北师大版高中数学必修5第一章《数列》小结与复习

解法二： ∵{an }是等差数列， 设S n An 2 Bn A B 13 由a1 S1 13，S 3 S11，代入得 9 A 3 B 121A 11B 解得A 1，B 14， S n n 2 14n
22 42 例9 求(1)Sn 1 3 3 5 (2) Sn 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (3) 2 3 2 2 2 n n 2
得：an 2 3 3 n1 an 3n 2
性质的应用
{an }中, 例5 在 等 差 数 列
10 (1)若a3 50, a5 30, 则a7 ______;
( 2)若a1 a4 a7 39, a 2 a5 a8 33, 则
27 a3 a6 a9 ______ 24 ( 3)若a15 8, a60 20, 则a75 _____; 已知等差数列中的任意两项，可以求 出其他的元素．这里应用的是方程组的思 想．
a15
50
4
例7 已知数列{an}为等比数列,a2=50,a5=6.25,设
bn=log2an.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{bn}的前n项和;
(3)求数列{bn}中的最大值. 1 3 解 (1) a5 a2 q q 2 an 1 bn bn1 log 2 log 2 1 an 1 2 ∴数列{bn}为公差是-1的等差数列
一教学目标：1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰 地构思解决问题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提 高逻辑思维能力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三 求二”的熟练程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际 问题。2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进 行分析的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数 列基础知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中 蕴含的思想方法。3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数 列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识 ⑶在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观 二、教学重点 1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3. 优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。教学难点 解题思路和解 题方法的优化。 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
∴ an=n2-(n-1)2=2n-1
1 1 1 2 1 3 1 n (2) f ( ) 1 3 ( ) 5 ( ) … (2n 1) ( ) 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n1 f ( ) 1 ( ) 3 ( ) … (2n 3) ( ) (2n 1) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n 1 f ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) … 2 ( ) (2n 1) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 2 1 n1 2n ( ) 3 3 1 1 n 1 f ( ) 1 3n ( ) 1 3 3
数列的应用
例1 购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款的 办法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个 月再付款一次,如此下去,到第12次付款后全部付清. 如果月利率为0.8%,每月利息按复利计算(上月利息 计入下月本金),那么每期应付款多少元?(精确到1元)
解:设每期应付款x元,则 第一期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008)11元; 第二期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008)10元; …… 第十一期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008) 元;
第十二期付款已没有利息问题,即为x元.
所以各期付款连同利息之 和为
又所购商品的售价及其利 息之和为5000×1.00812 于是有
答:每期应付款约439元.
小结
1.等差数列的基本公式在数列中占用重要的地位,应 用要从公式的正向、逆向、变式等多角度去思考. 2.等比数列的前n项和公式要分两种情况,公比等于1 和公比不等于1,而公比等于1的情况最容易忽略.
(2)Sn 1 （ 1 2 ）（ 1 2 3 ） 1 2
（ 1 2
n ）
n( n 1) 1 2 n ( n n) 2 2
1 2 n( n 1)(2n 4) 2 2 2 Sn [(1 2 3 n ) （ 1 2 3 n ） ] 2 12 1 2 3 n ( 3)S n 2 3 n 2 2 2 2 1 1 2 n1 n S n 2 3 n n 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n (1 ) S n 2 3 n n 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 n 2 2n Sn n 1 S n 2 n 1 n 1 2 2 2 2 1 2
