2022学年江西省赣州市宁都县中考联考数学试卷(含答案解析)

2022学年江西省赣州市宁都县中考联考数学试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在测试卷卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是 ( )．
A ．3229x x -=+
B ．3(2)29x x -=+
C ．2932
x x +=- D ．3(2)2(9)x x -=+ 2．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）
A ．5sin α
B ．5sin α
C ．5cosα
D ．5cos α
3．已知抛物线y ＝x 2+bx +c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜4
B ．﹣1＜x ＜3
C ．x ＜﹣1或x ＞4
D ．x ＜﹣1或x ＞3
4．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是三角形内的任意一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为12，则PD +PE +PF ＝( )
A ．12
B ．8
C ．4
D ．3
5．,a b 是两个连续整数，若7a b <<，则,a b 分别是( ). A ．2，3 B ．3，2 C ．3，4 D ．6，8
6．计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（ ）
A ．﹣8
B ．8
C ．﹣2
D ．2
7．把6800000，用科学记数法表示为（ ）
A ．6.8×105
B ．6.8×106
C ．6.8×107
D ．6.8×108
8．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，2AC =，下列结论中，正确的是（ ）
A ．2sin A
B A =
B ．2cos AB A =
C ．2tan BC A =
D ．2cot BC A =
9．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则图中阴影部分的面积等于
( )
A ．2﹣2
B ．1
C ．2
D ．2﹣l
10．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A ．三棱柱
B ．圆锥
C ．四棱柱
D ．圆柱
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算（5ab 3）2的结果等于_____．
12．若点A(1，m)在反比例函数y＝3
x
的图象上，则m的值为________．
13．若方程x2﹣4x+1＝0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为_____．14．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．
15．观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为3
4
，第3个图形中阴影部
分的面积为
9
16
，第4个图形中阴影部分的面积为
27
64
，…则第n个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n表示）
16．分解因式：4ax2-ay2=________________.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP=°；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
18．（8分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：6≈2.449，结果保留整数）
19．（8分）如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y=m
x
的图象在第一象限
内交于点C（1，n）．求一次函数y=kx+2与反比例函数y=m
x
的表达式；过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直
线l（a＞1），分别与直线y=kx+2和双曲线y=m
x
交于P、Q两点，且PQ=2QD，求点D的坐标．
20．（8分）如图是某旅游景点的一处台阶，其中台阶坡面AB和BC的长均为6m，AB部分的坡角∠BAD为45°，BC 部分的坡角∠CBE为30°，其中BD⊥AD，CE⊥BE，垂足为D，E．现在要将此台阶改造为直接从A至C的台阶，如果改造后每层台阶的高为22cm，那么改造后的台阶有多少层？（最后一个台阶的高超过15cm且不足22cm时，按一个台阶计算．可能用到的数据：2≈1.414，3≈1.732）
21．（8分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．求证：平行四边形ABEF是菱形；若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．
22．（10分）五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.75
23．（12分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
24．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【答案解析】
根据题意，表示出两种方式的总人数，然后根据人数不变列方程即可.
【题目详解】
根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.
故选B.
【答案点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是找到问题中的等量关系：总人数不变，列出相应的方程即可.
2、D
【答案解析】
利用所给的角的余弦值求解即可．
【题目详解】
∵BC=5米，∠CBA=∠α，∴AB=
BC
cosα
=
5
cosα
．
故选D．
【答案点睛】
本题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．
3、B
【答案解析】
测试卷分析：观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）, 所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜1．
故选B．
考点：二次函数的图象．106144
4、C
【答案解析】
过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．【题目详解】
延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG=BD，PE=HC，
又△ABC是等边三角形，
又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，
又△ABC的周长为12，
∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=1
3
×12=4，
故选C．
【答案点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
5、A
【答案解析】
<<
【题目详解】
<<a=2，b=1．
故选A．
【答案点睛】
<<
6、C
【答案解析】分析：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此计算即可求解．
详解：（-5）-（-3）=-1．
故选：C．
点睛：考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．
7、B
【答案解析】
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
详解：把6800000用科学记数法表示为6.8×1．
故选B ．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×
10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
8、C
【答案解析】
直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．
【题目详解】
∵90︒∠=C ，2AC =， ∴2cos AC A AB AB
=
=， ∴2cos AB A =， 故选项A ，B 错误，
∵tan 2
BC BC A AC ==， ∴2tan BC A =，
故选项C 正确；选项D 错误．
故选C ．
【答案点睛】
此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．
9、D
【答案解析】
∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，2， ∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，2，
∴AD ⊥BC ，B′C′⊥AB ，
∴AD=12BC=1，AF=FC′=22
AC′=1， ∴DC′=AC′2，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′-S△DEC′=1
2
×1×1-
1
2
×（2-1）2=2-1，
故选D.
