数值积分方法
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a b
的值大.
二、Simpson公式
n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多 项式 L2(x)：2 b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
f ( x ) 在节 a x0 x1
xn b
f ( x0 ), f ( x1 ),
, f ( xn )
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
5.2.1 复化梯形积分 将[a, b]分成若干小区间，在每个区间[xi, xi+1]上用 梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加 起来，就得到区间[a, b]上的数值积分。这种方法称 为复化梯形积分。 ★ 计算公式
将[a, b] n等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
其中
4
M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
1 2 1 2
2
n 1
1 h 3 n1 1 n1 1 n 2 1 h f (a ) f ( x i ) f ( x i 1 ) f (b) f ( i ) 2 i 1 2 i 0 2 2 12 i 0
复化梯形公式
记为 T(h) 或 Tn( f ):
(b a ) 3 f ( ), [a , b] 2 12n
5.2.2 复化Simpson公式： ★ 计算公式 将[a, b] 2m 等分, m 为积分子区间数，记 n = 2m，n+1 为节点总数 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
I ( f ) f ( x )dx
b a i 0 m 1 m 1 x2 i2 x2 i
f ( x )dx
2h f ( x 2 i ) 4 f ( x 2 i 1 ) f ( x 2 i 2 ) En ( f ) 6 i 0
b
xn1 xn b
,n
仅与求积节点有关
求积公式的截断误差或余项：
En ( f ) f ( x )dx Ak f ( xk )
a k 0
n
§5.1 插值型求积公式
思 想
用被积函数 f ( x )在区间[a , b] 上的插值多项式近似代替计算
设已知函数 点 上的函数值
A0 l 0 ( x )dx A1 l1 ( x )dx
b
( x (a b) / 2)( x b ) 1 dx (b a )， (a (a b) / 2)(a b) 6
4 (b a )， a 6 b 1 A2 l 2 ( x )dx (b a ). a 6
定积分几何意义：
曲边梯形的面积
a
b
数值积分的思想：
分割、近似、求和
取右端点矩形近似 取左端点矩形近似
a
b
a
b
数值积分公式的一般形式：
I n ( f ) Ak f ( xk )
其中
k 0
n
b a
f ( x )dx
求积节点 求积系数
a x0 x1
Ak k 0,1,
a a b b
1 b ( 3) f ( )( x a )( x x1 )( x b )dx 6 a
(5.5)
(b a ) ( 4 ) f ( ), a b 2880
5
积分中值定理： 连续、不变号
§5.2 复合求积公式
复合求积法 通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区 间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式Simpson 积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间[a,
这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近 似计算公式，称为梯形数值积分公式。
几何意义
用梯形面积近似
a
b
截断误差：已知线性插值的截断误差为
f ( ) R1 ( x ) f ( x ) L1 ( x ) ( x x 0 )( x x1 ), a b, 2! b b 1 b E1 ( x ) f ( x )dx L1 ( x )dx f ( )( x x 0 )( x x1 )dx a a 2 a (b a ) 3 f ( ), a b (5.3) 积分中值定理： 连 12
b
A0 f (a ) A1 f (b ).
xb 1 其中 0 l 0 ( x )dx dx (b a ) a a ab 2 b b xa 1 1 l1 ( x )dx dx ( b a ) a a ba 2 b ba (5.2) a f ( x)dx 2 f (a) f (b) T(f)
(5.5)
系数首尾为1，奇数点为4，偶数点为2
复化Simpson公式的几何意义
小抛物面积之和近似
复化Simpson公式的余项
n 1
设 f ( x ) C ( 4) [a, b]
h h 4 ( 4) En ( f ) I S n ( f ) f (i ) i 0 180 2
b
a
f ( x )dx
i 0
n 1
x i 1 xi
f ( x )dx(积分的性质)
h n1 f ( x i ) f ( x i 1 ) En ( f ) 2 k 0 x i 1 x i ( x i 1 x i ) 3 f ( x i ) f ( x i 1 ) f ( i ) 2 12 i 0
一、梯形公式
n=1时的求积公式
1 k 0
b
a
f ( x )dx Ak f ( x k ) A0 f ( x 0 ) A1 f ( x1 ) L1 ( x )dx
a b
b b
l 0 ( x ) f (a ) l1 ( x ) f ( b) dx a
续、不变号
Байду номын сангаас
对(5.3)可作如下的几何解释：当f " ( x )在[a , b]上恒为负时， f ( x )在[a , b]上为凸，表示梯形的面积小于曲边梯形的面积， 此时（5.2）式计算出的值比积分 f ( x )dx的值小；当f " ( x )
a b
在[a , b]上恒为正时，f ( x )在[a , b]上为凹，表示梯形的面积大 于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分 f ( x )dx
n1
h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
复化梯形公式的几何意义
小梯形面积之和近似
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C 2 [a, b]
n1
h3 Rn ( f ) I Tn ( f ) f (k ) k 0 12
其中
Ak lk ( x )dx
a
b
余项 En [ f ]
b a
f ( ) n1 ( x )dx ( n 1)!
