2008年上海市中考数学试题及答案

2008年上海市中考数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题：第一大题选择题含Ⅰ、Ⅱ两组选做题，Ⅰ组供使用一期课改教材的考生完成，Ⅱ组供使用二期课改教材的考生完成；其余大题为共做题；
一、选择题：（本大题含Ⅰ、Ⅱ两组，每组各6题，每题4分，满分24分） 考生注意：
1．请从下列Ⅰ、Ⅱ两组中选择一组，并在答题纸的相应位置填涂选定的组号，完成相应的1—6题．若考生没有填涂任何组号或将两个组号全部填涂，默认考生选择了Ⅰ组；
2．下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．
Ⅰ组：供使用一期课改教材的考生完成
1．计算23a a 的结果是（ ） A ．5a
B ．6a
C ．2
5a
D ．2
6a
2．如果2x =是方程1
12
x a +=-的根，那么a 的值是（ ） A ．0
B ．2
C ．2-
D ．6-
3．在平面直角坐标系中，直线1y x =+经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
4．在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．如果12x x ，是一元二次方程2
620x x --=的两个实数根，那么12x x +的值是（ ） A ．6-
B ．2-
C ．6
D ．2
6．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=
，8PA =，那么弦AB 的长是（ ） A ．4
B ．8
C
．
D
．Ⅱ组：供使用二期课改教材的考生完成
1．计算23a a 的结果是（ ） A ．5a
B ．6a
C ．2
5a
D ．2
6a
2．如果2x =是方程1
12
x a +=-的根，那么a 的值是（ ） A ．0
B ．2
C ．2-
D ．6-
P
图1
3．在平面直角坐标系中，直线1y x =+经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
4．计算32a a -
的结果是（ ）
A ．a
B ．a
C ．a -
D ．a -
5．从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃，2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是（ ） A ．
12
B ．
1
3
C ．
23
D ．1
6．如图2，在平行四边形ABCD 中，如果AB a = ，AD b =
， 那么a b +
等于（ ）
A ．BD
B ．AC
C ．DB
D ．CA
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．不等式30x -<的解集是 ． 8．分解因式：2
4x -= ． 9．用换元法解分式方程
21221x x x x --=-时，如果设21
x y x
-=，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是 ． 10
2=的根是 ． 11
．已知函数()f x =
(2)f = ．
12．在平面直角坐标系中，如果双曲线(0)k
y k x
=
≠经过点(21)-，，那么k = ．
13．在图3中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ． 14．为了了解某所初级中学学生对2008年6月1日起实施的“限塑令”是否知道，从该校全体学生1200名中，随机抽查了80名学生，结果显示有2名学生“不知道”．由此，估计该校全体学生中对“限塑令”约有 名学生“不知道”．
15．如图4，已知a b ∥，140∠=
，那么2∠的度数等于 ．
图2
x
1
2
a b
图4
16．如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ．
17．如图5，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BF
FD
= ．
18．在ABC △中，5AB AC ==，3
cos 5
B =
（如图6）．如果圆O
且经过点B C ，，那么线段AO 的长等于 ． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
++ 20．（本题满分10分） 解方程：
2
654
111
x x x x x ++=--+ 21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）
“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．
（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；
（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．
E 图
5
B
图6
图
7 图8
22．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分3分）
某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2004至2007年每年的旅游收入及入境旅游人数（其中缺少2006年入境旅游人数）的有关数据，整理并分别绘成图9，图10．
根据上述信息，回答下列问题：
（1）该地区2004至2007年四年的年旅游收入的平均数是 亿元；
（2）据了解，该地区2006年、2007年入境旅游人数的年增长率相同，那么2006年入境旅游人数是 万；
（3）根据第（2）小题中的信息，把图10补画完整． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分）
如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）
如图12，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数2
3y x bx =-++的图像经过点(1
0)A -，，顶点为B ．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标；
年旅游收入 （亿元）
图9 旅游收入图 图10 E
B A
图11
（2）如果点C 的坐标为(40)，，AE BC ⊥，垂足为点E ，点D 在直线AE 上，1DE =，求点D 的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 已知24AB AD ==，，90DAB ∠=
，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．
（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；
（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．
B A D M E C
图13 B A D C 备用图
x
2008年上海市中考数学试卷
答案要点与评分标准
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；
