难点详解沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测试试卷(含答案详解)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，7
2、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）
A．10 B．15 C．17 D．19
3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A．3 4 8 B．4 4 10 C．5 6 10 D．5 6 11
4、如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：
①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；
③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°
其中正确说法的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
''，使点C的5、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到A BC
对应点C'恰好落在边AB上，则BA A
∠'的度数是（）
A．50°B．70°C．110°D．120°
6、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作
FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（）
A．42°B．48°C．52°D．58°
7、三角形的外角和是（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．180°
D ．360°
8、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，则下列长度的线段中能作为第三边的是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．7cm
D ．10cm
9、下列命题是真命题的是（ ）
A ．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B ．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度
C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形
D ．在ABC 中，2A B C ∠=∠=∠，则ABC 为直角三角形
10、满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（ ）
A ．周长相等的两个三角形
B ．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形
C ．三边都对应相等的两个三角形
D ．两条直角边对应相等的两个直角三角形
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，1AP 为△ABC 的中线，2AP 为△1
APC 的中线，3AP 为△2AP C 的中线，……按此规律，n AP 为△1n AP C -的中线．若△ABC 的面积为8，则△n AP C 的面积为_______________．
2、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成 _____）．
3、如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40︒，点D 在边AC 上，∠ADB ＝100︒，则∠DBC 的度数为____________ °．
4、在ABC 中，若50,A B C ∠=︒∠=∠，则B ∠=_______．
5、如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转某个角度α得到A B C ''，∠A ＝30°，∠1＝70°，则旋转角α的度数为_____．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、已知：如图，在ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，AD ＝AE ．
（1）若∠BAD ＝30°，则∠EDC ＝ °；若∠EDC ＝20°，则∠BAD ＝ °．
（2）设∠BAD ＝x ，∠EDC ＝y ，写出y 与x 之间的关系式，并给出证明．
2、已知：如图，AD 是等腰三角形ABC 的底边BC 上的中线，DE ∥AB ，交AC 于点E ．求证：△AED 是等腰三角形．
3、在ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC =90°，则∠BCE = 度；
（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC 上（线段BC 之外）移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
4、已知，如图，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2＝60°．
（1）求证：△ADE ≌△ABC ；
（2）求证：AE ＝CE ．
5、ABC 中，CD 平分ACB ∠，点E 是BC 上一动点，连接AE 交CD 于点D ．
（1）如图1，若110ADC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，则B 的度数为______；
（2）如图2，若100ADC ∠=︒，53DCE ∠=︒，27B BAE ∠-∠=︒，则BAE ∠的度数为______；
（3）如图3，在BC 的右侧过点C 作CF CD ⊥，交AE 延长线于点F ，且AC CF =，2B F ∠=∠．试判断AB 与CF 的位置关系，并证明你的结论．
6、如图，AD 是ABC 的中线，分别过点C 、B 作AD 及其延长线的垂线，垂足分别为F 、E ．
（1）求证：CFD BED ≅△△；
（2）若ACF 的面积为8，CFD △的面积为6，求ABE △的面积．
7、如图，ABC 为等边三角形，D 是BC 中点，60ADE ∠=︒，CE 是ABC 的外角ACF ∠的平分线． 求证：AD DE =．
8、针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：在△ABC 中，AD 平分∠CAB ，交BC 边于点 D ，且CD ＝BD ，
求证：AB ＝AC ．
以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证
△ACD ≌△ABD ，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形
（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）；
A.两人都正确
B.甲正确，乙错误
C.甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的作法，并证明．
9、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角AOB
∠．
求作：射线OC，使AOC BOC
∠=∠．
作法：如图，
①在射线OA上任取一点D；
②以点О为圆心，OD 长为半径作弧，交OB 于点E ；
③分别以点D ，E 为圆心，大于12
DE 长为半径作弧，在AOB ∠内，两弧相交于点C ；
④作射线OC ．
则OC 为所求作的射线．
完成下面的证明．
证明：连接CD ，CE
由作图步骤②可知OD =______．
由作图步骤③可知CD =______．
∵OC OC =，
∴OCD OCE ≌△△． ∴AOC BOC ∠=∠（________）（填推理的依据）．
10、如图，ABC 是等边三角形，D 点是BC 上一点，2BD CD =，DE AB ⊥于点E ，CE 交AD 于点P ．求APE ∠的度数．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．
【详解】
+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
解：A、因为2356
B、因为2467
+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
+=>，所以能组成三角形，故本选项符合题意；
C、因为3365
+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、因为3367
