第6讲 分析-综合法
高中数学 第5章 推理与证明 5.2 直接证明与间接证明 5.2.1 直接证明：分析法与综合法讲义(
5．2.1 直接证明：分析法与综合法[读教材·填要点]综合法和分析法综合法分析法定义 从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法特点从“已知”看“可知”，由因导果，寻找必要条件从“未知”看“需知”，执果索因，寻找充分条件[小问题·大思维]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．综合法的应用已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.[自主解答] 法一：∵a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤12.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．法二：∵a ，b ∈R ＋， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0.∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又因为a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b≥4.当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．法三：∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2a b ·ba＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．保持例题条件不变，求证：4a ＋1b≥9.证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b＝4a ＋b a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋ab＋1 ≥5＋24b a ·ab＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝23时等号成立．法二：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝4＋4b a ＋a b＋1≥5＋24b a ·ab＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝23时等号成立．综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B . 证明：∵a 2＝b (b ＋c )，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2＋bc 2bc ＝c －b 2b，cos 2B ＝2cos 2B －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 2a 2－1＝b ＋c 2－2b b ＋c 2b b ＋c ＝c －b 2b ， ∴cos A ＝cos 2B .又A ，B 是三角形的内角，∴A ＝2B .分析法的应用当a ＋b >0时，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [自主解答] 要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．2．已知a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6.证明：法一：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证a－3＋a－6<a－5＋a－4⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2⇐2a－9＋2a－3a－6<2a－9＋2a－5a－4⇐a－3a－6<a－5a－4⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)⇐18<20，因为18<20显然成立，所以原不等式a－3－a－4<a－5－a－6成立．法二：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证1a－3＋a－4<1a－5＋a－6，只需证a－3＋a－4>a－5＋a－6.∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0.又∵a－3>a－5，∴a－3>a－5，同理有a－4>a－6，则a－3＋a－4>a－5＋a－6.∴a－3－a－4<a－5－a－6.综合法与分析法的综合应用已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[自主解答] 法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 只需证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )． 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以原式成立．法二：因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2. 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3. 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法与分析法的适用X 围 (1)综合法适用的X 围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的X围：已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．3．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy ≤1x＋1y＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c. 证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．又x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝1xy ，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. [证明] 法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0， 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0. 所以原不等式a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca 成立． 法二：(综合法) 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0.所以(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0. 所以2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ca )． 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，此过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确． 答案：B2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下列等式一定成立的是( )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C解析：∵sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2＝1－cos B ＋C 2， ∴cos(B ＋C )＝1－2sin B sin C ，∴cos B cos C －sin B sin C ＝1－2sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1.又0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π，∴B ＝C . 答案：C3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C4．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：由证明过程可知，该证明方法为综合法． 答案：综合法5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证______，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，试分别用综合法与分析法证明：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.证明：法一：(综合法) 左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝4＋2⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋xy＋1≥5＋4＝9. 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立．法二：(分析法)要证⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9成立，∵x ，y ∈R ＋且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x . 只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－x ≥9成立，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立， 所以原不等式成立．一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错； 对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错； 对于C ：若a 3>b 3且ab <0， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0，所以1a >1b，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则D 不成立．答案：C2．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b＝3⇒a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B3．已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( ) A ．0<A ＋B <πB ．0<A ＋B <π2C.π2<A ＋B <π D.