【答案点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．10、A
【答案解析】
侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【题目详解】
解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选A．
【答案点睛】
本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、25a2b1．
【答案解析】
代数式内每项因式均平方即可.
【题目详解】
解：原式=25a2b1.
【答案点睛】
本题考查了代数式的乘方.
12、3
【答案解析】
测试卷解析：把A（1，m）代入y＝3
x
得：m=3.
所以m的值为3.
13、5
【答案解析】
由题意得，
124
x x
+=，
121
x x⋅=.
∴原式
1122415
x x x x
=++=+=
14、1
【答案解析】
将所求式子提取xy分解因式后，把x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值．【题目详解】
∵x+y=8，xy=2，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×8=1．
故答案为：1．
【答案点睛】
本题考查的知识点是因式分解的应用，解题关键是将所求式子分解因式．
15、
3
()
4
n﹣1（n为整数）
【答案解析】
测试卷分析：观察图形可得，第1个图形中阴影部分的面积=（3
4
）0=1；第2个图形中阴影部分的面积=（
3
4
）1=
3
4
；
第3个图形中阴影部分的面积=（3
4
）2=
9
16
；第4个图形中阴影部分的面积=（
3
4
）3=
27
64
；…根据此规律可得第n个
图形中阴影部分的面积=（3
4
）n-1（n为整数）•
考点：图形规律探究题．
16、a（2x+y）（2x-y）
【答案解析】
首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【题目详解】
原式=a（4x2-y2）
=a（2x+y）（2x-y），
故答案为a（2x+y）（2x-y）．
【答案点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）∠QEP=60°；（2）∠QEP=60°，证明详见解析；（3）2
622BQ =-
【答案解析】
（1）如图1，先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出∠PCA =∠QCB ，进而可利用SAS 证明△CQB ≌△CPA ，进而得∠CQB =∠CPA ，再在△PEM 和△CQM 中利用三角形的内角和定理即可求得∠QEP =∠QCP ，从而完成猜想； （2）以∠DAC 是锐角为例，如图2，仿（1）的证明思路利用SAS 证明△ACP ≌△BCQ ，可得∠APC =∠Q ，进一步即可证得结论；
（3）仿（2）可证明△ACP ≌△BCQ ，于是AP =BQ ，再求出AP 的长即可，作CH ⊥AD 于H ，如图3，易证∠APC =30°，△ACH 为等腰直角三角形，由AC =4可求得CH 、PH 的长，于是AP 可得，问题即得解决.
【题目详解】
解：(1)∠QEP =60°；
证明：连接PQ ，如图1，由题意得：PC =CQ ，且∠PCQ =60°，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∴∠PCA =∠QCB ，
则在△CPA 和△CQB 中，
PC QC PCA QCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CQB ≌△CPA (SAS )，
∴∠CQB =∠CPA ，
又因为△PEM 和△CQM 中，∠EMP =∠CMQ ，
∴∠QEP =∠QCP =60°.
故答案为60；
(2)∠QEP =60°.以∠DAC 是锐角为例.