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
2、C
【分析】
等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】
解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
3、C
【分析】
根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可．
【详解】
解：A．∵3+4＜8，
∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．∵4+4＜10，
∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C．∵5+6＞10，
∴能组成三角形，故本选项符合题意；
D．∵5+6=11，
∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．
4、D
【分析】
根据AD∥BC，∠C＝30°，利用内错角相等得出∠FDC=∠C=30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，根据∠ADB：∠BDC＝1：2，得出方程3∠ADB=150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB＝72°，可求邻补角∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD∥BC，同位角相等的∠CBN=∠DAN=108°可判断④正确即可．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠C＝30°，
∴∠FDC=∠C=30°，故①正确；
∴∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，
∵∠ADB：∠BDC＝1：2，
∴∠BDC =2∠ADB ，
∵∠ADC =∠ADB +∠BDC =∠ADB +2∠ADB =3∠ADB =150°，
解得∠ADB =50°，故②正确
∵∠EAB ＝72°，
∴∠DAN =180°-∠EAB =180°-72°=108°，
∴∠ABD =180°-∠NAD -∠ADB =180°-108°-50°=22°，故③正确
∵AD ∥BC ，
∴∠CBN =∠DAN =108°，故④正确
其中正确说法的个数是4个．
故选择D ．
【点睛】
本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．
5、B
【分析】
根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．
【详解】
解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，
90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，
40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，
1(18040)702
BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
6、B
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得42B AFG ∠=∠=︒，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．
【详解】
解：∵FG BC ∥，
∴42B AFG ∠=∠=︒，
∵DE AB ⊥，
∴90BDE ∠=︒，
∴18048DEB BDE B ∠=︒-∠-∠=︒，
故选：B ．
【点睛】
题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．
7、D
【分析】
根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．
【详解】
解：如图，142536180∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，
142536540∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，
又123180
∠+∠+∠=︒，
∴∠+∠+∠=︒-︒=︒，
456540180360
即三角形的外角和是360︒，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
8、C
【分析】
设三角形第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【详解】
解：设三角形的第三边是xcm．则
7-3＜x＜7+3．
即4＜x＜10，
四个选项中，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
9、C
【分析】
分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判断．
【详解】
A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；
B.三角形的内角和为180°，故此选项错误；
C.有两个角是60°，则第三个角为180606060︒-︒-︒=︒，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；
D.设C x ∠=，则2A B x ∠=∠=，故22180x x x ++=︒，解得36x =︒，所以72A B ∠=∠=︒，36C ∠=︒，此三角形不是直角三角形，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键．
10、A
【分析】
根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS 对各选项进行一一判断即可．
【详解】
解：A 、周长相等的两个三角形不一定全等，符合题意；
B 、有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；
C 、三边都对应相等的两个三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；
D 、两条直角边对应相等的两个直角三角形根据SAS 判定定理可判定全等，不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL(直角三角形)．
二、填空题
1、31
2n -
【分析】
根据三角形的中线性质，可得△1APC 的面积=182⨯，△2AP C 的面积=2182
⨯，……，进而即可得到答案．
【详解】
由题意得：△1APC 的面积=182⨯，△2AP C 的面积=2182⨯，……，△n AP C 的面积=182n
⨯=312n -． 故答案是：
312n -．
【点睛】 本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键．
2、角边角或
【分析】
根据全等三角形的判定定理得出即可．
【详解】
解答：解：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或ASA ，
故答案为：角边角或ASA ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3、30
【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出()1==
180=702
C ABC A ︒-︒∠∠∠，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，∠A ＝40︒， ∴()1==180=702C ABC A ︒-︒∠∠∠， ∵∠ADB =∠DBC +∠C =100°，
∴∠DBC =30°，
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
4、65°65度
【分析】
由三角形的内角和定理，得到180A B C ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；
【详解】
解：在ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，
∵50,A B C ∠=︒∠=∠，
∴502180B ︒+∠=︒，
∴65B ∠=︒；
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于360°．
5、40︒##
【分析】
由旋转的性质可得30,A A 再利用三角形的外角的性质求解140,A CA A 从而可得答
案.