π2≤A ＋B <π 解析：由cos A ＋cos B >0，得cos A >－cos B ， ∴cos A >cos(π－B )．∵0<A <π，0<B <π，且y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减． ∴A <π－B .∴A ＋B <π，即0<A ＋B <π. 答案：A4．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0. ∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.又abc ＞0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc＜0.答案：B 二、填空题5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________________． 解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b )⇔(a －b )(a －b )＞0 ⇔(a ＋b )(a －b )2＞0， 故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为____________． 解析：利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2， ∴0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b ＞a ＞c . 答案：c ＜a ＜b7．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________． 解析：p ＝a －2＋1a －2＋2≥2a －2·1a －2＋2＝4，当且仅当a ＝3时等号成立． －a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .答案：p >q8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是________． 解析：∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立， 设μ＝x ＋1x＋3(x >0)． ∴只需a ≥1μ恒成立即可． 又∵μ＝x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时“＝”成立． ∴0<1μ≤15.∴a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 三、解答题9．已知数列{a n }的首项a 1＝5，S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，(n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列． (2)求a n .解：(1)证明：由条件得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋5(n ≥2)①又S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝2. 又n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，且a 1＝5，所以a 2＝11，所以a 2＋1a 1＋1＝11＋15＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是以2为公比的等比数列．(2)因为a 1＋1＝6，所以a n ＋1＝6×2n －1＝3×2n ， 所以a n ＝3×2n －1.10．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0. (1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72. 证明：(1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2成立， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9， 即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4. 根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2 b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1， 由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72. 因为a 2＋b 2＝m －2>0，1a 2＋4b 2＝2m －1>0， 所以m ≥72.。
高中数学知识点精讲精析 综合法与分析法
4.3.2综合法与分析法1．综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b 时取"="号) 证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 当且仅当a=b 时取等号.所以 a2+b2≥2ab(当且仅当a=b 时取等号).定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c 时取"="号) 证明:∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显,当且仅当a=b=c 时取等号.用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，2．分析法从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab 我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab 成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命题,所以a2+b2≥2ab 成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件或真命题证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… ……这只需要证明命题A 而已知A 为真，故命题B 1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：＋>证明：观察原不等式中含有a 2+ab +b 2即a 2+b 2＋ab 的形式，联想到余弦定理：c 2=a 2+b 2-2ab •CosC ,为了得到a 2+b 2＋ab 的形式,只要C =120°，这样：可以看成a 、b 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边可以看成b 、c 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成a 、c 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边构造图形如下，AB =, BC =, AC =显然AB +BC >AC ，故原不等式成立。
综合评价理论与方法
综合评价理论与方法第一讲综合评价理论与方法 (3)评价 (3)评价系统的相关问题 (3)指标体系与评价方法 (3)评价方法分类 (4)评价的基本过程 (5)评价的原则 (5)评价的实施 (5)多指标综合评价 (6)综合评价问题的要素 (6)指标体系的建立 (7)指标体系建立原则 (7)专家调研法 (7)多目标决策的基本概念 (8)多目标决策的特点 (8)多目标决策的分类 (8)属性、目标、目的与准则的定义 (9)多目标决策的求解过程 (9)多目标决策问题的要素 (9)第二讲多属性决策分析、主成分分析 (11)多目标决策与多属性决策的差异 (11)特点（多属性决策） (11)指标体系（多属性决策） (11)指标体系设置的原则 (11)指标标准化的方法 (12)主成分分析的原理 (12)如何消除指标间的相关性？ (12)为什么要进行决策矩阵的标准化？ (12)主成分分析法的步骤 (12)功效系数法的基本步骤 (12)主成分分析的特点及缺陷: (12)第三讲层次分析法 (13)层次分析法的基本步骤 (13)第四讲模糊综合评价方法 (13)模糊综合评价 (13)模糊综合评价的思想和原理 (13)对隶属度的运算 (14)确定权重的方法 (14)模糊综合评价建模步骤 (14)模糊综合评价的优缺点 (14)第五讲人工神经网络 (15)人工神经网络的概念 (15)八个要素 (15)联接模式 (15)有导师训练与无导师训练 (15)利用BP网络进行评价的优点 (15)几种典型的激活函数 (16)指标体系的构成 (16)三种尺度变量的区别 (16)相似系数 (16)第一讲综合评价理论与方法评价是指按预定的目的，确定研究对象的属性(指标)，并将这种属性变为客观定量的计值或主观效用的行为。
（秦寿康）综合评价（comprehensive evaluation，CE）①对研究对象功能的一种量化描述，既可以利用时序统计数据去描述同一对象功能的历史演变，也可以利用统计数据去描述不同对象功能的差异。
007(讲座五-1)综合评价方法(一)
年度
1995 1996 1997
0.592 0.604 0.535
0.577 0.576 0.580
由式（8.7）和式（8.8）得最优方案和最劣方案：
Z （Z 1 , Z 2 , , Z m） { max Z ij j 1,2 , , m }
Z （Z 1 , Z 2 , , Z m） { min Z ij j 1,2 , , m }
S
i
( Z ij Z ) 2 j
j 1
m
i 1,2, , n
那么，某一可行解对于理想解的相对接近度定义为：
S i Ci S i S i
0≤Ci ≤1,i=1，…，n ，
8
S i Ci S i S i
0≤Ci ≤1,i=1，…，n ，
于是，若是理想解，则相应的 Ci =1；若是负理想解， 则相应的C i =0。愈靠近理想解，Ci 愈接近于1；反之， 愈接近负理想解， Ci 愈接近于0。那么，可以对 Ci 进行排队，以求出满意解。 1.3 TOPSIS法计算步骤 第一步： 设某一决策问题，其决策矩阵为A. 由A可以 构成规范化的决策矩阵Z′，其元素为Z'ij，且有
转化后数据见表8.2。
表8.2 转化指标值
年度 床位周 转次数 20.97 21.41 19.13 床位 周转率 （%） 113.81 116.12 102.85 平均 住院 日 5.34 5.44 5.73 出入院 诊断符 合率 （%） 99.42 99.32 99.49 手术前 后诊断 符合率 （%） 99.80 99.14 99.11 三日 确诊率 （%） 97.28 97.00 96.20 危重病 治愈 院内 病死 人抢救 率 好转率 感染率 成功率 （%） （%） （%） （%） 96.08 95.65 96.50 97.43 97.28 97.98 94.53 95.32 96.22 95.40 94.01 95.21
中考语文复习方案 第二篇 专题精讲 专题5 综合实践活动 第06讲 图表转述课件
类型四 饼状图、扇形图 例7下图是对汉字“书写(shūxiě)”现状的调查。请仔细阅读,完成后面的题目。