(2)b∵ }为等差数列 {b log n a log 6.25 2 log 5 2
2 2 2 2 2
bn 2 log 2 5 2 ( n 2)( 1) 2 log 2 5 n Sn n(2 log 2 5 1 2 log 2 5 n) 1 1 n2 (4 log 2 5 1)n 2 2 2
(1)定义：an+1-an=常数
(2)通项公式：an=a1+(n-1)d 推广： an=am+(n-m)d (3)前n项和公式:
Sn n(a1 an ) n( n 1) na1 d 2 2
(4)性质：①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ②若数列{an}是等差数列，则 Sk , S2 k Sk , S3 k S2 k , S4 k S3 k , 也是等差数列 ③等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列
(3)∵{bn}为递减的等差数列 ∴n=1时, bn取得最大值,最大值为log25
数列的求和
例8 等差数列{an}中,a1=13,S3=S11,求Sn
解法一：由S 3 S11，得a4 a5 a11 0， a4 a11 0，由a1 13，解得d 2 S n n 2 14n
知识结构
数列的概念 递推公式 定义 等差数列 数列 等比数列 性质 前n项和公式 定义 性质 前n项和公式 通项公式 通项公式 通项公式 数 列
的
应
用
数列求和
知识归纳
1.数列的概念: (1)按一定次序排成的列数称为数列． (2)表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，前n项和法, 和图像法等．(图像是自变量取正整数的一些孤立的点) 2.等差数列:
例10函数f ( x) a1x a2 x2 a3 x3 an xn (n N ) 2 且 a1 , a2 , , an 构成一个数列，又 f (1) n . （1）求数列 {an } 的通项公式； 1 （2）比较f ( ) 与1的大小. 3
解(1)f(1)=a1+a2+a3+…+an=n2
求通项
例1 根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项 公式：
1 3 7 15 31 (1) , , , , , … 2 4 8 16 32 (2)3, 33, 333, 3333, …
3 1 5 3 7 (3) , , , , , ? 5 2 11 7 17 1 1 1 1 (4), ,, ,? 1 2 2 3 3 4 4 5
3.等差数列和等比数列中,经常要根据条件列方程(组)
例6 在等比数列 an 中， （1）若
a4 5, a8 6,则 a2 a10 30 a6 30
（2）若 a5 2, a10 10, 则
32 a a a a a a a a 8, （3）已知 3 4 5 求 2 3 4 5 6
（4）若 a1 a2 324, a3 a4 36, 则 a5 a6
(2n)2 (2n 1)(2n 1) 1 2 n
1 1 1 1 解 : (1)an 1 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2 n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 S n n 1 2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 1 1 2n( n 1) n 1 2 2n 1 2n 1
2n 1 (1)an n 2 1 (2)an (10n 1) 3 n 2 (3)an 3n 2 ( 1)n (4)an n( n 1)
例2 在数列{an }中,
3 (1)a1 2, a2 5, 且an1 an 2 an , 则a6 ____;
( 2) 在an 中，a1 1 ，an 3an1 4 (n 2，n N )，求an
设：a n t （ 3 a n 1 t） 得：a n 3a n1 2t 令 2t 4，解得t 2
换元法
(an 2) 3(an1 2)
{an 2}是以3为公比,以a1 2为首项的等比数列
16 2 n 1 (1)a5 , an 3 3 1 (2)an n n2 n 2 (3) 2
累差法或累积法求解
2 S 2 n 3n 1, a 例4 (1)设数列 n 前n项的和 n 求 an 的通项公式.
6, n 1 设 Sn 数列 an 的前 n 项和， an 即 Sn a1 a2 a3 an 4n 1, n 2 n 1 S1 则 an Sn Sn 1 n 2
5 n ( 1) 4 2 (2)an 1( n 2), 且a7 , 则a5 ____;
an 1
7
1 1 2 . (3)a1 , an 1 ( n 2), 则a2004 _____ 2 an 1
例3 在数列{an }中 1 (1)已知a1 , an ( 1)n 2an1 ( n 2), 求a5 , an ; 3 n (2)a1 1, an1 an , 求此数列的通项公式an ; n1 2 2 (3)已知数列{an }满足an a 1 n n, 且a1 1, a n 0, 则 an _________ .
3.等比数列: (1)定义：an+1/an=常数 (2)通项公式：an=a1qn-1 推广： an=amqn-m (3)前n项和公式:
(4)性质：①若m+n=p+q,则amS an,=a paq k S 2 k S k , S 3 k S 2 k , S4 k S 3 k , ②若数列{an}是等比数列，则 也是等比数列 ③等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 4. 数列求和: 常用求和方法:裂项求和、分组求和、错位相减、倒序相加