高中数学选修1-2 第三章测试卷

数学选修1－2 第三章测试卷
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题(共12小题，满分60分，每小题5分)
1．i 是虚数单位，复数7－i 3＋i
＝( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－2＋i
D ．－2－i
解析：7－i 3＋i
＝(7－i )(3－i )10＝20－10i 10＝2－i.故选B. 答案：B
2．已知复数z ＝－i 3
(－1＋2i )2
(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：因为z ＝i －3－4i ＝i (－3＋4i )(－3－4i )(－3＋4i )
＝－4－3i 25＝－425－325i ，所以z 在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.
答案：C
3．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．5＋i
D ．5－i
解析：因为(z －3)(2－i)＝5，
所以z －3＝52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )
＝2＋i ， 所以z ＝5＋i ，所以z －＝5－i.故选D.
答案：D
4．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z
等于( ) A ．－1－2i B ．－2＋i
C ．－1＋2i
D ．1＋2i
解析：由题意可得2－z －z ＝2－(－1＋i )－1－i
＝(3－i )(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )
＝－1＋2i ，故选C. 答案：C
5．|(3＋2i)－(4－i)|等于( ) A.58 B.10
C ．2
D ．－1＋3i
解析：3＋2i －(4－i)＝－1＋3i ，|－1＋3i|＝10.
答案：B
6．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R )，z 2＝1－2i ，若z 1z 2
为纯虚数，则|z 1|＝( ) A. 2 B. 3
C ．2 D. 5
解析：由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )
＝
2－2a ＋(4＋a )i 5
为纯虚数，则a ＝1， 则|z 1|＝5，故选D.
答案：D
7．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．±1或0
解析：因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，
且|z 1|＝|z 2|，所以a 2＋4＝4＋1，解得a ＝±1，故选C.
答案：C
8．已知复数z ＝－12＋32
i ，则z －＋|z |＝( ) A ．－12－32i B ．－12＋32
i C.12＋32i D.12－32
i 解析：因为z ＝－12＋32i ， 所以z －＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋322＝12－32
i.故选D. 答案：D
9．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( )
A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C.z －对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数
解析：∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，
∴z 对应的点在实轴的上方．
又∵z 与z －对应的点关于实轴对称．
∴C 项正确．故选C.
答案：C
10．复数2＋i 与复数13＋i
在复平面上的对应点分别是A ，B ，若O 为坐标原点，则∠AOB 等于( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
解析：∵13＋i ＝3－i (3＋i )(3－i )＝310－i 10
， ∴它在复平面上的对应点为B ⎝⎛⎭⎫310
，－110， 而复数2＋i 在复平面上的对应点是A (2,1)，
显然AO ＝5，BO ＝1010，AB ＝41010
. 由余弦定理得 cos ∠AOB ＝AO 2＋BO 2－AB 22AO ·BO ＝22
， ∴∠AOB ＝π4
.故选B.
答案：B 11．已知z －是复数z 的共轭复数，z ＋z －＋z ·z －＝0，则复数z 在复平面内对应的点的轨
迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －＝x －y i ，
代入z ＋z －＋z ·z －＝0，得x ＋y i ＋x －y i ＋x 2＋y 2＝0，
即x 2＋y 2＋2x ＝0，整理得(x ＋1)2＋y 2＝1.
∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选A.
答案：A
12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x
的最大值是( )
A.32
B.33
C.12
D. 3
解析：因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以
3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤y x ≤ 3.故选D. 答案：D
二、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)
13．若a 是复数z 1＝1＋i 2－i
的实部，b 是复数z 2＝(1－i)3的虚部，则ab ＝________. 解析：∵z 1＝1＋i 2－i
＝(1＋i )(2＋i )5＝15＋35i ，∴a ＝15，∵z 2＝(1－i)3＝－2－2i ，∴b ＝－2，∴ab ＝－25
. 答案：－25
14．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．
解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.
答案：－2
15．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.
解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，
∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.
答案：3
16．若复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－6m ＋9)i(m ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，其中i 为虚数单位，则实数m 的取值范围为________．
解析：由题可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m 2－4m ，m 2－6m ＋9)，因为点(m 2
－3m ，m 2－6m ＋9)位于第二象限，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－4m <0m 2－6m ＋9>0，解得0<m <3或3<m <4，故实数m 的取值范围为(0,3)∪(3,4)．
答案：(0,3)∪(3,4)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2
， 求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2
. 解析：因为z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )
＝25－75i 25
＝1－3i ， 所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310
i. 18．(12分)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，若ω＝z ＋1z
是实数，且－1<ω<2. (1)求z 的实部的取值范围；
(2)设u ＝1－z 1＋z
，求证：u 为纯虚数． 解析：(1)因为z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，
所以ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝
⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i. 因为ω是实数，所以b －b a 2＋b 2＝0，即a 2＋b 2＝1. 又－1<ω<2，所以－1<a ＋a a 2＋b 2<2，即－1<2a <2，解得－12<a <1， 所以z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－12，1. (2)由题意及(1)可得u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝(1－a －b i )(1＋a －b i )(1＋a ＋b i )(1＋a －b i )＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2
＝－b a ＋1
i ， 因为a ∈⎝⎛⎭
⎫－12，1，a ，b ∈R ，b ≠0，所以u 为纯虚数． 19．(12分)已知复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i.
(1)求复数z ；
(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解析：(1)∵(1＋2i)z －＝4＋3i ，
∴z －＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )
＝10－5i 5＝2－i ， ∴z ＝2＋i.
(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
4－(a ＋1)2>0，4(a ＋1)>0，解得－1<a <1， 即实数a 的取值范围为(－1,1)．
20．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z －2|<|z 1|，求a 的取值范围．
解析：因为z 1＝－1＋5i 1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z －2＝a －2＋i ，
所以|z 1－z －2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|
＝(4－a )2＋4， 又因为|z 1|＝13，|z 1－z －2|<|z 1|，
所以(4－a )2＋4<13，
所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.
所以a 的取值范围是(1,7)．
21．(12分)设z －为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3.
(1)若z 为纯虚数，求z .
(2)若z －z －2为实数，求|z |.
解析：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z －＝－b i ，
因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，
所以b ＝±3，所以z ＝±3i.
(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，
因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，
因为z －z －2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i.
z －z －2为实数，
所以b ＋2ab ＝0.
因为|b |＝3，所以a ＝－12
， 所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋(±3)2＝132
. 22．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.
(1)求复数z ；
(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解析：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，
由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，
解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，
所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，
所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.
当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，
所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，
所以S △ABC ＝1.。