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(1)从图中汉字“书写”的现状可以得出怎样(zěnyàng)的结论?(要求:不出现数字,字数 20字左右) 答: _________________________ (2)针对这一现状,请从社会和学校角度指出其产生的原因。(要求:字数均在20字左右) ①社会: ________________________________ ②学校:_________________________________
专题五
综合实践活动
第二篇 专题(zhuāntí)精讲
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第6讲 图表(túbiǎo)转述
类型一 柱状图2017年考查
例4 [2017·安徽4(3)题]校团委组织了“戏曲电影展映”活动,并在学生中进行( jìnxíng)了两次问卷
调查。结果如下:
仔细阅读上图,请用简洁的语言作答。(每空限10字以内,不得出现数字)
要恰当地运用优美的词语,运用适当的写作技巧,提升自己的语言表达能力。其次大多数考生在思
想内容方面失分也较多,因此写作中要做到立意深刻,中心明确,选好写作素材。
第十二页，共四十九页。
4.下表是某同学搜集到的本校学生阅读的情况,请根据相关(xiāngguān)数据,用简洁的语言写出
你的发现。 某中学学生阅读情况调查表
第二十三页，共四十九页。
[思路解析] 第一步:解答第(1)题时,必须认真观察饼状图,特别要注意一些文字、数字的提示。首先要看内 容,明要点(yàodiǎn):这两个图是对汉字“书写”现状的调查,第一个图是对平时手写机会的调查,第 二个图是对提笔忘字经历的调查,然后比较数据。分析第一个图中的数据:46.3%的人平时手写 不多,23.6%的人很少手写,4.4%的人几乎不手写,只有25.7%的人手写机会较多,由此得知多 数人写字机会少。分析第二个图中的数据:45.2%的人经常提笔忘字,41.2%的人有提笔忘字的现 象,但能想起来,13.6%的人基本上没有提笔忘字的现象,由此得知多数人写字机会少,提笔忘字
2019年国考资料分析第六讲：分数比较大小模块（一）
2019年国考资料分析目录：第六讲：分数比较大小磨练（一）（一）分数比较大小基本方法1.直观法2.趋势法：横向趋势、自身趋势（二）基期比较大小（三）增长量比较大小一、分数比较大小基本方法（一）直观法——用于简单的排除选项判断依据：（1）分母相同，分子大的分数值较大（2）分子相同，分母小的分数值较大（3）分子大且分母小的分数大于另外一个分数优势：判断方式简单、直观，无需计算。
劣势：分子分母保证一定条件才可应用，有一定的局限性。
比较下列分数的大小：题目来源（2010.国考）101、（2017.黑龙江）125、（2014.国考）126、（2017.江苏A）133.2067/31610与1613/32470252/5560 与367/355017.88/625 与31.8/203.5/10.91与 3.36/9.79与3.17/11.071573/5867与1576/5065真题演练：（2014.江苏A）84.2005-2010年，该市每标立方米工业废气排放中二氧化硫含量最少的年份是：A.2005年 B.2007年C.2009年D.2010年（2014.国考）126．2013年1~4，该市电影院线平均每场电影观众人数最少的月份是：A．1月B．2月C．3月D．4月本节真题参考答案：D，C一、分数比较大小基本方法（二）趋势法——比较大小核心方法基本公式：基期比本期比要点：分子r%>分母r%，基期比*1+>本期比，则本期比>基期比，为上升。
（反之同理）1.目标：仅和r%相关2.分子、分母由题干问法决定口诀：子大而上同样的，16230*2+=3433139330*2-=69559分子r%>分母r%,则大分数>小分数1.目标：仅和r%相关 2.分子、分母由题干问法决定口诀：子大而上技巧：小数字指向大数字，画箭头导学：（1）分母、分子r%用倍数或者r%表示，对于分数大小的影响（2017.江苏A）133.结论：用“分子增长到2倍多，分母增长不到2倍”与“分子增长率超过100%，分母增长率不到100%”6955934331r%1r%1* 3933016230=++分母分子 69559343313933016230与比较分数大小：53801551%1001%1001*3676720538015513676720=++-+）（）（，根据原理可得：与5380155122*3676720=-+还可以表示为：本期分母本期分子分母分子基期分母基期分子=++r%1r%1 *形容分子、分母的r%，对分数值结果无影响。
第六讲 数字谜综合1
涉及分数与小数的各种类型的数字谜问题，包括竖式的补填、算式的构造、小数的舍人与变化等．较为复杂的数字问题，以及其他略有综合性的数字谜问题．1．有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再与这个四位数相加，得数是2000．81．求这个四位数是多少?【分析与解】设四位整数4的某位数字前加上一个小数点得到一个新的数B，A与B 的和为2000．81，而小数只能由B得到，且0.81为B的小数部分，所以小数点加在A的百位与十位之间，即缩小了100倍．有A+0.01A=2000.81，所以A=1981．2．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小明计算出的答数是12．43．老师说最后一位数字错了，其他的数字都对．正确答案应该是什么?【分析与解】老师说最后一位数字错了，那么前3位数字是正确的，所以正确的平均数在12.40～12.5(不能取12.5)之间，那么这13个数的和在161.2～162.5(不能取162.5)，因为这13个数都是自然数，所以它们的和也应该是自然数．那么这13个数的和只能是162，它们的平均数应该是162÷13≈12.46．所以正确的平均数应该是12.46．3．两个带小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5．这两个数都只有一位小数，且个位数字都是4．这两个数的乘积四舍五入前是多少?【分析与解】因为这两个带小数均只有一位小数，那么给它们均乘以10，则这两个数均是整数．开始它们的乘积在22.45～22.55(不能取22.55)之间，所以在这两个数在均乘以10以后再相乘而得到的乘积应该在2245～2255(不能取2255)之间．一一验证，2245=5×449，2246=2×1123，2247=3×7×107，2248=2×2×2×281，2249=13×173，2250=2×3×3×5×5×5，2251为质数，2252=2×2×563，2253=3×751，2254=2×7×7×23．其中只有2254可以表达为(2×23)×(7×7)=46×49，两个十位数字均为4的数的乘积．所以，四舍五人前的乘积应为2254÷10÷10=22.54．即两个数的乘积四舍五人前是22.54．4．[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷O.04=100改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少?【分析与解】我们先把题中左边算式计算一遍，在计算过程中发现问题．[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04=[21-(0.4+13) ]÷0.04=[21-13.4]÷0.04=7.6÷0.04=190注意到在“[21-(0.4+13)]÷O.04”这一步中如果(0.4+13)是(4+13)，那么最终的结果为100．所以只需将1÷2.5改为1÷0.25，即将2.5改为O.25即可．5.在算式2÷3÷4÷5÷6中添上若干个括号，使算式的结果是整数，并且尽可能小．试写出添加完括号后的算式．【分析与解】注意到将除号前加一个括号，可以使括号内的除号在脱括号之后变为乘号．又注意到2、3、4、5、6只有5含有质因数5，就是说其他的质因数可能经过变换运算法则除去，而质因数只能保留，且只能作为乘数，也就是说题中算式变化后是最终的结果最小为5．有2÷3÷4÷5÷6=EFCD，现在要得到5，扩大了5÷1180=900，所以必须将原来作为除数的30变为乘数30，有5×6=30，所以将5、6由除数变为乘数．有2÷3÷(4÷5÷6)=5，此式即为所求．6．用1，4，5，6四个数，并适当选择加号、减号、乘号、除号以及括号，组成一个结果等于24的正确算式．【分析与解】有24=2×2×2×3，常规的方法，无法使1，4，5，6通过运算得到24，但是注意到可利用分数：有4÷16=24，6÷14=24等．于是有下面两个算式满足：4÷(1-5÷6)=24，6÷(5÷4-1)=24．评注：此类题是常说的“24点”游戏：从一副扑克牌中除去大王、小王，A表示1，J 表示11，Q表示12，K表示13，其他的牌表示的数等于牌面数字．从剩下的52张牌中任意抽取4张，通过选择运算使它们最终的计算结果为24．7．1+1+1≈0.658上式是经过四舍五入得到的等式，其中每个△代表一个一位数．那么这3个△所代表的3个数分别是多少?【分析与解】设△代表的三个数从小到大为a、b、c．当a取最小值2时，1+1+1最小为12+18+19≈0.736，所以a最小取3．当a=3，b最小取 4时, 1+1+1最小为13+14+19≈0.694，所以b最小取5．当a=3，b=5时,1+1+1最小为13+15+19≈0.644，有可能．验证当，a=3，b=5，c=8时有13+15+18≈0.658．满足．所以这三个数分别为3、5、8．评注：此题从极端情况开始一一枚举而得.8．用0，1，2，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大．那么这5个两位数的和是多少?【分析与解】要求5个数的和是奇数，所以这5个数中有奇数个奇数，如果用9、8、7、6、5作十位数字，那么个位数字为0、1、2、3、4，这样组成的5个数中有2个数是奇数．所以调整，将9、8、7、6、4作为十位数字，0、1、2、3、5作为个位数字，那么组成的5个两位数的和是(9+8+7+6+4)×10+(0+1+2+3+5)=351．因为已经使十位数字尽可能的大，所以所得的和为最大值．即在满足题意下，得到的5个两位数的和为351．9．将I，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍，那么最小的和是多少?【分析与解】设分成的3组数的和从大到小依次为a、b、c，a=2c，并且有a+b+c=b+3c=1+2+3+…+8=36.3c为3的倍数，36为3的倍数.所以b为3的倍数．解得b3c11a2c22=⎧⎪=⎨⎪==⎩，b6c10a2c20=⎧⎪=⎨⎪==⎩，b9c9a2c18=⎧⎪=⎨⎪==⎩，b12c8a2c16=⎧⎪=⎨⎪==⎩，b15c7a2c14=⎧⎪=⎨⎪==⎩，不难看出随着b的增大，a在减小，所以其他情况不用再讨论．满足条件的解只有b=12，c=8，a=16．1，2，3，4，5，6，7，8可以分成{1，2，3，4，6}、{5，7}、{8}这三组．所以满足题意的最小一组数的和为8．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成3个三位数(每个数字只用一次)，使其中最大的三位数被3除余2，并且尽可能的小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除．那么，最大的三位数是多少?【分析与解】被3除余2、1、0的数，其数字和除以3也分别余2、1、0．为了使最大的三位数尽可能的小，所以其百位最小取3，因为如果取1或2，那么剩下两个三位中的某一个其百位数字大于3，显然不满足．