( n 1)
则有数值积分公式
b a
f ( x )dx Ak f ( xk ) (5.1)
k 0
n
这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似 计算公式，称为插值型数值积分公式。
b
a
f ( x )dx
b
a
ba L2 ( x )dx f (a ) 4 f 6 S( f )
a b f (b ) 2 (5.4)
这是用二次插值函数代替被积函数导出的定积分近似 计算公式，称为辛普森数值积分公式。 几何意义：
a
n b k 0
b
b n a
l ( x) f ( x
k 0 n k k 0
k
)dx
f ( xk ) lk ( x )dx Ak f ( xk ) a
( x x 0 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) lk ( x) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x x k 1 ) ( x k x n )
k 0 b b a a
= L2 ( x )dx l0 ( x ) f ( x0 ) l1 ( x ) f ( x1 ) l2 ( x ) f ( x2 ) dx
其中
ab A0 f (a ) A1 f A2 f (b). 2
b b a a
( 4)
n 1
例：
sin x 积分I dx 的近似值，要求按复化Simpson公 0 x 6
1
分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算
式计算时误差不超过 解：
0.5 10 。 ba 1 首先来确定步长 h n n
4
复化Simpson公式的余项：
b a h ( 4) ba h Rn ( f ) f ( ) M4 180 2 180 2
m 1 m 1 h f (a ) 4 f ( x 2 i 1 ) 2 f ( x 2 i ) f (b) 3 i 0 i 1
b a h ( 4) f ( ) 180 2
4
复化Simpson公式
m 1 m 1 h S n ( f ) f (a ) 4 f ( x 2i 1 ) 2 f ( x 2 i ) f (b) 3 i 0 i 1
Simpson积分公式的截断误差（定理）：
f ( 3) ( ) R2 ( x ) f ( x ) L2 ( x ) ( x x 0 )( x x1 )( x x 2 ), 3! a b, E 2 ( x ) f ( x )dx L2 ( x )dx
n 1 1 ( 4) ( 4) ( 4) m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
1 ( 4) 由介值定理 [a , b] f ( ) f (i ) n i 0 4 余项估计式 E ( f ) I S ( f ) b a h f ( 4 ) ( ) n n 180 2
1 n1 m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
由介值定理
1 n1 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0
3 n 1 3 h h 余项估计式 E ( f ) I ( f ) T ( f ) f ( i ) nf ( ) n n 12 i 0 12
的值大.
二、Simpson公式
n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多 项式 L2(x)：2 b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
f ( x ) 在节 a x0 x1
xn b
f ( x0 ), f ( x1 ),
, f ( xn )
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
5.2.1 复化梯形积分 将[a, b]分成若干小区间，在每个区间[xi, xi+1]上用 梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加 起来，就得到区间[a, b]上的数值积分。这种方法称 为复化梯形积分。 ★ 计算公式
将[a, b] n等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
其中
4
M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
1 2 1 2
2
n 1
1 h 3 n1 1 n1 1 n 2 1 h f (a ) f ( x i ) f ( x i 1 ) f (b) f ( i ) 2 i 1 2 i 0 2 2 12 i 0
复化梯形公式
记为 T(h) 或 Tn( f ):
(b a ) 3 f ( ), [a , b] 2 12n
5.2.2 复化Simpson公式： ★ 计算公式 将[a, b] 2m 等分, m 为积分子区间数，记 n = 2m，n+1 为节点总数 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
I ( f ) f ( x )dx
b a i 0 m 1 m 1 x2 i2 x2 i
f ( x )dx
2h f ( x 2 i ) 4 f ( x 2 i 1 ) f ( x 2 i 2 ) En ( f ) 6 i 0
b
xn1 xn b
,n
仅与求积节点有关
求积公式的截断误差或余项：
En ( f ) f ( x )dx Ak f ( xk )
a k 0
n
§5.1 插值型求积公式
思 想
用被积函数 f ( x )在区间[a , b] 上的插值多项式近似代替计算
设已知函数 点 上的函数值
A0 l 0 ( x )dx A1 l1 ( x )dx
b
( x (a b) / 2)( x b ) 1 dx (b a )， (a (a b) / 2)(a b) 6
4 (b a )， a 6 b 1 A2 l 2 ( x )dx (b a ). a 6
定积分几何意义：
曲边梯形的面积
a
b
数值积分的思想：
分割、近似、求和
取右端点矩形近似 取左端点矩形近似
a
b
a
b
数值积分公式的一般形式：
I n ( f ) Ak f ( xk )
其中
k 0
n
b a
f ( x )dx
求积节点 求积系数
a x0 x1
Ak k 0,1,
a a b b
1 b ( 3) f ( )( x a )( x x1 )( x b )dx 6 a
(5.5)
(b a ) ( 4 ) f ( ), a b 2880
5
积分中值定理： 连续、不变号
§5.2 复合求积公式
复合求积法 通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区 间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式Simpson 积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间[a,
这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近 似计算公式，称为梯形数值积分公式。
几何意义
用梯形面积近似
a
b
截断误差：已知线性插值的截断误差为
f ( ) R1 ( x ) f ( x ) L1 ( x ) ( x x 0 )( x x1 ), a b, 2! b b 1 b E1 ( x ) f ( x )dx L1 ( x )dx f ( )( x x 0 )( x x1 )dx a a 2 a (b a ) 3 f ( ), a b (5.3) 积分中值定理： 连 12
b
A0 f (a ) A1 f (b ).
