Rt△CDG和Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），
∴DG=BG，∠DCG=∠BCG=∠DCB=30°，
∴DG=BG=CG，
∴DG+BG=CG，
∴②正确；
在Rt△BDF中，BD为斜边，在Rt△CGB中，CG为斜边，
且BD=BC，在Rt△CGB中，显然CG＞BC，即CG＞BD，
∴△BDF和△CGB不可能全等，
∴③不正确；
∵△ABD为等边三角形，
∴S△ABD=AB2，
∴S△ADE=S△ABD=AB2，
∴④不正确；
综上可知正确的只有两个，
故选B．
【点评】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握菱形的四边相等、对边平行及等边三角形的性质是解题的关键．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1与y2的大小．
【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，
∴y1＜y2．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判断自变量取值范围内，函数值的大小．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计18分）
11．分解因式：4x2﹣16y2=4（x+2y）（x﹣2y）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：4x2﹣16y2=4（x2﹣4y2）=4（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：4（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．在平面内，将长度为6的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转60°，则线段AB扫过的面积为3．
B．用科学计算器计算：sin42.5°=24.03（精确到0.01）．
【考点】扇形面积的计算；计算器—三角函数．
【分析】A．线段AB扫过的面积是：半径是3，圆心角是60°的扇形的面积的2倍，利用扇形的面积公式即可求解．
B．根据计算器的应用，对计算器给出的结果四舍五入可得答案．
【解答】解：A．半径是3，圆心角是60°的扇形的面积是：=π，
则线段AB扫过的面积是2×π=3π．
故答案是：3π．
B．sin42.5°≈3.60×0.676=2.44．
故答案为2.44．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
13．在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=﹣和y=于A，B两点，P 是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于4．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据题意画出图形，分别过点A 、B 作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，由点A 、B 分别在双曲线y=
﹣和y=上可知S 矩形ACOE =6，S 矩形BEOD =2，故S 矩形ACDB =S 矩形ACOE +S 矩形BEOD =6+2=8，故AB •AC=8，
再由S △ABP =AB •AC 即可得出结论．
【解答】解：如图所示：分别过点A 、B 作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，
∵点A 、B 分别在双曲线y=﹣和y=上，
∴S 矩形ACOE =6，S 矩形BEOD =2，
∴S 矩形ACDB =S 矩形ACOE +S 矩形BEOD =6+2=8，即AB •AC=8，
∴S △ABP =AB •AC=×8=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
14．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，斜边AB=2
，动点P 在AB 边上，动点Q 在AC 边上，且∠CPQ=90°，
则线段CQ 长的最小值= 2 ．
【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【分析】以CQ 为直径作⊙O ，当⊙O 与AB 边相切动点P 时，CQ 最短，根据切线的性质求得OP ⊥AB ，
进而根据已知求得△POQ 为等边三角形，得出∠APQ=30°，设PQ=OQ=OP=OC=r ，
3r=AC=cos30°•AB=×=3，从而求得CQ 的最小值为2．
【解答】解：以CQ 为直径作⊙O ，当⊙O 与AB 边相切动点P 时，CQ 最短，
∴OP⊥AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∵OP=OQ，
∴△POQ为等边三角形，
∴∠POQ=60°，
∴∠APQ=30°，
∴设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB=×=3，
∴CQ=2，
∴CQ的最小值为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形函数等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、解答题（共11题，78分）
15．（1）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．
（2）解分式方程：．
【考点】整式的混合运算—化简求值；解分式方程．
【分析】（1）先算乘法，再合并同类项即可；
（2）先去分母得出整式方程，求出方程的解，最后检验即可．
【解答】解：（1）（x+2）2+x（2﹣x）
=x2+4x+4+2x﹣x2
=6x+4，
当x=时，原式=6×+4=6；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x ﹣2）得：2x （x ﹣2）﹣3（x+2）=2（x+2）（x ﹣2），
解得：x=，
检验：把x=代入（x+2）（x ﹣2）≠0，
所以，原方程的解为x=．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，解分式方程的应用，（1）小题主要考查学生的化简能力和计算能力，解（2）小题的关键是把分式方程转化成整式方程，难度适中．
16．解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由①得，x ≥﹣1，
由②得，x ＜4，
故此不等式组的解集为：﹣1≤x ＜4．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．在济南市开展的“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
（1）统计表中的x=40，y=0.18；
（2）被调查同学劳动时间的中位数是 1.5时；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；加权平均数；中位数．
【分析】（1）首先根据劳动时间是0.5小时的有12人，频率是0.12即可求得总数，然后根据频率的计算公式求得x、y的值；
（2）根据中位数的定义，即大小处于中间位置的数即可作出判断；
（3）根据（1）的结果即可完成；
（4）利用加权平均数公式即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是12÷0.12=100（人），
则x=100×0.4=40（人），
y==0.18；
（2）被调查同学劳动时间的中位数是1.5小时；
（3）
；
（4）所有被调查同学的平均劳动时间是：=1.32（小时）．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；