当最大三位数的百位取3时，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的三个三位数只能是3口口、2口口、l口口，而3口口的十位最小取4，百位与十位的数字和为7，则个位只能取7．所以满足条件的最大三位数是347．11．红、黄、蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字．小明将这4张卡片如图7-l 放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差．结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998．问红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?红黄白蓝图7—1【分析与解】设这个四位数为abcd，其中a、b、c、d依次代表红、黄、白、蓝．有abcd=1000a+lOOb+10c+d，而abcd的数字和为a+b+c+d，所求的差为：(1000a+100b+10c+d)-10(a+b+c+d)=1998，即990a+90b-9d=1998．因为a、b、d均为小于10的自然数，所以a=2，b=l，d=8．即红、黄、蓝3张卡片上的数字分别为2、1、8．评注：对于用字母表示的数，注意到其在10进制中与其各个位数数字的关系．如：abcde12．一个四位数的数码都是由非零的偶数码组成，它又恰是某两个偶数码组成的数的平方．问这个四位数是多少?【分析与解】设这个四位数为A=abcd，其为B=ef的平方，因为f只能取0、2、4、6、8，所以B平方后的个位为0、4、6．即d为4或6．而B中的十位数字e只能取4、6、8这三个数，不然平方后得到的不是4位数．验证有68×68=4624满足．13．一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123．这样的整数中最小的是多少?【分析与解】设A=cba，B=123，有cba×13=123．方法一:123一定是13的倍数，而13的倍数满足其后三位与前面隔开，差是13的倍数．123÷13=9……6，那么6123一定是13的倍数，且为满足条件的最小自然数．那么题中所求的最小整数为6123÷13=471．方法二：有A的个位a只能是1，不然其与13的乘积的个位不是3．显然有A的个位1与13相乘过程中进有1，则A的十位b乘以13得到的数的个位为2-1=1，显然只有当b=7时才能满足．此时A的十位7与13相乘过程中进有9，则A的百位c乘以13得到的数的个位为(1+10)-9=2，显然只有c=4．于是417而乘以13后得到的积其最后三位数是123．而这样的数中最小的是471．14.将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入图7-2中的9个圆圈内，使其中一条边上的4个数之和与另一条边的4个数之和的比值最大．那么这个比值是多少?【分析与解】 为了使比值尽可能的大，那么一边应尽可能的小，另一边尽可能的大．有两种情况：第一种情况，两边上各自4个数字和的比值为47894321++++++=2810=2.8， 第二种情况，两边上各自4个数字和的比值为6+7+8+96+1+2+3=3012=2.5. 显然有第一种情况的比值最大，为2.8．15．在图7-3所示的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数．问被除数是多少?【分析与解】 为了方便说明，标出字母．O.A3B =A3B 999=A3B ÷999=EF ÷CD ，被除数与除数均为两位数． 所以A3B 999可以约分后为EF CD，999为除数CD 的倍数， 999=3×3×3×37，999的约数中只有27、37为两位数，所以除数CD 只能是27或37． 第四行对应为CD ×3，且为三位数，所以CD =37．那么第四行为37×3=111．则第五行首位为0减1，借位后为9．所以第五行为90，对应为CD ×B+EF =37×B+EF (EF <CD )．当B=1时，37×B+EF 小于37×(1+1)=54，不满足；当B=2时，37×B+EF =37×2+EF =90，解得被除数EF=16．。
新高中地理高考第18单元 第6讲 中国的产业活动 教案
第六讲中国的产业活动考点1中国的农业夯实基础1．概述(1)农业五部门：农、林、牧、副、渔(“五业”)。
(2)农业在国民经济中的地位：是__国民经济__的基础。
2．种植业(1)概念：在耕地上种植__农作物__的农业生产部门。
(2)主要分布地区：我国东部__湿润、半湿润的平原地区__。
(3)我国南北方耕作制度和农作物差异①产生原因：南北气候条件的显著差异。
②表现(4)主要商品性农产品基地①商品粮基地：三江平原、松嫩平原、江淮地区、太湖平原、汉江平原、成都平原、洞庭湖平原、鄱阳湖平原、珠江三角洲。
②商品棉基地：黄淮平原、长江下游滨海沿江平原、冀中南、鲁西北、豫北平原、江汉平原、南疆。
③出口农产品基地：太湖平原、闽南三角地区、珠江三角洲。
3．畜牧业(1)牧区畜牧业：主要分布在西北的半干旱、干旱草原地区和青藏高原地区，共划分为四大牧区，分别是__内蒙古__牧区、新疆牧区、__青海__牧区和西藏牧区。
(2)农耕区畜牧业：集中分布在东北、华北、长江中下游平原、__四川__盆地和珠江三角洲地区，以__舍饲和秸秆__饲料为主，是我国畜产品的主要来源。
4．林业东北的大小兴安岭和长白山地是我国最大的__天然林区__，西南的__横断山区__是我国的第二大天然林区；东南的台湾、福建、江西省的山区是我国主要人工林区。
5．渔业(水产业)其农产品在我国农产品出口中居首位，优势区域为东南沿海养殖带、黄渤海养殖带和长江中下游养殖带。
核心考点突破一、中国主要农作物的分布和影响条件三、我国粮食安全状况我国粮食安全现状是处于低水平、偏紧张的供求阶段。
1．我国粮食安全面临的形势(1)人口快速增长，粮食需求巨大。
(2)资源环境问题。
①农业缺水；②耕地减少(东部沿海和发达地区耕地锐减)，质量下降(优减劣增)；③不合理的人类活动，引发环境退化(水土流失、土地沙漠化)；④灾害频繁(洪涝、干旱、蝗灾等)。
(3)粮食生产投入不足，种粮效益低，产粮区经济条件差，粮农缺乏积极性。
奥数杯赛-第6讲-综合练习1-学生版
奥数杯赛-第6讲-综合练习1【1】用3、4、7、8这4个数字组成两个两位数（每个数字只能使用一次，且必须使用），它们的乘积最大是（）。
【2】用1、2、3、5、6、7、8、9这8个数字最多可以组成（）个质数（每个数字只能使用一次，且必须使用）.【枚举出所有的质数】【3】有三个自然数，它们的和是2015，两两相加的和分别是m＋1，m＋2011和m＋2012，则m=（）。
【4】同时掷4个相同的小正方体（小正方体的六个面上分别写有数字1、2、3、4、5.，6），则朝上一面的4个数字的和有（）种。
种。
【5】从1、2、3、4、5中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有()个。
【6】图1中有（）个三角形。
【7】用一根34米长的绳子围成一个矩形，且矩形边长都是整数米，共有（）种不同的围法（边长相同的矩形算同一种围法）.【8】计算：103211432113211211++++++++++++++ ，得（）。
【9】某商品单价先上调后，再下降20%才能降回原价。
该商品单价上调了（）%。
【解答】25.可以设数计算。
【10】已知两位数ab 与ba 的比是6:5，则ab =（）。
【解答】45.用位置原理求解出比例关系，就是最后的结果。
【11】如图1，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积分别为9，15和12，则第4个角上的小长方形的面积等于（）。
【12】将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789…20142015，这个多位数除以9，余数是（）。
【13】二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转化成十进制数的方法如下：()()1001225212021101=⨯+⨯+⨯=()()1001234227212120212111011=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()1001234562119212121202121211110111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；那么，将二进制数11111011111转化为十进制数，是多少？【14】若干个数的平均数是2018，增加一个数后，平均数仍是2018，则增加的这个数是。
分析法,综合法,反证法,构造法
分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。
欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。
构造法是微积分学，代数学自身的方法。
分析法——尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。
一元微积分讲究条件分析。
要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。
为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。
比如已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x) = 1”的推理。
（见讲座（9）基本推理先记熟。
）已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0) > 0 ”的推理。
（这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，……，等的关键。
见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。
）已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。
（见讲座（42）矩阵乘法很惬意。
）已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。
计算参数。
”的推理。
（见讲座（48）中心定理路简明。
）“已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理计算（见讲座（78）分布函数是核心。
）一个娴熟的推导就是一条高速路啊。
你非常熟练了吗？！综合法——由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。
最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满足某个含有函数及其导数的关系式”。
例设函数f (x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f (0) = 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ，使得f (ξ) f′(1―ξ) = f′(ξ) f (1―ξ) 分析（综合法）即要证明f (ξ) f′(1―ξ) ― f′(ξ) f (1―ξ) = 0点ξ是运用某个定理而得到的客观存在。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6-6 直接证明与间接证明课件 文
∴f(0)≥0.于是 f(0)＝0.