证明：如图2，∵△ABC 是等边三角形，
∴AC =BC ，∠ACB =60°，
∵线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，
∴CP =CQ ，∠PCQ =60°，
∴∠ACB +∠BCP =∠BCP +∠PCQ ，
即∠ACP =∠BCQ ，
在△ACP 和△BCQ 中，
CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，
∴∠APC =∠Q ，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP =∠PCQ =60°；
(3)连结CQ ，作CH ⊥AD 于H ，如图3，
与(2)一样可证明△ACP ≌△BCQ ，∴AP =BQ ，
∵∠DAC =135°，∠ACP =15°，
∴∠APC =30°，∠CAH =45°，
∴△ACH 为等腰直角三角形，
∴AH =CH =22AC =22
×4=22 在Rt △PHC 中，PH 3=26
∴PA =PH −AH =262
∴BQ =622【答案点睛】
本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和有关计算、30°角的直角三角形的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，灵活应用全等三角形的判定和性质、熟练掌握旋转的性质和
相关图形的性质是解题的关键.
18、此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．
【答案解析】
【分析】过点P 作PC ⊥AB ，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB 的长即可．
【题目详解】作PC ⊥AB 于C 点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），
在Rt △APC 中，cos ∠APC=PC PA
， ∴PC=PA•cos ∠3，
在Rt △PCB 中，cos ∠BPC=PC PB
， ∴PB=403cos PC BPC =∠6≈98（海里）， 答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．
【答案点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
19、()1一次函数解析式为22y x =+；反比例函数解析式为4y x =
；()()22,0D ． 【答案解析】
(1)根据A （-1,0）代入y =kx +2，即可得到k 的值；
（2）把C （1，n ）代入y =2x +2，可得C （1,4），代入反比例函数m y x =
得到m 的值； （3）先根据D （a ,0），PD ∥y 轴，即可得出P （a ,2a +2）,Q(a ，
4a ),再根据PQ=2QD ，即可得44222a a a
+-=⨯，进而求得D 点的坐标.
【题目详解】
（1）把A （﹣1，0）代入y =kx +2得﹣k +2=0，解得k =2，
∴一次函数解析式为y =2x +2；
把C （1，n ）代入y =2x +2得n =4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y=m
x
得m=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=4
x
；
（2）∵PD∥y轴，而D（a，0），
∴P（a，2a+2），Q（a，4
a ），
∵PQ=2QD，
∴2a+2﹣4
a
=2×
4
a
，
整理得a2+a﹣6=0，解得a1=2，a2=﹣3（舍去），
∴D（2，0）．
【答案点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.
20、33层．
【答案解析】
根据含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质得到BD和CE的长，二者的和乘以100后除以20即可确定台阶的数．
【题目详解】
解：在Rt△ABD中，m，
在Rt△BEC中，EC=1
2
BC=3m，
∴
∵改造后每层台阶的高为22cm，
∴改造后的台阶有（×100÷22≈33（个）
答：改造后的台阶有33个．
【答案点睛】
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
21、（1）详见解析；（2）tan∠ADP＝．
【答案解析】
（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【题目详解】
（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴tan∠ADP＝＝．
【答案点睛】
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
22、景点A与B之间的距离大约为280米
【答案解析】
由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=37°，∠B=45°且PA=200m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长．【题目详解】
解:如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=∠BCP=90°，
由题意，可得∠A=37°，∠B=45°，PA=200m．
在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠A=37°，
∴AC=AP•cosA=200×0.80=160，PC=AP•sinA=200×0.60=1．
在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠B=45°，
∴BC=PC=1．
∴AB=AC+BC=160+1=280（米）．
答：景点A与B之间的距离大约为280米．
【答案点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23、1平方米
【答案解析】
设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量÷工作效率结合提前11天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
【题目详解】
解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得：﹣=11，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
∴1.2x=1．
答：实际平均每天施工1平方米．
【答案点睛】
考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
24、（1）1
4
；（2）
3
4
．
【答案解析】
测试卷分析：（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．
测试卷解析：（1）选择A通道通过的概率=1
4
，
故答案为1
4
；
（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结
果，∴选择不同通道通过的概率=12
16
=
3
4
．。