2022年人教版《一元二次方程(导学案)》精品学案

第二十一章一元二次方程
——一元二次方程的相关概念
一、新课导入
1.导入课题：
情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的
高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示
意图，把这个问题转化为数学问题）
问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系
式BC2=2AC）
问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？
这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）
2.学习目标：
（1）会设未知数，列一元二次方程.
(2)了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
3.学习重、难点：
重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.
难点：寻找等量关系.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.
（4）自学参考提纲：
①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.
先去括号5000-100x-200x+4x2=3600
移项合并同类项4x2-300x+1400=0
系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0
②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.
设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.
整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？
本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.
你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.
去括号x2-12x=28
系数化为1(两边同乘以2) x2-x=56
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.
②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.
（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.
4.强化：
（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.
（2）练习：根据下列问题列方程
①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π
②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.
1
x(x-3)=9
2
③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25
④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100
⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
x=(1-x)2
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第3页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.
（4）自学参考提纲：
①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2.
③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.
方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2
常数项：-4
方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350
方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1
常数项：-56
④举例说明什么是一元二次方程的根.
⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？
去括号，移项，合并同类项.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.
②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.
（2）生助生：生生互动交流、订正错误.
4.强化:
(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.
(2)练习：
①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系
数及常数项：
5x2-1=4x；4x2=81；
解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0
二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.
解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0
二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1
②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）
A. 3，5
B. 3，0
C. 3，-5
D. 5，0
2.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.
解：－4，3
3.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；
解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0
二次项系数：3 二次项系数：4
一次项系数：-6 一次项系数：5
常数项：1 常数项：-81
（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).
解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0
二次项系数：1 二次项系数：1
一次项系数：0 一次项系数：2
常数项：10 常数项：-2
4.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？
解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，
根据题意，得x(x-1)=132，
整理，得x2-x-132=0.
2的平方的长方形?
解：设长方形的长为xx)m.
根据题意，得xx)=0.06,
整理，得50x2-25x+3=0.
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？
解：设有x人参加了这次聚会,
根据题意，得x(x-1)=10
整理，得x2-x-20=0
二、综合应用（20分）
5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）
A. x2+130x-1400=0
B. x2+65x-350=0
C. x2-130x-1400=0
D. x2-65x-350=0
三、拓展延伸（10分）
6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.
解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.
将c=4代入原方程，得x2x=±2.
即方程的另一个根为-2.
角的平分线的性质（一）
教学目标
（一）教学知识点
角平分线的画法、角平分线的性质1．
（二）能力训练要求
1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求
在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．
教学难点
角的平分线的性质1
教学方法
引导发现、讲练结合法．
教具准备
多媒体课件
教学过程
一．提出问题，创设情境
问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离 ？
导入新课，明确学习目标
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？
二．合作交流 探究新知
探究1
想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线
AC 的方法．
学生活动：
观看多媒体课件，讨论操作原理．
[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．
[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全
等就可以了．
[生3]我们看看条件够不够．
AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．
所以∠CAD=∠CAB ．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．
试一试：老师再提出问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB ．
求作：∠AOB 的平分线．
作法：
（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．
（2）分别以M、N为圆心，大于1
2
MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．
点拨：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1
2
MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结：
1．去掉“大于1
2
MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平
分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的
内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
探究2：
做一做1
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．
做一做2
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．
2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．
[生甲]噢，对，我知道了．
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．
教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？
证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）
说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：（出示）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．
学生通过讨论作出下列概括：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三、用一用:
1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
所以PD=PE．
同理PE=PF．
所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
巩固所学及时点拨
四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见
教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：
1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离
2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一
3、采用角平分线性质解题强调三个条件。

两个垂线段，再加角平分线。

强调：学生还是更多的喜欢采用全等去解题，要试着让学生尽快接受新知识并用新知识去解题。