(2)对于 f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2 不满足新定义中的条件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数． 对于 f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然 f(x)≥0，且 f(1)＝1. 任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0， 即 f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)． ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数． 对于 f(x)＝ x，x∈[0,1]，显然满足条件①②. 对任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有 f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2 x1x2＋x2)＝－2 x1x2≤0， 即 f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③. ∴f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数， f(x)＝2x(x∈[0,1])与 f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．
命题角度2 分析法的应用
典例2
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. 证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
2．分析法 (1)定义：从___要__证__明__的__结__论___出发，逐步寻求使它成立的__充__分__条__件_，直到最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)框图表示： Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件 (其中Q表示要证明的结 论)． (3)思维过程：执果索因．
第6讲 角平分线的性质
“用直尺和圆规三等分任意角是世界三大几何作图不能问题之一”，2000多年来吸引了无数的数学爱好者为此探索和努力！古希腊数学家阿基米德就设计出了一个巧妙的三等分角的方法：在直尺边缘上添加一点P，命尺端为O（如图①）；设所要三等分的角是∠MCN，以C为圆心，OP为半径作半圆交给定角的两边CM、CN于A、B两点；移动直尺，使直尺上的O点在AC的延长线上移动，P点在圆周上移动，当直尺正好通过B点时，连OPB，则有∠AOB=13∠MCN．这种方法由于在直尺上作了一个记号，不符合尺规作图中直尺只能用来连线的规定，因此还不能算是严格意义上的尺规作图．聪明的你能利用已经学过的知识，证明这个原理么？证明：∵OP =PC =BC ，∴∠O =∠PCO ，∠A =∠2，设∠O =∠PCO =x ，∴∠O +∠PCO =∠1=∠2=2x ，∴∠3=∠O +∠2=3x ，∴∠AOB =13∠MCN ． 知识讲解1.角平分线的画法（1）已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线：2．角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离________。
（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的__________上。
3．三角形的角平分线的性质（1）三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离_______。
（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离_______。
（3）三角形外角平分线交点共有__个，所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有____个。
考点/易错点1角平分线是一种______模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作____线；2． 过角平分线上的一点作______平分线的垂线，从而形成______三角形； 3． OA =OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍。
AB OPP OBAABOP三、例题精析【例题1】【题干】八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角。
6 第6讲 数学归纳法
第6讲数学归纳法1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．(2018·台州书生中学月考)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，等式左边是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n＝1时，等式的左边应为1＋a＋a2，故选C.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()A．2k＋2 B．2k＋3C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)答案：D用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8 C．9D．10解析：选B.据已知可转化为1×⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＞12764，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值为n＝8.观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 正方体6812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．解析：由题目中所给的三组数据：5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，可以归纳出简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间有关系：V ＋F －E ＝2，这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数间的特有规律． 答案：V ＋F －E ＝2证明1＋12＋13＋14＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，不等式左边增加的项数是________． 解析：当n ＝k 时， 左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1.当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，增加了12k ＋…＋12k ＋1－1，共(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k (项)．答案：2k用数学归纳法证明等式[典例引领]用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n4（n ＋1）(n ∈N *)． 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14×（1＋1）＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2] ＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2） ＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2） ＝k ＋14（k ＋2） ＝k ＋14（k ＋1＋1）. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切n ∈N *等式都成立．用数学归纳法证明恒等式的注意事项(1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．(2018·温州七校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12＋13＋…＋1n，记S n＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，用数学归纳法证明S n ＝(n ＋1)a n －n . 证明：当n ＝1时，a 1＝1，S 1＝a 1＝1，满足条件． 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，S k ＝(k ＋1)a k －k 成立， 则当n ＝k ＋1时， 因为a k ＝1＋12＋13＋…＋1k＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1－1k ＋1＝a k ＋1－1k ＋1， 所以S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)a k －k ＋a k ＋1 ＝(k ＋1)(a k ＋1－1k ＋1)－k ＋a k ＋1＝(k ＋1)a k ＋1－1－k ＋a k ＋1 ＝(k ＋2)a k ＋1－(1＋k )． 从而S n ＝(n ＋1)a n －n 成立．用数学归纳法证明不等式[典例引领](2018·衢州模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，且a n ＋1＝a 2n2（a n －1）(n ∈N *)．(1)用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)； (2)求证a n ＋1<a n (n ∈N *)．【证明】 (1)①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，命题成立，即a k >2. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k2（a k －1）－2＝（a k －2）22（a k －1）>0，所以当n ＝k ＋1时a k ＋1>2也成立， 由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2. (2)a n ＋1－a n ＝a 2n2（a n －1）－a n ＝a n （2－a n ）2（a n －1），由(1)可知a n >2>0， 所以a n ＋1<a n .数学归纳法证明不等式的注意事项(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n≤2n －1对一切n ∈N *恒成立．解：(1)由a 2n ＋1－a 2n ＝2得a 2n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.(2)证明：①当n ＝1时，1＝1成立；当n ＝2时，左边<右边． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a k <2k －1成立，那么当n ＝k ＋1时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a k ＋1a k ＋1 <2k －1＋12k ＋1<2k －1＋22k ＋1＋2k －1＝2k ＋1，不等式成立．