2021年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题(word版)(真题)
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1 （1）设点 Q 的运动速度为 厘米／秒,运动时间为 t 秒,
2
①当△CPQ 的面积最小时,求点 Q 的坐标。
②当△COP 和△PAQ 相似时,求点 Q 的坐标．
（2）设点 Q 的运动速度为 a 厘米／秒,问是否存在 a 的值,使得△OCP 与△PAQ 和△CBQ 这两个三角形都相似？若存在,请求出 a 的值,并写出此时点 Q 的坐标。若不存在,请说 明理由．
的图象依次是 C1 和 C2,设点 P 在 C1 上,PC⊥x 轴于点 C,交 C2 于点
A,PD⊥y 轴于点 D,交 C2 于点 B,则四边形 PAOB 的面积为（ ）
（A）k1＋k2
（B）k1－k2
（C）k1·k2
k1 （D）
k2
5． 在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数 y＝－x2＋6x 27
2021 年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题
（考试时间：120 分钟）
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分．以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四 个选项,其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填 或错填均得零分）
3 10．△ABC 中,∠A 和∠B 均为锐角,AC＝6,BC＝3 3,且 sinA＝ ,
3 则 cosB 的值为_________．
11．如图,四边形 ABCD 中,∠A＝∠BCD＝90º,BC＝CD,E 是 AD 延 长 线 上 一 点 , 若 DE ＝ AB ＝ 3cm,CE ＝ 4 2cm, 则 AD 的 长 是 _________．
17．（本题满分 12 分）如图,AB,AC,AD 是圆中的三条弦,点 E 在 AD 上, 且 AB＝AC＝AE．请你说明以下各式成立的理由：
（1）∠CAD＝2∠DBE。 （2）AD2－AB2＝BD·DC．
18．（本题满分 14 分）如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上,OA ＝10 厘米,OC＝6 厘米,现有两动点 P,Q 分别从 O,A 同时出发,点 P 在线段 OA 上沿 OA 方 向作匀速运动,点 Q 在线段 AB 上沿 AB 方向作匀速运动,已知点 P 的运动速度为 1 厘米／ 秒．
三、解答题（共 4 题,分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分,满分 50 分）
15．（本题满分 12 分）小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布"的划拳游戏．游戏规则为：胜 一次得 3 分,平一次得 1 分,负一次得 0 分,一共进行 7 次游戏,游戏结束时,得分高者为胜．
（1）若游戏结束后,小王得分为 10 分,则小王 7 次游戏比赛的结果是几胜几平几负？
1． 已知 x＋y＝x－1＋y－1≠0,则 xy 的值为（ ）
（A）－1
（B）0
（C）1
（D）2
2． 如图,直线 l1 与直线 l2 相交,∠α＝60º,点 P 在∠α 内（不在 l1,l2 上）．小明用下面的方法作 P 的对称点：先以 l1 为对称轴作点 P 关于 l1 的对称点 P1,再以 l2 为对称轴作 P1 关于 l2 的对称点 P2,然后再以 l1 为对称轴作 P2 关于 l1 的对称点 P3,以 l2 为对称轴作 P3 关于 l2 的对称点 P4,……,如此继续,得到一系列点 P1,P2,P3,…,Pn．若 Pn 与 P 重合,则 n 的最小值是（ ）
（2）若小王前 3 次游戏比赛的结果是一胜一平一负,则他在后面 4 次比赛中,要取得怎样的 比赛结果,才能保证胜小李？
16．（本题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y＝kx＋b＋2（k≠0）的图象与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于|OA|＋|OB|＋3． （1）用 b 表示 k。 （2）求△OAB 面积的最小值．
12．已知△ABC 为钝角三角形,其最大边 AC 上有一点 P（点 P 与点 A,C 不重合）,过点 P 作直 线 l, 使 直 线 l 截 △ ABC 所 得 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似 , 这 样 的 直 线 l 可 作 的 条 数 是 _________．
13．小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟从迎面驶来一 辆 18 路公交车．假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔固定时间
