在数学建模中培养学生的创新思维

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在数学建模中培养学生的创新思维
◉新疆石河子第一中学㊀傅祖勇
１引言
创新思维能力的发展,推动了人类社会的进步．当今社会㊁科学技术日新月异,靠的就是创新型人才．高中数学教学虽然属于基础教育,但同样肩负着培养创新型人才的重任．那么,高中数学教学创造性思维能力的培养的落脚点在何处呢?笔者认为,教学中,教师应引导学生做到以下三点:一是发挥想象能力,培养直觉思维;二是构建建模意识,培养转换能力;三是以
构造 为载体,培养创新能力．下面谈谈具体做法,不当之处,敬请斧正．
２发挥想象能力,
培养直觉思维追溯数学的发展历程,我们可以发现,不胜枚举的数学发现往往来自于数学家的直觉思维．史上有名的有笛卡儿坐标系㊁费尔马大定理㊁歌德巴赫猜想以及欧拉定理等,这些非凡的 发现 不是数学家通过逻辑思维得到的,而是他们经过细致观察㊁反复对比㊁深刻参悟最终数学灵感勃然而出的．在数学建模教学中,教师应引导学生进行直觉思维和直观想象,让学生提出独特的见解,通过建立数学模型来快捷地解决问题,从而实现沟通数学知识内在的联系,激发学生创新思维,提升学生数学能力的目的．
例１㊀除错位相减法之外,你能求S ＝１＋２x ＋
３x ２
＋４x ３
＋ ＋n x n －１(x ʂ０且x ʂ１)吗?学生直觉:可以将S ＝１＋２x ＋３x ２＋４x ３＋ ＋
n x n －１
(x ʂ０且x ʂ１)看作某函数的导函数,于是想到构造一个新的函数,借助导数巧妙地解决问题．
解决问题:由于当x ʂ０且x ʂ１时,x ＋x ２＋
x ３＋ ＋x n
＝x (x n －１)x －１＝
x n ＋１－x x －１
,对上面等式的两边同时求导,则S ＝１＋２x ＋３x ２＋４x ３＋ ＋
n x
n －１
＝[(n ＋１)x n －１](x －１)－x (x n －１
)(x －１
)２
．由于本题解答要求避开 错位相减法 ,所以学生解答时必须另辟蹊径．学生借助直觉思维,根据所求代数式的特点,想到通过构造函数并妙用导数来解决,
可谓新颖自然,巧夺天工,毫无斧凿之迹,怎不令人拍案叫绝!反映出学生善于观察又积极想象的思维品质．试想,假如教师在日常教学中没有一定量的建模训练,他们能 创造 出如此 高大上 的优美证明吗?大数学家泰勒曾经说过,丰富的知识和经验是产生新的联想和独创见解的源泉．
高中数学内容丰富,思想与方法也千姿百态．从一个问题出发,联想到另一个问题,并建立新的数学模型,这种创造性思维的形成往往离不开直觉思维．因此,在数学建模的教学中,教师应重视稍纵即逝的直觉思维的培养．
３构建建模意识,
培养转换能力恩格斯说过,数学形式的相互转化,不是一种无聊的游戏,而是体现了数学中的平衡关系,如同物理中的 杠杆原理 ．一旦离开这个原理,数学就会 搁浅 ．而数学建模从本质上看,就是实现实际问题与数学问题之间的转化,因此在数学教学中,我们要注重这种转化,并用好这根 杠杆 ,这对培养学生的创新思维意义非凡,同时从应试角度看,对提高学生的解题速度也大有益处．
在函数模型的教学中,笔者给学生举了一个 洗衣问题 的例子:现在有一桶水,需要洗一件衣服,是直接将衣服放入一桶水中洗呢,还是将一桶水一分为二,洗涤两次?哪种洗法的效果好?答案自然是不言而喻的,你能从数学角度来分析并解决这个问题吗?
例２㊀衣服洗涤甩干后需要多次漂洗,如果每次漂洗后衣服上的残留物都是均匀分布的,而且每次漂洗并甩干后衣服中含有的水分和残留物的重量也相同,也就是说每次漂洗前后的衣服上的残留物的含量百分比一致．现有一台全自动小天鹅洗衣机,假定漂洗的用水总量为a ,漂洗并甩干的次数定为３．为了让漂洗后衣服中残留物最少,请同学们想一想,如何确定每次漂洗的用水量?