由①②可得1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n≤2n －1对一切n ∈N *恒成立．归纳—猜想—证明[典例引领](2018·宁波效实中学高三期中)已知数列{a n }，a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4a n －1(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想．【解】 (1)因为a 1＝3，且a n ＋1＝3a n －4a n －1，所以a 2＝3×3－43－1＝52，a 3＝3×52－452－1＝73，a 4＝3×73－473－1＝94，由此猜想a n ＝2n ＋1n .(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝2×1＋11＝3，满足要求，猜想成立； ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，猜想成立， 即a k ＝2k ＋1k，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a k －4a k －1＝3×2k ＋1k －42k ＋1k －1＝2k ＋3k ＋1＝2（k ＋1）＋1k ＋1，这就表明当n ＝k ＋1时，猜想成立，根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即a n ＝2n ＋1n.“归纳——猜想——证明”的模式“归纳——猜想——证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．(2018·宁波市九校联考)已知n ∈N *，S n ＝(n ＋1)·(n ＋2)…(n ＋n )，T n ＝2n ×1×3×…×(2n －1)．(1)求S 1，S 2，S 3，T 1，T 2，T 3；(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明． 解：(1)S 1＝T 1＝2，S 2＝T 2＝12，S 3＝T 3＝120. (2)猜想：S n ＝T n (n ∈N *)． 证明：①当n ＝1时，S 1＝T 1；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，S k ＝T k ， 即(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ×1×3×…×(2k －1)， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝2k ×1×3×…×（2k －1）k ＋1×(2k ＋1)(2k ＋2)＝2k ＋1×1×3×…×(2k －1)(2k ＋1)＝T k ＋1. 即n ＝k ＋1时也成立，由①②可知，n ∈N *，S n ＝T n 成立．用数学归纳法证明与不等式有关的命题，在由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，要准确利用证明不等式的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等．使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n ＝k ＋1时不等式成立推证n ＝k ＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向． 易错防范(1)数学归纳法证题时，误把第一个值n 0认为是1，如证明多边形内角和为(n －2)π时，初始值n 0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项．1．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C .边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *) D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *) 解析：选B .因为n 为正奇数，所以n ＝2k －1(k ∈N *)．3．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．解析：当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1.左边增加了2k 项． 答案：2k4．(2018·绍兴模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为________．解析：因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.答案：f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)5．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a n ＝1a n ＋1－12. (1)求证：23≤a n ≤1；(2)求证：|a n ＋1－a n |≤13.证明：(1)由已知得a n ＋1＝1a n ＋12，计算a 2＝23，a 3＝67，a 4＝1419，猜想23≤a n ≤1.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，命题显然成立；②假设n ＝k 时，有23≤a n ≤1成立，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1a k ＋12≤123＋12＜1，a k ＋1＝1a k ＋12≥11＋12＝23，即当n ＝k ＋1时也成立，所以对任意n ∈N *，都有23≤a n ≤1.(2)当n ＝1时，|a 1－a 2|＝13，当n ≥2时，因为(a n ＋12)(a n －1＋12)＝(a n ＋12)·1a n ＝1＋12a n ≥1＋12＝32，所以|a n ＋1－a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a n ＋12－1a n －1＋12＝|a n －a n －1|（a n ＋12）（a n －1＋12）≤23|a n －a n －1|≤…≤⎝⎛⎭⎫23n －1|a 2－a 1|＝13·⎝⎛⎭⎫23n －1. 6．(2018·温州高考模拟节选)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝4，且2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4；(2)猜想{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．解：(1)因为2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，且a 1＝2，b 1＝4.令n ＝1，得到⎩⎪⎨⎪⎧8＝2＋a 2，a 22＝4b 2解得a 2＝6，b 2＝9；同理令n ＝2，3分别解得a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.(2)证明：猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．7．(2018·台州市高三期末考试)在正项数列{a n }中，已知a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n －1a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3； (2)证明：a n ≥(32)n －1.解：(1)因为在正项数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n －1a n ＋1(n ∈N *)，所以a 2＝2×1－11＋1＝32，a 3＝2×32－132＋1＝135.(2)证明：①当n ＝1时，由已知a 1＝1≥(32)1－1＝1，不等式成立；②假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥(32)k －1，因为f (x )＝2x －1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，所以a k ＋1＝2a k －1a k ＋1≥2(32)k －1－1（32）k －1＋1＝(32)k ＋13(32)k －1（32）k －1＋1 ＝(32)k ＋13（32）2k －1＋13（32）k－1（32）k －1＋1 ＝(32)k ＋19[（32）k ＋3][2×（32）k －3]（32）k －1＋1， 因为k ≥1，所以2×(32)k －3≥2×32－3＝0，所以a k ＋1≥(32)k ，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②知不等式对任何n ∈N *都成立．8．(2018·台州市书生中学月考)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ≠0，S n 为该数列的前n 项和，且S n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＋S n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 3n >a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：(1)因为S n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＋S n ，n ∈N *， 所以S n ＋1－S n ＝a n (1－a n ＋1)， 所以a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)＝a n －a n a n ＋1， 所以a n －a n ＋1＝a n a n ＋1.又a n ≠0，所以1a n ＋1－1a n＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 构成以2为首项，以1为公差的等差数列，所以1a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，所以a n ＝1n ＋1，n ∈N *.(2)当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a24，所以a <26.而a 是最大的正整数， 所以取a ＝25.下面用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524，则当n ＝k ＋1时， 有1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13（k ＋1）＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）.因为13k ＋2＋13k ＋4＝6（k ＋1）9k 2＋18k ＋8>6（k ＋1）9k 2＋18k ＋9＝23（k ＋1），即13k ＋2＋13k ＋4>23（k ＋1）， 所以13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）>0.所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， 所以a 的最大值等于25.1．