数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式

数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式
① ⑤ ② ③ ④ ⑥ 数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式
知识、方法、技能
Ⅰ．组合恒等式
竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础，加以推广、补充而形成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如
0)1(232102101
1111=-++-+-=++++?==
+==----+++-n
n n n n n n n
n n n n n m
r m
n m n m n r n r n r
n r n r n
r n r
n n
r n
C C C C C C C C C C C C C C r n C C C C C C
组合恒等式的证明方法有：
①恒等变形，变换求和指标；②建立递推关系；③数学归纳法；
④考虑组合意义；⑤母函数. Ⅱ．组合不等式
组事不等式以前我们见的不多，在其他一些书籍中组合不等式的著述也很少，但是近年来组合不等式的证明却出现在国内、国际大赛上.例如1993年中国高中数学联赛二试第二大题为：
设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集A 1，A 2…，A m 两两互不包含，试证：（1）∑=≤m
i A n
I C
（2）
∑=≥m i A n m C I 1
2||
其中|A i |表示A i 所含元素的个数，|
|I A n C 表示n 个不同元素取|A i |的组合数. 再如1998年第39届国际数学奥林匹克竞赛中第二大试题为：
在某一次竞赛中，共有a 个参赛选手与b 个裁判，其中b ≥3，且为奇数.每个裁判对每个选手的评分中只有“通过”或“不及格”两个等级，设k 是满足条件的整数；任何两个裁判至多可对k 个选手有完全相同的评分. 证明：
.21b
b a k -≥ 因此我们有必要研究组合不等式的证明方法.组合不等式的证明方法有： 1．在集合间建立单射，利用集合阶的不等关系定理，设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射，（1）若f 为单射，则|X|≤|Y|；（2）若f 为满射，则|X|≥|Y|. 2．利用容斥原理
例如：设元素a 属于集族{A 1，A 2，…，A n }的k 个不同集合k i i i A A A ,,,21 ，则在
∑=n
i i
A 1
|
|中a 被计算了k 次，当k ≥2时，集合k i i i A A A ,,,21 两两的交集共有2
k C 个.由于
||,12)
1(12j n
j i i k A A a k k k C ∑≤≤≤-≥-=
在故中至少少被计算了k －1次，这样我们得到下面的不等式：
1
j
n
j i i
i n
i i n
i A
A A A ∑∑≤≤≤==-
≥
组合不等式（*）可由容斥公式：
||)
1(||||||1
)
1(11
1
i n
i n j
n
j i i
i n
i i n
i A A
A A A =-≤≤≤==-++-
=∑∑ 删去右边第三个和式起的所有
和式得到.
采用这种办法，我们可以从容斥公式得到另外一些组合不等式，只是要注意这些不等式的方向的变化.
3．利用抽屉原则
由于抽世原则的结论本身就是组合不等式关系，所以我们利用抽
屉原则，巧妙构造抽屉的方法证明组合不等式.
4．利用组合分析
在复杂的组合计数问题、离散极值问题等问题中，会出现一些组合不等式，这时可运用组合分析方法证明之.
赛题精讲
例1 证明：
∑=-?+
=n
k n k n n n n C 0
122!
!2)!
2(2
【分析】把
∑∑∑∑+=+===-n
n k k
n n n k k
n
n
k k n
n
k k n
C C C
C
21
221
220202,而对于变形为，变换求和指标.
【证明】
k n j C C
C
C C
n
n k k
n n
n k k n
n
n
n k k n
n
k k n
n
k k n
-=-
=-
=∑∑∑∑∑+=+=+===2,,2 21
221
2221
220
20
2令对于和式，
则
.20
20
221
221
2n
n n
k k n n
j n n
j n n j j n n
n k k n
C C C C C C
-=-==∑∑∑∑==-=+= 所以
.2
20
220
2n
n n
k k n n
n
k k n
C C C
+-=∑∑== 即 n
n n n
k k
n C C
220
222
+=∑=，从而有
∑=-?+
=n
k n k n n n n C 0
122!
!2)!
2(2.
例2 求证：.,)1(111)1(3
12
11
1210N n C n m C n m C m C m C m n n
m n
n n
n
n n ∈++=++-+-+++-++其中证明设n n n n n n n C n m C m C m C m a 1
1)1(312111210++-+-+++-+=
，则由基本恒等式r n r n r n r n r n C n
r C C C C =+=----1
111及得
.1
)1()()1()(31)(21111112
2
111112101110------------++-+++-+-+++++-+=
n n n n n n n n n n n n n n C n m C C n m C C m C C m C m a .)1(1
)1)(2())(1(!,
)
1)(2(1
2111,
)3())(1(!
)
)(1()
1(1.1
,1112111n
n m n n n n n n n n n n C n m m m n m n m n a m m m m a a m n m n m n a n m n m n n a n m n a a a n m a a n m a a +----++=+++++=++=+-+=++++==+++-=++==+++-
=
从而有而所以即故【说明】注意到a n 中各项的系数均与n 无关，且符号正负相同，由此想到a n 与a n －1之间必定存在着某些联系，
且是递推关系. 例3 求证：
∑=+--+=?-n
k k
k n k n k
n C 0
1222.12)
1(
【分析】考虑到恒等式1
2212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，仿例2解决.
【证明】令∑=+--??-=
n
k k
k n k n k
n C a 0
1222,2)
1(
因为，1
2212---+-+=k k n k k
n k
k n C C C ，
.
2)1(2)1(2
)
1(,1.2)1(2
)1()(2)1(2
2)1(2
11)1(21
02)1(21)1(21
2)1(211
21
221
21220
2221212222112222-+---=--+---=--+--=---=-=----=--=+---=--=?-=?--=?-+?-=+?-+=?-+=∑∑∑∑∑∑∑n r r n n r r n r r r n n r r n r k k
n n
k k
n k
k k n n
k k n k n
k k
k
n k
n k
k k n n
k k k n k n k n
n
k k
k n k n k n
n a C C C
k r C C C C C a 则
令所以
令
∑=---+==?-n
k n n n n k
k n k n k
a a
b b C 0
1222,2)
1(则① .
42)1(4)1()(2)1(2
)1(2)1(2
1110
)1(22)1(2111211122221
1
2222---=---------=----=---=?--=-++?-+=-+?-+=∑∑∑n n n j j j
n j n j n n k k n n k k k n k n k n
n k n k k n k n k n
n b a C a C C C b 又
于是由①式得1221112112,4,---------=+--=++=n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 即从而推知. 这说明{a n }为等差数列，而a 0=1,a 1=2，故公差d=1，且a n =n+1 .
【说明】此题运用变换求和指标的方法，找出了a n ，a n －1，a n －2之间的线性关系式，再由初始条件求得a n .这种利用递推关系求组合数的方法，在解决较复杂的计算或证明组事恒等式时经常用到.。