（A）18 厘米
（B）13 厘米
（C）8 厘米
（D）5 厘米
二、填空题（共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分）
9． 若干名同学制作迎奥运卡通图片,他们制作的卡通图片张数的 条形统计图如图所示,设他们制作的卡通图片张数的平均数 为 a, 中位数为 b, 众数为 c, 则 a,b,c 的大小关系为_________．
发一辆车,那么发车间隔的时间是_________分钟．
14．如图,矩形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,点 P 在矩形 ABCD 内．若 AB＝ 4cm,BC ＝ 6cm,AE ＝ CG ＝ 3cm,BF ＝ DH ＝ 4cm, 四 边 形 AEPH 的 面 积 为 5cm2, 则 四 边 形 PFCG 的面积为_________cm2．
（A）5
（B）6
（C）7
（D）8
3． 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4×100 米接力跑比赛,如果任意安排四位同学 的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
1 （A）
4
1 （B）
6
1 （C）
8
1 （D）
12
k1
k2
4． 如图,两个反比例函数 y＝ x 和 y＝ x （其中 k1＞k2＞0）在第一象限内
－ 的图象与 x 轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其边界上的整点的 4
个数是（ ）
（A）5
（B）6
（C）7
（D）8
6． 小明把棱长为 4 的正方体分割成了 29 个棱长为整数的小正方体,则 其中棱长为 1 的小正方体有（ ）
（A）22 个 （B）23 个 （C）24 个 （D）25 个
7． 如图,⊙O 与 Rt△ABC 的斜边 AB 相切于点 D,与直角边 AC 相交于点 E,且 DE∥BC．已知 AE＝2 2,AC＝3 2,BC＝6,则⊙O 的半径是 （ ）
பைடு நூலகம்
（A）3
（B）4
（C）4 3
（D）2 3
8． 7 条长度均为整数厘米的线段：a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,满足 a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7,且这 7 条线段中的任意 3 条都不能构成三角形．若 a1＝1 厘米,a7＝21 厘米,则 a6＝（ ）
2
①当△CPQ 的面积最小时,求点 Q 的坐标。
②当△COP 和△PAQ 相似时,求点 Q 的坐标．
（2）设点 Q 的运动速度为 a 厘米／秒,问是否存在 a 的值,使得△OCP 与△PAQ 和△CBQ 这两个三角形都相似？若存在,请求出 a 的值,并写出此时点 Q 的坐标。若不存在,请说 明理由．
的图象依次是 C1 和 C2,设点 P 在 C1 上,PC⊥x 轴于点 C,交 C2 于点
A,PD⊥y 轴于点 D,交 C2 于点 B,则四边形 PAOB 的面积为（ ）
（A）k1＋k2
（B）k1－k2
（C）k1·k2
k1 （D）
k2
5． 在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数 y＝－x2＋6x 27
2021 年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题
（考试时间：120 分钟）
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分．以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四 个选项,其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填 或错填均得零分）
3 10．△ABC 中,∠A 和∠B 均为锐角,AC＝6,BC＝3 3,且 sinA＝ ,
3 则 cosB 的值为_________．
11．如图,四边形 ABCD 中,∠A＝∠BCD＝90º,BC＝CD,E 是 AD 延 长 线 上 一 点 , 若 DE ＝ AB ＝ 3cm,CE ＝ 4 2cm, 则 AD 的 长 是 _________．
17．（本题满分 12 分）如图,AB,AC,AD 是圆中的三条弦,点 E 在 AD 上, 且 AB＝AC＝AE．请你说明以下各式成立的理由：
（1）∠CAD＝2∠DBE。 （2）AD2－AB2＝BD·DC．
18．（本题满分 14 分）如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上,OA ＝10 厘米,OC＝6 厘米,现有两动点 P,Q 分别从 O,A 同时出发,点 P 在线段 OA 上沿 OA 方 向作匀速运动,点 Q 在线段 AB 上沿 AB 方向作匀速运动,已知点 P 的运动速度为 1 厘米／ 秒．
