球的体积与表面积

例2：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求 ：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 ：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积； 证：（ ）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的三分之二。 ）球的表面积等于圆柱全面积的三分之二。
R O A
一个几何体的各面与另一个几何体的 各面都相切，称这两个几何体相切。 各面都相切，称这两个几何体相切。
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 2.如图，正方体ABCD的棱长为a,它的各 如图 ABCD a, 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球， 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知， 体都是中心对称图形可知，它们中心重 则正方体对角线与球的直径相等。 合，则正方体对角线与球的直径相等。
O A
O′
R ∵O′O = , ∆ABC是正三角形， 是正三角形， 2
则O′落在∆ABC的中心
C
∴ O′A =
2 2 3 •高 = 3 3
B
已知过球面上三点A、 、 的截面到球心 的截面到球心O的距离 例３:已知过球面上三点 、B、C的截面到球心 的距离 已知过球面上三点 等于球半径的一半， 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， ２ ，求球的体积， 表面积． 表面积．
2
B
正 正方体与球 方 问题： 的接切问题： 体 设正方体棱长为a， 设正方体棱长为 ， 的 外 球的半径为Ｒ。 球的半径为Ｒ。 接 球
D1 C1 B1
•
D1 A1
•O1
C1 B1
D A B
C
D1B = 2 R =
3a
正 方 体 的 内 切 球
A1 O1
D
C
A
B
2R = a
球的体积和表面积
球的体积： 一 ．球的体积：
4 球体积公式为： 球体积公式为：V ＝ πR 球 3
3
（Ｒ为球的半径） （Ｒ为球的半径） 为球的半径
球的表面积： 二、球的表面积：
球的表面积公式： 球的表面积公式：
S = 4πR
2 （Ｒ课本 ：阅读课本P73 例２
略解： Rt ∆ B 1 D 1 D 中 : 略解： (2 R ) = a + ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 D A D1 A1 O B O B
C
C1 B1 C
3 R = a 2 ∴ S = 4π R 2 = 3π a 2
C1 B1
已知过球面上三点A、 、 的截面到球心 的截面到球心O的距 例３:已知过球面上三点 、B、C的截面到球心 的距 已知过球面上三点 离等于球半径的一半， 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 ２ ， 体积，表面积． 体积，表面积． 半径为R， 解：如图，设球O半径为 ， 如图，设球 半径为 截面⊙ 的半径为 的半径为r， 截面⊙O′的半径为 ，
Rt , 解：在 ∆OO′A中∵OA2 = O′O2 + O′A2 ,
R 2 2 3 2 ) , ∴R = ( ) + ( 2 3
2
4 ∴R = . 3
4 3 4 4 3 256 V = πR = π ( ) = π; 3 3 3 81
O A
O′
C
16 64 π. S = 4πR = 4π × = 9 9