（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【专题】判别式法．
【分析】（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；
方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣，x1=﹣．
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
20．黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF
的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】几何图形问题．
【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN=0.25m．由小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME，设AM=ME=xm，
则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN==，代入CN、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．
【解答】解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，
∴MN=0.25m，
∵∠EAM=45°，
∴AM=ME，
设AM=ME=xm，
则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m，
∵∠ECN=30°，
∴tan∠ECN===，
解得：x≈8.8，
则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（m）．
答：旗杆的高EF为10.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．
21．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y1＜y2．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】数形结合；待定系数法．
【分析】（1）将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k、b的值，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值，继而可得两函数解析式；
（2）寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围．
【解答】解：（1）将点（2，5）、（0，7）代入一次函数解析式可得：，
解得：．
∴一次函数解析式为：y=﹣x+7；
将点（2，5）代入反比例函数解析式：5=，
∴m=10，
∴反比例函数解析式为：y=．
（2）由题意，得：，
解得：或，
∴点B的坐标为（5，2），
由图象得：当0＜x ＜2或x ＞5时，y 1＜y 2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是联立解析式，求出交点坐标．
22．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
【考点】游戏公平性．
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：
表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．
∴P （甲获胜）=，P （乙获胜）=．
∵，
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知
∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】（1）证明：连结OC，OA，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=2∠PBC，
∴2∠ACO+2∠PBC=180°，
∴∠ACO+∠PBC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCA=∠PBC；
（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
∴=，
∴PC2=PA•PB，
∵PA=3，PB=5，
∴PC==．
【点评】本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；
（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
将A（﹣1，0），B（4，0）代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC==2．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×2h=×2×4，
∴h=．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴=，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，
得x1=0，x2=3．
当y=﹣2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解题的关键是正确求出函数的解析式．
25．如图，在直角梯形AOBC中，AC∥OB，且OB=6，AC=5，OA=4．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）以O、A、B、C中的三点为顶点可组成哪几个不同的三角形？
（3）是否在边AC和BC（含端点）上分别存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短？若存在，请说明理由，并求出这时点M、N的坐标；若不存在，为什么？
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由OB=6，点B在x轴，得到B点的坐标，根据AC∥OB，AC=5，得到点C的坐标；（2）根据不在同一直线的三点能组成一个三角形，得到以O、A、B、C中的三点为顶点可组成4
个不同的三角形；
（3）过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则
S△MON=S△OMP+S△NMP=MP•QG+MP•GN，因为QN、MP同时取得最大值是OB、OA，所以M 应该和A重合，从而求得M的坐标．
【解答】解：（1）∵OB=6，OA=4，
∴B（6，0）
∵AC∥OB，AC=5，
∴C（5，4）；
（2）以O、A、B、C中的三点为顶点可组成的三角形为△AOB△AOC△BOC△ABC四个不同的三角形；
（3）如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，
则S△MON=S△OMP+S△NMP=\frac{1}{2}MP•QG+\frac{1}{2}MP•GN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴当点N与点B重合，M在AC上运动时，QN，MP同时取得最大值BO，OA，
∴△MON的面积=OA•OB，
∴M点与A点重合，
∴M（0，4），△MON的周长=10+，
当△OMN是等腰三角形时，点N与B重合，
则OM=MN，∴M（3，4），
∴△MON的面积=OA•OB，
∴△MON的周长=16＜10+，
∴存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短，
M（3，4）．
【点评】本题考查了直角梯形的性质，坐标和图形的性质，轴对称的性质，不在同一直线的三点能组成一个三角形等知识点，作出辅助线是本题的关键．。