xb 1 其中 0 l 0 ( x )dx dx (b a ) a a ab 2 b b xa 1 1 l1 ( x )dx dx ( b a ) a a ba 2 b ba (5.2) a f ( x)dx 2 f (a) f (b) T(f)
(5.5)
系数首尾为1，奇数点为4，偶数点为2
复化Simpson公式的几何意义
小抛物面积之和近似
复化Simpson公式的余项
n 1
设 f ( x ) C ( 4) [a, b]
h h 4 ( 4) En ( f ) I S n ( f ) f (i ) i 0 180 2
b
a
f ( x )dx
i 0
n 1
x i 1 xi
f ( x )dx(积分的性质)
h n1 f ( x i ) f ( x i 1 ) En ( f ) 2 k 0 x i 1 x i ( x i 1 x i ) 3 f ( x i ) f ( x i 1 ) f ( i ) 2 12 i 0
一、梯形公式
n=1时的求积公式
1 k 0
b
a
f ( x )dx Ak f ( x k ) A0 f ( x 0 ) A1 f ( x1 ) L1 ( x )dx
a b
b b
l 0 ( x ) f (a ) l1 ( x ) f ( b) dx a
续、不变号
Байду номын сангаас
对(5.3)可作如下的几何解释：当f " ( x )在[a , b]上恒为负时， f ( x )在[a , b]上为凸，表示梯形的面积小于曲边梯形的面积， 此时（5.2）式计算出的值比积分 f ( x )dx的值小；当f " ( x )
a b
在[a , b]上恒为正时，f ( x )在[a , b]上为凹，表示梯形的面积大 于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分 f ( x )dx
n1
h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
复化梯形公式的几何意义
小梯形面积之和近似
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C 2 [a, b]
n1
h3 Rn ( f ) I Tn ( f ) f (k ) k 0 12
其中
Ak lk ( x )dx
a
b
余项 En [ f ]
b a
f ( ) n1 ( x )dx ( n 1)!
( n 1)
则有数值积分公式
b a
f ( x )dx Ak f ( xk ) (5.1)
k 0
n
这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似 计算公式，称为插值型数值积分公式。
b
a
f ( x )dx
b
a
ba L2 ( x )dx f (a ) 4 f 6 S( f )
a b f (b ) 2 (5.4)
这是用二次插值函数代替被积函数导出的定积分近似 计算公式，称为辛普森数值积分公式。 几何意义：
a
n b k 0
b
b n a
l ( x) f ( x
k 0 n k k 0
k
)dx
f ( xk ) lk ( x )dx Ak f ( xk ) a
( x x 0 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) lk ( x) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x x k 1 ) ( x k x n )
k 0 b b a a
= L2 ( x )dx l0 ( x ) f ( x0 ) l1 ( x ) f ( x1 ) l2 ( x ) f ( x2 ) dx
其中
ab A0 f (a ) A1 f A2 f (b). 2
b b a a
( 4)
n 1
例：
sin x 积分I dx 的近似值，要求按复化Simpson公 0 x 6
1
分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算
式计算时误差不超过 解：
0.5 10 。 ba 1 首先来确定步长 h n n
4
复化Simpson公式的余项：
b a h ( 4) ba h Rn ( f ) f ( ) M4 180 2 180 2
m 1 m 1 h f (a ) 4 f ( x 2 i 1 ) 2 f ( x 2 i ) f (b) 3 i 0 i 1
b a h ( 4) f ( ) 180 2
4
复化Simpson公式
m 1 m 1 h S n ( f ) f (a ) 4 f ( x 2i 1 ) 2 f ( x 2 i ) f (b) 3 i 0 i 1
Simpson积分公式的截断误差（定理）：
f ( 3) ( ) R2 ( x ) f ( x ) L2 ( x ) ( x x 0 )( x x1 )( x x 2 ), 3! a b, E 2 ( x ) f ( x )dx L2 ( x )dx
n 1 1 ( 4) ( 4) ( 4) m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
1 ( 4) 由介值定理 [a , b] f ( ) f (i ) n i 0 4 余项估计式 E ( f ) I S ( f ) b a h f ( 4 ) ( ) n n 180 2
1 n1 m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
由介值定理
1 n1 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0
3 n 1 3 h h 余项估计式 E ( f ) I ( f ) T ( f ) f ( i ) nf ( ) n n 12 i 0 12