【详解】 解： 把△ABC 绕点C 顺时针旋转某个角度α得到A B C ''，∠A ＝30°，
30,A A ∠1＝70°，
140,A CA A
40.
故答案为：40︒
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，三角形的外角的性质，利用性质的性质求解30A A '∠=∠=︒是解本题的关键.
三、解答题
1、（1）15，40；（2）y ＝1
2x ，见解析
【分析】
（1）设∠EDC ＝m ，则∠B ＝∠C ＝n ，根据∠ADE ＝∠AED ＝m +n ，∠ADC ＝∠B +∠BAD 即可列出方程，从而求解．
（2）设∠BAD ＝x ，∠EDC ＝y ，根据等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，∠ADE ＝∠AED ＝∠C +∠EDC ＝∠B +y ，由∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠EDC 即可得∠B +x ＝∠B +y +y ，从而求解．
【详解】
解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n，
∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝m+n，
则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝2m，
∴2m+n＝n+30，解得m＝15°，
∴∠EDC的度数是15°；
若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°．故答案是：15；40；
x，
（2）y与x之间的关系式为y＝1
2
证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴∠B+x＝∠B+y+y，
∴2y＝x，
x．
∴y＝1
2
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键．
2、见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠BAD =∠CAD ，根据平行线的性质得到∠ADE =∠BAD ，等量代换得到∠ADE =∠CAD 于是得到结论．
【详解】
解：∵△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，AD 是底边BC 上的中线，
∴∠BAD =∠CAD ，
∵DE ∥AB ，
∴∠ADE =∠BAD ，
∴∠ADE =∠CAD ，
∴AE =ED ，
∴△AED 是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3、（1）90；（2）180αβ+=︒，见解析；②180αβ+=︒或αβ=
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；
（2）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵90BAC ∠=︒，
∴90DAE BAC ∠=∠=︒，
∵AB =AC ，AD =AE ，
∴45B ACB ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒， ∵DAE BAC ∠=∠，
∴BAD CAE ∠=∠，
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BAD CAE ≅，
∴45ACE B ∠=∠=︒，
∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒
（2）αβ180+=︒或αβ=．
理由：①∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠． 即BAD CAE ∠=∠．
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABD ACE △≌△．
∴B ACE ∠=∠．
∴B ACB ACE ACB ∠+∠=∠+∠．
∴B ACB β∠+∠=．
∵180B ACB α+∠+∠=︒，
∴180αβ+=︒．
②如图：
∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠．
即BAD CAE ∠=∠．
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABD ACE △≌△．
∴ABD ACE ∠=∠．
∵+ABD ACB α∠=∠，ACE ACB β=∠-∠，
ACE ABD βα∴=∠-∠+，
综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．
4、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据∠1＝∠2可推出∠DAE =∠BAC ，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得AE ＝AC ，结合∠2＝60°可推出△AEC 为等边三角形，据此证明．
【详解】
（1）证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+BAE ∠＝∠2+BAE ∠
即∠DAE =∠BAC
在△ADE 和△ABC 中
DAE BAC AD AB
D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE ≌△ABC （ASA ）
（2）证明：∵△ADE ≌△ABC
∴AE ＝AC
又∵∠2＝60°
∴△AEC 为等边三角形
∴AE ＝CE
此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，等边三角形的性质和判定方法．
5、（1）40°；（2）10°；（3）AB∥CF，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC+∠ACB=140°即可求解；
（2）根据三角形的外角性质求得∠B+∠BAE=47°即可求解；
（3）延长AC到G，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG=2∠F，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF=2∠F，则有∠B=∠BCF，根据平行线在判定即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠ADC=110°，
∴∠DAC+∠DCA=180°－110°=70°，
∵AE平分∠BAC，CD平分∠ACB，