(2018·宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，n ∈N *，设b n ＝log 2(a n ＋1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1b n －1＜n (n ≥2)； (3)若2c n ＝b n ，求证：2≤(c n ＋1c n)n ＜3. 解：(1)由a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，则a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，由a 1＝3，则a n ＞0，两边取对数得到log 2(a n ＋1＋1)＝log 2(a n ＋1)2＝2 log 2(a n ＋1)，即b n ＋1＝2b n .又b 1＝log 2(a 1＋1)＝2≠0，所以{b n }是以2为公比的等比数列．即b n ＝2n .又因为b n ＝log 2(a n ＋1)，所以a n ＝22n －1.(2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝2时，左边为1＋12＋13＝116＜2＝右边，此时不等式成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＜k ＋＜k ＋1＝右边，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．综上可得：对一切n ∈N *，n ≥2，命题成立．(3)证明：由2c n ＝b n 得c n ＝n ，所以(c n ＋1c n )n ＝(1＋n n )n ＝(1＋1n)n ， 首先(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n 1n 2＋…＋C k n 1nk ＋… ＋C n n 1nn ≥2， 其次因为C k n 1n k ＝n （n －1）…（n －k ＋1）k ！n k ＜1k ！≤1k （k －1）＝1k －1－1k(k ≥2)， 所以(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n 1n ＋C 2n 1n 2＋…＋C k n 1n k ＋…＋C n n 1n n ＜1＋1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝3－1n＜3， 当n ＝1时显然成立．所以得证．2．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋1n n a n (n ∈N *)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x 的单调区间，并比较⎝⎛⎭⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n的公式，并给出证明． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x .当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减.故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). 当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x .令x ＝1n ，得1＋1n<e 1n ， 即⎝⎛⎭⎫1＋1n n <e . (2)b 1a 1＝1·⎝⎛⎭⎫1＋111＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2⎝⎛⎭⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3⎝⎛⎭⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝(n ＋1)n .(*) 下面用数学归纳法证明(*)成立．①当n ＝1时，左边＝右边＝2，(*)成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，(*)成立，即b 1b 2…b k a 1a 2…a k＝(k ＋1)k . 当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1， 由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k ·(k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，(*)也成立.根据①②，可知(*)对一切正整数n 都成立.。
部编版数学四年级第6讲.加乘原理初步
用 0 、1、 2 、3 、4 、5 组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第 505 个 数是 _______ 。 【分析】以1开头的六位数有 5 4 3 2 1 120 个，以 2 、 3 、4 开头的六位数也有120 个，即以1、
经典精讲
一般地，做一件事，完成它可以有 N 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中 有 m2 种不同的方法，… ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同方法．这就是加法原理． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样 的问题可以使用加法原理解决． 加法原理一般解题步骤： ① 完成一件事分 N 类 ② 每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事） ③ 类类相加 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等 于局部之和”．
(9)（法一）五位偶数 2160-900=1260 （法二）偶数分成两类：一类，个位为 0： 65 4 31 360 个；二类，个位不为 0： 55 4 33 900 个，共 1260 个。
钓鱼 有个人喜欢钓鱼。一天钓鱼归来，路上有人问他钓了多少条鱼，他答到：“有 6 条没头的， 9 条没尾的，8 条半截的。”你知道他钓了多少条鱼吗？ 答案： “6”去了“头”，“9”去了“尾”都是“0”，“8”从中截断是两个“0”，因此是一条也没钓到。
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种 方法就可以完成． 并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类 的方 法数加上第二类的方法数．
例题思路
模块一：分类计数和加法原理（例1、例2） 模块二：乘法原理（例3、例4） 模块三：加乘原理综合（例5）
小学数学竞赛教练员辅导讲义
例 2. 一批商品，按 50%的利润定价，销售掉 70%以后，为了尽快售完剩下的商品，决 定按定价打折，这样，全部商品售完后所获得的利润只有 41%，问打了多少折扣？
（一）比赛胜负场次问题
例 1. 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。结果甲胜了 丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场? （第一届华杯赛初赛第 10
题）
例 2. 10 个队进行循环赛，胜队得 2 分，负队得 1 分，无平局。其中有两队并列第一， 两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况。请计算出各队得分. （第八届华杯赛 决赛二试第 5 题）
么？（第五届小数报初赛第 11 题）
思考题：设 n = 21×4244×2K4K4×432 ，那么 n 的末两位数字是什么？（第七届迎春杯第 1991
38 题）
二、化归、递推法
化归是指转化和归结的意思，就是将当前有待解决的问题，经过转化，归结为已经解决 或容易解决的问题。
递推法是指为了解决一个问题，先考虑与它有关的另一个比较简单 的问题，并加以解 决，然后以此为基础，寻求规律，一步一步递推出原题的解答。
例 8. 在电脑中先输入一个数，它会按给定的指令进行如下计算：如果输入的是偶数， 就把它除以 2；如果输入的是奇数，就把它加上 3.同样的运算进行了 3 次，得出结果为 27， 则原来输入的数是多少？（第七届小数报数学竞赛填空第 6 题）
例 9. 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克，先将甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它 们各自增加原有油的一倍，再将乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们各自增加原有油的一倍， 最后，按同样的方法将丙桶倒入甲、乙两桶，这样三桶内的油都是 16 千克，问：甲、乙、 丙三个油桶原有油多少千克？
第6讲 交通分布预测(30分钟)
2010 成都
第六讲 交通分布预测
二、出行分布的两类模型介绍 4）底特律法：
此法的使用改善了增长系数反复修正的计算方式，其增长系数的决定基
于以下三条基本原则：
Pi f （1）i区的出行产生数随 Fi o 成正比例增长； Pi Ai f （2）j区的出行吸引数随 F j o 成正比例增长； Aj
第六讲 交通分布预测
一、概述 出行分布是四阶段交通模拟的一个重要组成部分，出行分布是要找出各 交通分区之间的出行交换量。即要得出由出行生成模型所预测的各 出行端交通量与区间出行交换量的关系问题。现状的出行分布可通 过住户的出行调查得出其成果——O-D表（又称“出行分布表”） 出行分布模型基本分为两大类：增长系数法和综合法。 增长系数法完全是基于出行起点与终点区的增长特性，利用现状的O-D 表求算将来O-D表。适用于小地区或区域间之出行不太受空间阻挠 因素的影响而只受地区间产生及吸引特性影响的出行空间分布型态。
第六讲 交通分布预测
二、出行分布的两类模型介绍 生成过程中预测之出行产生数或吸引数为低；反之在增长率低的地区， 本法所得之出行数又常偏高。 （2）本法只考虑到出行起讫点之增长率，而未顾及其他地区之增长率； 同时本法须假设各区具有相同之吸引力，而没考虑某些地区之吸引 力可能具有较高的增长率。 3）福来特法： 它基于两项基本假设： Pi f j （1）未来的出行空间分布 Tij 与出行产生的增长率 o Gi 和出行吸引的 增长率
第六讲 交通分布预测 四、重力模型的验证
吻合程度来决定，主要有以下标准统计检验的方法。
1）相关系数（ ）的检验：这是广泛使用的一种方法。但是，相关系数
对标定参数在一个很大范围内是不敏感的，是有误差的。
2 检验：这是在交通工程中使用较多的一种方法。对模型和调查的 2）
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
第六讲 语义指向分析
第六讲语义指向分析6.16.1.1 我们在第四章把语义特征分为三类：词汇语义特征、结构语义特征和语用语义特征。
其中词汇语义特征决定词语在句法结构中的分布特征，或者词语之间相互组合的可能性；结构语义特征和语用语义特征则跟表达意图或话语环境有关，有时结构语义特征和语用语义特征可能相互重叠在一起。
例如：1a.b.c.d. （1）中各例的“香喷喷”在词汇语义特征上都跟“猪蹄”相容，但不同位置对“香喷喷”所赋予的结构语义特征有所不同：（1）a直述状态，具有[＋直述]的结构语义特征；（1）b强调主观努力的状态，具有[＋主观努力]的结构语义特征；（1）c强调行为结果的状态，具有[＋强调]的结构语义特征；（1）d表示补充或说明，并无强调意味，具有[＋补说]的结构语义特征。