生１:设每次漂洗并甩干后衣服中的残留水分(含
残留物)的重量为m ,洗涤并甩干后(漂洗前)衣服中
１
８２０２２年７
月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
争鸣探索
教育
纵横
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㊀㊀㊀残留物(不含水分)为n０．３次漂洗并甩干后衣服中的
残留物(不含水分)分别为y１,y２,y３,３次用水量分别
为x１,x２,x３(以上各量单位相同),则由每次漂洗前
后残留物的重量百分比浓度相等可知:
n０
m＋x１＝
y１
m⇒y１＝
n０
１＋x１m
,
y１
m＋x２＝
y２
m⇒y２＝
n０
１＋x１m
æ
èç
ö
ø÷１＋
x２
m
æ
èç
ö
ø÷
,
y２
m＋x３＝
y３
m⇒y３＝
n０
１＋x１m
æ
èç
ö
ø÷１＋
x２
m
æ
èç
ö
ø÷１＋
x３
m
æ
èç
ö
ø÷
．
生２:由基本不等式,我们可以得到,当１＋x１m＝
１＋x２m＝１＋x３m,即x１＝x２＝x３时,y３有最小值．可见
当３次用水量平均分配时,３次漂洗后能使衣服中的
残留物最少．
师:本问题的关键是利用每次漂洗前后残留物重
量的百分比浓度相等来建立关系式,请同学们思考这
是为什么?
通过大家的集思广益,得到了本题的推广结论:
若漂洗用水总量为a,漂洗k次(k取定值),则y k
＝n０
１＋x１m
æ
èç
ö
ø÷１＋
x２
m
æ
èç
ö
ø÷
１＋x k m
æ
èç
ö
ø÷
．
再由基本不等式得,１＋x１m＝１＋x２m＝ ＝１＋
x k
m
,即x１＝x２＝ ＝x k时,y k取最小值．
通过实际问题转化为数学问题,利用数学手段,
问题似乎已经解决．从理论上讲,定量的水漂洗次数越
多,残留物就越少．但全自动洗衣机通常设定为３次漂
洗,这是为什么?这又是一个日常生活中的问题,再
次激发出学生探究数学的热情,显然这个问题是刚解
决的问题的进一步深化,笔者让学生课后进一步研
究,于是把学生数学转化能力向更高的层次推进．
４以 构造 为载体,培养创新能力
所谓 建模 ,顾名思义就是构造模型,说来简单,
但模型如何构造并非一蹴而就的容易事,这需要学生
有足够强的构造能力．而这种能力同样离不开教师在
课堂教学中的着力培养,教师应该精选教学素材,以
构造 为载体,培养学生的创新能力．
足球运动深受高中生喜爱,于是笔者提出了如下
关于足球的问题:
例３㊀如图１所示,甲方球员A把球传给甲方球
员B,乙方的球员C出击阻断该球．球员C断球是否成
功,主要由以下因素确定:әA B C的形状㊁传球的速
度㊁传球的轨迹,还有球员奔跑的速度㊁球员C的出击
角度㊁球员们反应的时间㊁比赛时的天气等．我们为了
简化问题,提出如下几个假设:首先不考虑客观因素;
其次把球员反应时间当成零,并且球员奔跑速度都相
等,且他们与球在同一个平面上作匀速直线运动．在这
样的假设下,球员C可否成功断球的主要因素,一受
әA B C的大小与形状的影响;二受该球员奔跑速度的
制约;三还得看传球速度;最后还要看球员C出击的
角度．于是,我们可以把球员断球问题,通过数学建模,
转化为纯粹的数学问题
:
图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２
问题１:如图２所示,甲方球员A把球传给本队同
伴B,而乙方球员C想抢断传球,在øA与θ(θ＝
øA C D)满足何种条件的时候,球员C才可能实现断
球目的?假设A＝２８ʎ,B＝４０ʎ,球的速度是１６m/s,
球员C的速度是８m/s,试求球员C出击的方向．
问题２:若依然假设øA＝２８ʎ,øB＝４０ʎ,球的速
度是１６m/s,球员的奔跑速度是８m/s,试问:
(１)假如球员B积极回抢,那么他能否成功反断球?
(２)球员C由哪个方向出击,他肯定能成功阻断球?
本问题完全数学化后,就是一个解三角形和平面
几何问题．由此可见,要把一个实际问题转化为数学问
题,首先应该从题目的实际出发,确定选择何种数学
模型,依据删繁就简原则,通过主观 构造 ,让其显出
数学的本质．我们还可以改变假设的条件,如本例中球
员对球作出反应的时间,让球员们奔跑的速度各不相
同,由于受空气阻力的影响,还可以将球的速度变为
减速运动等,于是球员成功断球的条件就变得异常复
杂了,这样对学生的创新思维提出了更高的要求．但只
有循序渐进,学生的创新性思维能力才能提高．
以上几个例子告诉我们,观察能力的培养与思维
能力的培养,在数学建模教学中同样重要．教师只有在
数学建模中引导学生眼㊁手㊁脑三者联动,创新思维的
培养才能落地生根．F
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