∴∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠DCA，
∴∠BAC+∠ACB=2（∠DAC+∠DCA）=140°，
∴∠B=180°－（∠BAC+∠ACB）=180°－140°=40°，
故答案为：40°；
（2）∵∠ADC=∠DCE+∠DEC=100°，∠DCE=53°，
∴∠DEC=100°－53°=47°，
∴∠B+∠BAE=∠DEC=47°，
∵∠B－∠BAE=27°，
∴∠BAE=10°，
故答案为：10°；
（3）AB∥CF，理由为：
如图，延长AC到G，
∵AC=CF，
∴∠F=∠FAC，
∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，
∵CF⊥CD，
∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
∴∠BCF=∠FCG=2∠F，
∵∠B=2∠F，
∴∠B=∠BCF，
∴AB∥CF．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
6、
（1）见解析
（2）ABE
△的面积为20．
（1）根据已知条件得到E CFD ∠=∠、BD CD =，然后利用全等三角形的判定，进行证明即可．
（2）分别根据ACF 和CFD △的面积，用CF 表示AF 、D F ，通过CFD BED ≅△△，得到BE CF =，DE DF =，用CF 表示出AE 的长，最后利用面积公式求解即可．
（1）
（1）解：由题意可知：90E CFD ∠=∠=︒
AD 是ABC 的中线
BD CD ∴=
在CFD ∆与BED ∆中
CDF BDE C CFD E D BD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩
∴∆∆()CFD BED AAS ≌．
（2） 解：ACF 的面积为8，CFD △的面积为6．
182
AF CF ∴⋅=，即16AF CF = 162
DF CF ⋅=，即12DF CF = 由（1）可知：CFD BED ∆∆≌
BE CF ∴=，12DE DF CF
== 40AE AF DF DE CF ∴=++= 1202
ABE S AE BE ∆∴=⋅=．
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练根据条件证明三角形全等，利用其性质，证明对应边相等，这是解决本题的关键．
7、证明见解析.
【分析】
过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.
【详解】
证明：过D作DG∥AC交AB于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG＝∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，
∴DG＝BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DG＝CD，
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE ＝12
（180°−∠ACB ）＝60°，
∴∠BCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝120°＝∠AGD ，
∵AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，
又∵∠BDG ＝60°，∠ADE ＝60°，
∴∠ADG ＝∠EDC ＝30°，
在△AGD 和△ECD 中，
AGD ECD GD CD
ADG EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGD ≌△ECD （ASA ）．
∴AD ＝DE ．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8、（1）C ；（2）见解析
【分析】
（1）甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出判断；
（2）按照乙的分析方法进行即可．
【详解】
（1）甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错误，而乙的证明则正确，
故选C ；
（2）依据题意，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，如图．
∵D 为BC 中点．
∴BD CD =．
在△CAD 和△BED 中
DE AD ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CAD ≌△BED (SAS )．
∴DAC E ∠=∠，BE AC =
∵AD 平分∠BAC ，
∴BAD CAD ∠=∠
∴DAB E ∠=∠
∴BE AB =
∴AB ＝AC
∴△ABC 为等腰三角形
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是构造辅助线得到全等三角形．
9、OE ； CE ；全等三角形的对应角相等
【分析】
根据圆的半径相等可得OD =OE ，CD =CE ，再利用SSS 可证明OCD OCE ≌
△△，从而根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】
证明：连接CD ，CE
由作图步骤②可知OD =___OE ___．
由作图步骤③可知CD =__CE ___．
∵OC OC =，
∴OCD OCE ≌
△△． ∴AOC BOC ∠=∠（__全等三角形对应角相等__）
故答案为：OE ； CE ；全等三角形的对应角相等
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．
10、60APE ∠=︒
【分析】
由题意易得60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，则有30BDE ∠=︒，然后可得BE CD =，进而可证BEC CDA ≌，则有BCE =∠∠CAD ，最后问题可求解．
【详解】
解：∵ABC 是等边三角形，
∴60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，
∵DE AB ⊥，
∴90DEB ∠=︒，
∴30BDE ∠=︒，
∴2BD BE =，
∵2BD CD =，
∴BE CD =，
∴BEC CDA ≌（SAS ），
∴BCE =∠∠CAD ，
∵,60APE PAC ACP ACB DAC ACP ∠=∠+∠∠=∠+∠=︒，
∴60APE ACB ∠=∠=︒．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．。