《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修1-2)课件第3章数系的扩充与复数的引入3.1

规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实 部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.
跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋ 3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i) ＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
m2－2m＝－1，

解得 m＝1；
m2＋m－2＝0，
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
m2－2m＝0，

解得 m＝2.
m2＋m－2＝4，
综上可知m＝1或m＝2.
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1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则 实数a，b的值分别是_±___2_，__5_.
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误.
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课堂小结 1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复 数z的不同情况. 2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用 两个复数相等的条件进行判断.
a2＝2， 解析 由
－2＋b＝3， 得 a＝± 2，b＝5.
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2.在复数集中，方程x2＋2＝0的解是x＝__±__2_i___.
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3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为 ___0_____.
m(m＋1)＝0， 解析 由题意知
m2－1≠0， ∴m＝0.
要点二 复数的分类m2－m－6源自例2 求当实数m为何值时，z＝
＋(m2＋5m＋6)i
m＋3
分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
m2－m－6
解 由已知得复数 z 的实部为
，
m＋3
虚部为 m2＋5m＋6.
(1)复数z是实数的充要条件是
m2＋5m＋6＝0， m＝－2或m＝－3，

⇔
⇔m＝－2.
跟踪演练1 已知下列命题： ①复数a＋bi不是实数； ②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d. 其中真命题的个数是________.
m＋3≠0
m≠－3
∴当m＝－2时复数z是实数.
(2)复数z是虚数的充要条件是
m2＋5m＋6≠0，

⇔m≠－3 且 m≠－2.
m＋3≠0
∴当m≠－3且m≠－2时复数z是虚数.
(3)复数z是纯虚数的充要条件是
m2m－＋m3－6＝0，

m2＋5m＋6≠0
⇔m＝3.
∴当m＝3时复数z是纯虚数.
2.复数的分类及包含关系
实数 b＝
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)

虚数 b

纯虚数 a＝

非纯虚数 a
(2)集合表示：
3.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d .
要点一 复数的概念 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚 数，还是纯虚数. ①2＋3i；②－3＋21i；③ 2＋i；④π； ⑤－ 3i； ⑥0.
第3章——
3.1 数系的扩充
[学习目标] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基 本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
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4.下列几个命题： ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－ai(a∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i； ⑥i是方程x4－1＝0的一个根； ⑦ 2 i是一个无理数. 其中正确命题的个数为____4____.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数； ②的实部为－3，虚部为 12 ，是虚数； ③的实部为 2，虚部为1，是虚数；
④的实部为π，虚部为0，是实数；
⑤的实部为0，虚部为－ 3，是纯虚数； ⑥的实部为0，虚部为0，是实数.
规律方法 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和 虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同 它的符号叫做复数的虚部.
规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚 部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程， 从而可以确定两个独立参数.
跟踪演练3 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}， P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值. 解 ∵M∪P＝P，∴M⊆P， ∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
k2－3k－4＝0
(3)当
时，z 是纯虚数，解得 k＝4.
k2－5k－6≠0
k2－3k－4＝0 (4)当k2－5k－6＝0 时，z＝0，解得 k＝－1.
要点三 两个复数相等
例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值.
解 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，
x2－y2＝0， ∴
2xy＝2，
x＝1， x＝－1，
解得
或
y＝1， y＝－1.
(2)关于x的方程3x2－ a x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数 2
a的值.
解 设方程的实数根为x＝m， 则原方程可变为3m2－a2 m－1＝(10－m－2m2)i， ∴3m2－a2m－1＝0，
10－m－2m2＝0， 解得a＝11或a＝－ 751.
[知识链接] 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充 到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决， 如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解， 那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方 程x2＝－1有解，同时得到一些新数.
解析 根据复数的有关概念判断命题的真假.
①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数.
②是假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0，
③是假命题，因为由纯虚数的条件得
x2－4＝0，

x2＋3x＋2≠0，
解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数. ④是假命题，因为没有强调a，b∈R. ⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立. 答案 0
[预习导引] 1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i 叫做 虚数单位 .a叫做复数的实__部__，b叫做复数的 虚部 . (2)复数的表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi . (3)复数集定义： 全体复数 所构成的集合叫做复数集.通常 用大写字母C表示.