这些由结构赋予的语义特征同时也是说话人根据话语环境对词语的语序自觉调适的结果，正是在这个意义上结构语义特征和语用语义特征有时具有一致性。
6.1.2 可以看出，词汇语义特征是稳定的，而结构语义特征和语用语义特征则随着结构或语序的变化而改变。
因此相比之下，词汇语义特征是第一位的，而结构语义特征和语用语义特征则是第二位的，前者是基础，后者是前者在言语活动中由结构或语序赋予的一种附加意义，或叫做寄生意义。
因此，一旦词语的词汇语义特征跟句中或句外相关实体不存在语义上相容的可能性，整个句子就变得不可理解，尽管其结构语义特征和语用语义特征仍然存在。
例如：2a.b.c.d. （2）b-c的“香喷喷”在人们的认知环境里，很少跟“中药”的味道发生联系，因此在受话人的解码过程中不能在句中找到具有与之相容的语义特征的词语，整个句子的合法性可疑。
这种情况说明，一个词语要进入句子发挥交际作用，就必定与句中别的成分或交际语境中的某一实体存在语义上的联系，反过来说，一个合法的句子的各个组成成分总是能够在句中或交际语境中找到与之组配的对象。
任何一厢情愿的组配都会造成不合格的句子。
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第六讲分析-综合法
综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。
在解比较复杂的应用题时，由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合起来使用。
我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。
*例1运输队要把600吨化肥运到外地，计划每天运22吨。
运了15天以后，剩下的化肥要在10天内运完。
这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级程度）
解：解此题要运用分析法和综合法去思考。
先用综合法思考。
根据“原计划每天运22吨”和“运了15天”这两个条件，可以求出已经运出的吨数（图6-1）。
根据要“运600吨”和已经运出的吨数，可以求出剩下化肥的吨数（图6-1）。
接下去要用哪两个数量求出什么数量呢？不好思考了。
所以用综合法分析到这儿，接着要用分析法思考了。
要求“每天比原计划多运多少吨”，必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多少吨”。
“原计划每天运22吨”是已知条件，“后来每天运多少吨”不知道，这是此题的中间问题（图6-2）。
要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内运完”。
这两个条件中，第二个条件是已知的，“要在10天内运完”，“剩下多少吨”是未知的中间问题。
我们在前面用综合法分析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了。
所以本题分析到这里就可以解答了。
此题分步列式解答时，要从图6-1的上面往下看，接着从图6-2的下面往上看。
（1）已经运多少吨？
22×15=330（吨）
（2）剩下多少吨？
600-330=270（吨）
（3）后来每天运多少吨？
270÷10=27吨）
（4）每天比原计划多运多少吨？
27-22=5（吨）
综合算式：
（600-22×15）÷10-22
=（600-330）÷10-22
=270÷10-22
=27-22
=5（吨）
答略。
*例2某鞋厂原计划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双。
问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务？（适于五年级程度）
解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。
先用分析法思考。
要算出提前几天完成计划，必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数”（图6-3）。
“原计划天数”是30
天，已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中间问题。
要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”（图6-3）。
到此可以往下思考，要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件？但有的人觉得这样思考时不顺当，思路会“卡壳”，这时就要换用综合法进行思考。
由“原计划30天做皮鞋13500双”，可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图6-4）。
由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做50双”，可用加法算出“实际每天做的皮鞋数”（图6-4）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。
此题用分步列式的方法计算时，得从图6-4的上面往下面推想，然后从图6-3的后面（下面）往前推想。
（1）看图6-4的思路图。
通过把原计划做的13500双除以计划做的30天，可以得到原计划每天做多少双皮鞋。
13500÷30=450（双）
（2）在计划每天做的450双皮鞋上，加上实际每天多做的50双，得到实际每天做的皮鞋数。
450+50=500（双）
（3）接着看图6-3的思路图。
从思路图的下面往上推想，皮鞋总数除以实际每天做的皮鞋数500双，得到实际制做的天数。
13500÷500=27（天）
（4）接着往上看，从原计划做的30天，减去实际做的天数27天，就得到提前完成计划的天数。
30-27=3（天）
把上面分步计算的算式综合为一个算式是：
30-13500÷（13500÷30+50）
=30-13500÷500
=30-27
=3（天）
答略。
*例3甲、乙两队同时开凿一条2160米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿20米，乙队从另一端起，每天比甲队多开凿5米。
两队在离中点多远的地方会合？（适于五年级程度）
解：看图6-5。
要求两队在离中点多远的地方会合，需要知道隧道的中点及会合点离一端的距离（分析法）。
每天20米每天比甲队多5米
隧道全长2160米，中点到一端的距离可以通过2160÷2求得（综合法）。
要求出会合点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开凿的米数。
要求甲队开凿的米数，就要知道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已知）和开凿的天数（分析法）。
甲队每天开凿20米已知，开凿的天数不知道。
要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米（分析法）。
已知甲队每天开凿20米，乙队每天比甲队多开凿5米，这样可以求出乙队每天开凿多少米，从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。
此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。
（1）乙队每天开凿多少米？
20+5=25（米）
（2）甲乙两队一天共开凿多少米？
20+25=45（米）
（3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？
2160÷45=48（天）
（4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离）
20×48=960（米）
（5）甲队到中点的距离是多少米？
2160÷2=1080（米）
（6）会合点与中点间的距离是多少米？
1080-960=120（米）
综合算式：
2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）]
=1080-20×48
=1080-960
=120（米）
答略。
*例4某中队三个小队的少先队员采集树种。
第一小队8名队员共采集11.6千克，第二小队6名队员比第一小队少采集2.8千克，第三小队10名
克？（适于五年级程度）
解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选择出与所求数量有直接联系的数量关系。
而用分析法分析，能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系，找到解题所需要的数量后，再用综合法分析。
要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树种多少千克”和“全体队员的人数”（图6-6）。
要求“三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克；要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数（图6-6）。
三个小队的人数都已经知道，第一小队采集11.6千克也已知，只是第二、三小队各采集多少还不知道。
往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图6-6）。
由“第一小队共采集11.6千克”和“第二小队比第一小队少采集2.8千克”，可求出第二小队采集多少千克；由“第二小队采集的重量”和“第
往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多少千克；也可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。
到此本题就可以解出来了。
本题分步列式解答的方法是：
（1）第二小队采集多少千克？
11.6-2.8=8.8（千克）
（2）第三小队采集多少千克？
（3）三个小队共采集多少千克？
11.6+8.8+13.2=33.6（千克）
（4）三个小队有多少队员？
8+6+10=24（人）
（5）平均每人采集多少千克？
33.6÷24=1.4（千克）
综合算式：
=33.6÷24
=1.4（千克）
答略。
*例5甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行车15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇。
这时快车开到甲城还需要多少小时？（适于六年级程度）
解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是：
先用分析法来思考。
要求出“快车开到甲城还需要多少小时”，必须知道两个条件（图6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米。
这两个条件题目中都没给出，应把它们分别作为中间问题。
接着思考，要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小时行多少千米必须具备哪两个条件？……如果思路不“卡壳”，就一直思考下去，直到解答出所求问题。
如果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。
另画一个思路图（图6-8）。
图6-8中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。
这段路程是：
快车已行的路程是：
210-90=120（千米）
快车每小时所行的路程是：
120÷2=60（千米）
到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需要的时间是：
90÷60=1.5（小时）
综合算式：
答略。