5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位． 一、选择题：（本大题含Ⅰ，Ⅱ两组，每组各6题，满分24分） 1．D ； 2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．C ； 6．B ． 二、填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．3x <； 8．(2)(2)x x -+； 9．2210y y --=；
10．1x =-；
12．2-； 13．21y x =+； 14．30；
15．40；
16．1:9；
17．
2
3
； 18．3或5．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式13=
+-·················· （8分） 4=． ································ （2分）
20．解：去分母，得
65(1)(4)(1)x x x x ++=+-． ······················ （3分）
整理，得2
890x x --=． ······················· （2分）
11x ∴=-，29x =． ·························· （4分）
经检验，11x =-是增根，29x =是原方程的根． ·············· （1分） 所以，原方程的根是9x =． 21．（1）（图形正确）； ························· （3分）
（2）解：由已知OC DE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=
．
1:0.75i = ，4
3
CH EH ∴
=． ······················ （1分） 在Rt HEC △中，222
EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE = ，
得222
(3)(4)5k k +=，解得1k =．3EH ∴=，4CH =． ········· （3分）
7DH DE EH ∴=+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+．
在Rt ODH △中，222
OH DH OD +=，222(4)7(7)r r ∴++=+． 解得8
3
r =
．······························ （3分） 22．（1）45； ····························· （3分） （2）220； ······························ （4分） （3）（图正确）． ···························· （3分） 23．证明：（1） 四边形ABCD 是平行四边形，AO CO ∴=． ······· （2分） 又ACE △是等边三角形，EO AC ∴⊥，即DB AC ⊥． ········· （2分）
∴平行四边形ABCD 是菱形；
······················ （2分） （2）ACE △是等边三角形，60AEC ∴∠=
． ············· （1分）
EO AC ⊥ ，1
302
AEO AEC ∴∠=
∠= ． ················ （1分） 2AED EAD ∠=∠ ，15EAD ∴∠= ．45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠= ． · （1分）
四边形ABCD 是菱形，290ADC ADO ∴∠=∠= ． ··········· （2分）
∴四边形ABCD 是正方形．
······················· （1分） 24．解：（1） 二次函数23y x bx =-++的图像经过点(1
0)A -，， 013b ∴=--+，得2b =， ······················ （2分）
所求二次函数的解析式为223y x x =-++． ················ （1分）
则这个二次函数图像顶点B 的坐标为(14)，； ················ （2分）
（2）过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ．在Rt BCF △中，4BF =，3CF =，5BC =，
4sin 5BCF ∴∠=
．在Rt ACE △中，sin AE
ACE AC
∠=，又5AC =， 可得
4
55
AE =．4AE ∴=． ······················· （2分） 过点D 作DH x ⊥轴，垂足为点H ．由题意知，点H 在点A 的右侧，
易证ADH ACE △∽△．AH DH AD
AE CE AC
∴==． 其中3CE =，4AE =．设点D 的坐标为()x y ，，则1AH x =+，DH y =， ①若点D 在AE 的延长线上，则5AD =．
得15
435
x y +==，3x ∴=，3y =，所以点D 的坐标为(33)，； ②若点D 在线段AE 上，则3AD =．
得
13435x y +==，75x ∴=，95y =，所以点D 的坐标为7955⎛⎫
⎪⎝⎭
，． 综上所述，点D 的坐标为(33)，
或7955⎛⎫
⎪⎝⎭
，． ················ （5分）
25．解：（1）取AB 中点H ，联结MH ，
M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1
()2
MH BE AD =
+． ········· （1分） 又AB BE ⊥ ，MH AB ∴⊥． ····················· （1分）
12ABM S AB MH ∴=
△，得1
2(0)2
y x x =+>； ··········· （2分）（1分）
（2）由已知得DE =
． ·················· （1分）
以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切， 11
22MH AB DE ∴=+，即11
(4)222x ⎡+=+⎣
． ······· （2分）
解得43x =，即线段BE 的长为4
3
； ··················· （1分）
（3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，
又易证得DAM EBM ∠=∠． ······················ （1分） 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠． DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =； ··············· （2分） ②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥，ADB DBE ∴∠=∠． DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，BED M EB ∴△∽△．
DE BE
BE EM
∴
=，即2
BE EM DE = ，得2x =
解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2． ··········· （2分） 综上所述，所求线段BE 的长为8或2．。