四川省眉山中学高二下学期期中测试数学(理)试题

眉山中学高2017届高二4月半期测试数学试题
理工农医类
数学试题卷共3页．满分150分．考试时间120分钟．
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.函数()x x f cos =，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛'2πf （ ） .A 1- .B 1 .C 0 .
D 2
2 2.过椭圆13
42
2=+y x 的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为（ ） .
A 4
3
.B 32 .C 3 .D 338
3.函数()x f y =的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
.A ()()()()1221f f f f -<'<' .B ()()()()1212f f f f -<'<' .C ()()()()1122f f f f '<-<' .D ()()()()2112f f f f '<'<-
4.设21,F F 分别是椭圆
116
252
2=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，3=OM ，则=1PF （ ）
.A 4 .B 3 .C 2 .D 5
5.函数()b bx x x f 363
+-=在()1,0内有极小值，则b 的取值范围是( )
.A 10<<b .B 2
1
0<
<b .C 1<b .D b <0 6.已知O 为坐标原点，F 为抛物线y x C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24=PF ，则POF ∆的面积为( )
.A 2 .B 22 .C 32 .D 4
7.已知双曲线()0,01:22
22>>=-b a b
y a x C 的一条渐近线过点()
3,2，且双曲线的一个焦点在抛物线
x y 742=的准线上，则双曲线的方程为( )
.
A 128
2122=-y x .B 1212822=-y x .C 1432
2=-y x .D 13
42
2=-y x 8.设三次函数()x f 的导函数为()x f ',函数()x f x y '=的图像的一部分如图所示,则( )
.A ()x f 的极大值为()3f ,极小值为()3-f .B ()x f 的极大值为()3-f ,极小值为()3f .C ()x f 的极大值为()3-f ,极小值为()3f
.D ()x f 的极大值为()3f ,极小值为()3-f
9. 给出以下数阵，按各数排列规律，则n 的值为( )
.A 66 .B 257 .C 256 .D 326
10.已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的中心为O ，左焦点为F ,A 是椭圆上的一点，0=⋅AF OA 且
22
1
OF OF OA =⋅,则该椭圆的离心率是( )．
.
A 2
210- .B 22
10+ .C 53- .D 53+
11.已知结论：“在正ABC ∆中，BC 中点为D ，
若ABC ∆内一点G 到各边的距离都相等，则2=GD
AG
”
.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则
=OM
AO
( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4
12.设()()x g x f ,分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时()()()()0>'+'x g x f x g x f ，且
()03=-g ，则不等式()()0<x g x f 的解集是（ ）
x
y
O
3
3-3-3
.A ()()+∞-,30,3 .B ()()3,00,3 - .C ()()+∞-∞-,33, .D ()()3,03, -∞-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.
13.函数()x x x f ln 22
-=的单调递减区间是
14.已知椭圆12
2=+ny mx 与直线01=-+y x 相交于B A ,两点,过AB 中点M 与
坐标原点的直线的斜率为
22,则=n
m
15.如图所示，已知C 为圆()42
2
2
=++y
x 的圆心，点()
0,2A ，P 是圆上的动
点，点Q 在圆的半径CP 所在直线上，且AM AP AP MQ 2,0==⋅.当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹方程为 .
16.对于三次函数()()02
3
≠+++=a d cx bx ax x f 给出定义：设()x f '是函数()x f y =的导数，
()x f ''是函数()x f '的导数，若方程()0=''x f 有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()x f y =的“拐
点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()125
3213123-+-=x x x x f ， 请你根据上面探究结果，计算=⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫
⎝⎛2016
2015 (2016)
32016
220161f f f f . 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本题满分10分)已知双曲线()0,01:22
22>>=-b a b
y a x C 的离心率为3，点
(
)
0,3是双曲线
的一个顶点
⑴求双曲线的方程；
⑵经过双曲线的右焦点2F 作斜率为1的直线l 与双曲线交于B A ,两点，求线段AB 的长.
18.(本题满分12分)已知函数()2932
3
-++-=x x x x f
⑴求()x f 的单调递增区间；（2）求()x f 在区间]22[，
-上的最大值和最小值. 19. (本题满分12分) 已知椭圆()22
2210y x a b a b
+=>>，过点()(),0,0,A b B a -的直线倾斜角为
3
π
，原点到该直线的距离为23
⑴求椭圆的方程；
⑵斜率大于零的直线过()0,1D 与椭圆交于()()2211,,,y x F y x E 两点，且212x x -=,求直线EF 的方程；
20.(本题满分12分)已知函数()1
2
++=x b
ax x f 在点()()1,1--f 处的切线方程为03=++y x ⑴求函数()x f 的解析式；
⑵设()()1ln -=x x g ，求证:()()
()x f x x g 122
+<在()+∞∈,1x 上恒成立.
21. (本题满分12分)如图所示，已知抛物线y x 42
=的焦点为F ，过点F 任作直线l (l 与x 轴不平行)交抛物线于B A ,两点，点A 关于y 轴的对称点为点C ⑴求证：直线BC 与y 轴的交点D 必为定点；
⑵过点B A ,分别作抛物线的切线，两条切线交于点E ，求
DE
AB 的最小值及此时直线l 的方程.
22. (本题满分12分)设函数11ln )(--+
-=x
a
ax x x f ⑴若()x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,41上单调递增,求实数a 的取值范围；
⑵当13
a >
时，设函数2
()21g x x x =--，若[][]121,2,0,2x x ∀∈∃∈，使)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.。