三、解答题（共 4 题,分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分,满分 50 分）
15．（本题满分 12 分）小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布"的划拳游戏．游戏规则为：胜 一次得 3 分,平一次得 1 分,负一次得 0 分,一共进行 7 次游戏,游戏结束时,得分高者为胜．
（1）若游戏结束后,小王得分为 10 分,则小王 7 次游戏比赛的结果是几胜几平几负？
1． 已知 x＋y＝x－1＋y－1≠0,则 xy 的值为（ ）
（A）－1
（B）0
（C）1
（D）2
2． 如图,直线 l1 与直线 l2 相交,∠α＝60º,点 P 在∠α 内（不在 l1,l2 上）．小明用下面的方法作 P 的对称点：先以 l1 为对称轴作点 P 关于 l1 的对称点 P1,再以 l2 为对称轴作 P1 关于 l2 的对称点 P2,然后再以 l1 为对称轴作 P2 关于 l1 的对称点 P3,以 l2 为对称轴作 P3 关于 l2 的对称点 P4,……,如此继续,得到一系列点 P1,P2,P3,…,Pn．若 Pn 与 P 重合,则 n 的最小值是（ ）
（2）若小王前 3 次游戏比赛的结果是一胜一平一负,则他在后面 4 次比赛中,要取得怎样的 比赛结果,才能保证胜小李？
16．（本题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y＝kx＋b＋2（k≠0）的图象与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于|OA|＋|OB|＋3． （1）用 b 表示 k。 （2）求△OAB 面积的最小值．
12．已知△ABC 为钝角三角形,其最大边 AC 上有一点 P（点 P 与点 A,C 不重合）,过点 P 作直 线 l, 使 直 线 l 截 △ ABC 所 得 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似 , 这 样 的 直 线 l 可 作 的 条 数 是 _________．
13．小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟从迎面驶来一 辆 18 路公交车．假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔固定时间
（A）18 厘米
（B）13 厘米
（C）8 厘米
（D）5 厘米
二、填空题（共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分）
9． 若干名同学制作迎奥运卡通图片,他们制作的卡通图片张数的 条形统计图如图所示,设他们制作的卡通图片张数的平均数 为 a, 中位数为 b, 众数为 c, 则 a,b,c 的大小关系为_________．
发一辆车,那么发车间隔的时间是_________分钟．
14．如图,矩形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,点 P 在矩形 ABCD 内．若 AB＝ 4cm,BC ＝ 6cm,AE ＝ CG ＝ 3cm,BF ＝ DH ＝ 4cm, 四 边 形 AEPH 的 面 积 为 5cm2, 则 四 边 形 PFCG 的面积为_________cm2．
（A）5
（B）6
（C）7
（D）8
3． 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4×100 米接力跑比赛,如果任意安排四位同学 的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
1 （A）
4
1 （B）
6
1 （C）
8
1 （D）
12
k1
k2
4． 如图,两个反比例函数 y＝ x 和 y＝ x （其中 k1＞k2＞0）在第一象限内
－ 的图象与 x 轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其边界上的整点的 4
个数是（ ）
（A）5
（B）6
（C）7
（D）8
6． 小明把棱长为 4 的正方体分割成了 29 个棱长为整数的小正方体,则 其中棱长为 1 的小正方体有（ ）
（A）22 个 （B）23 个 （C）24 个 （D）25 个
7． 如图,⊙O 与 Rt△ABC 的斜边 AB 相切于点 D,与直角边 AC 相交于点 E,且 DE∥BC．已知 AE＝2 2,AC＝3 2,BC＝6,则⊙O 的半径是 （ ）
பைடு நூலகம்
（A）3
（B）4
（C）4 3
（D）2 3
8． 7 条长度均为整数厘米的线段：a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,满足 a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7,且这 7 条线段中的任意 3 条都不能构成三角形．若 a1＝1 厘米,a7＝21 厘米,则 a6＝（ ）