广东省惠州市2021届高三数学第三次调研考试试题 文(含解析)

广东省惠州市2021届高三数学第三次调研考试试题 文（含解析）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.若{}{}
=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =（ ）
A. {}0,2,4,6
B. {}0,2
C. {}0,1,2,3,4,6
D.
{}0,12
30246,,,,,, 【答案】C 【解析】 【分析】
先求集合B ，再根据并集定义求结果. 【详解】∴B={0,2,4,6}A B=｛0，1，2，3，4，6｝
. 故选：C
【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.设i 为虚数单位，复数2
12z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.
【详解】2
2
111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以z
在复平面内对应的点为1,22⎛- ⎝⎭
，在第二象限.
故选：B
【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.已知数列{}n a 是等比数列，函数2
=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =（ ）
A. 1
B. 1-
C.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据韦达定理得155a a +=，再根据等比数列性质结果.
【详解】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >，
且2
31533a a a a =⋅=∴=
故选：D
【
点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.“()()110m a -->”是“log 0a m >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
当()() “110m a -->”时，则11m a >⎧⎨
>⎩
或11m a <⎧⎨<⎩ 此时a log m 可能无意义，故0a log m >不一定成立，
而当0a
log m >时，则11m a >⎧⎨>⎩
或01
01m a <<⎧⎨<<⎩，“()() 110m a -->”成立 故“()() 110m a -->”是0a log m >的一个必要不充分条件．
故答案选B
5.已知圆C ：2
2
40x y x a +++=上存在两点关于直线:=2l y kx +对称，k =（ ） A. 1 B. 1-
C. 0
D.
12
【答案】A 【解析】 【分析】
根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.
【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，()C l ∴∈-2,0，220k ∴-+=，得1k =.故选：A
【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题. 6.在ABC ∆中，1=3AD DC ，P 是直线BD 上的一点，若1
2
AP mAB AC =+，则m =（ ） A. 4- B. 1-
C. 1
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件化以,AB AD 为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数. 【详解】
11
4222
AP mAB AC mAB AD mAB AD =+
=+⨯=+，又B P D 、、三点共线，所以21+=m ，得1m =-. 故选：B
【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题.
7.惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来.根据以上数据，该教师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（ ） A. 580 B. 600 C. 620 D. 640
【答案】D 【解析】 【分析】
先假设未统计2个月的数据，确定中位数大小的取值区间，再判断选择. 【详解】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数为
530550
5402
+=（分钟），当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数为
610650
6302
+=（分钟），所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为]540,630⎡⎣. 故选：D
【点睛】本题考查根据数据估计中位数，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知函数()x
x a
f x e e
=+
为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ）
B. 2
C. 2ln 2
D. ln 2
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.
【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0x
x
x x x x a a f x e e e e a e e
----=+
=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003
'().2
x x f x e e -=-=解得
02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =. 故选：D
【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.
9.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]-ππ的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
试题分析：因为()102
f π
=>，故排除A ；因为()(1cos )(sin )()f x x x f x -=--=-，所以
函数()f x 为奇函数，故排除B ；因为()cos cos 2f x x x =-'，分别作出cos y x =与cos 2y x =的图象，可知极值点在(
,)2
π
π上，故选C ．
考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．
10.P 为椭圆22
110091
x y +=上的一个动点，,M N 分别为圆22:(3)1C x y -+=与圆
222:(3)(05)D x y r r ++=<<上的动点，若||||PM PN +的最小值为17，则r =（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据||||PM PN +的最小值，得到关于r 的方程，进而求得答案. 【详解】因为(3,0)C ，(3,0)D -恰好为椭圆的两个焦点， 因为||||1,||||PM PC PN PD r ≥-≥-，
所以||||||||121PM PN PC PD r a r +≥+--=--. 因为2100a =，得10a =， 所以20117r --=，则2r .
故选：B.
【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值. 11.已知函数()sin cos (0,0)62
a
f x x x a πωωω⎛
⎫=+
+>> ⎪⎝
⎭，对任意x ∈R ，都有
()f x ≤()f x 在[0,]π上的值域为3
[2，则ω的取值范围是（ ）
A. 11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 12,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D. 1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得a ；再根据()f x 在[0,]π上的值域确定3
x π
ω+取值范围，解得结果.
【详解】()sin cos 62a f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2
a x x ωω++
max
()f x ==02a a >∴=，())3f x x πω∴=+
0,0x πω≤≤>，3
3
3
x π
π
π
ωωπ∴
≤+
≤+
，
3
()2
f x ≤≤ 22
3
3
π
π
πωπ∴
≤+
≤
，1163ω∴≤≤.
故选：A
【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 12.已知函数3
21()1(1)3
f x x ax ax a =
-++≤在1212,()t t t t ≠处的导数相等，则不等式12(+)0f t t m +≥恒成立时，实数m 的取值范围是（ ）
A. [)1-+∞，
B. (]1-∞-，
C. (]
1-∞， D. (43⎤
-∞⎥⎦
，
【答案】A 【解析】 【分析】
先求导数，根据条件解得12+=2t t a ，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.
【详解】由题得2
'()2(1)f x x ax a a =-+≤，由已知得12,t t 为220x ax a -+=两个不等实根，
所以12+=2t t a ，12(+)0f t t m +≥恒成立，(2),(1)m f a a ∴-≤≤恒成立.
令3
24()(2)21,(1)3
g a f a a a a ==-
++≤， 则2
'()444(1)g a a a a a =-+=--，当(,0),'()0a g a ∈-∞<，当(0,1),'()0;a g a ∈>
()(,0)g a ∴-∞在上单调递减，在(0,1)上单调递增.
min ()(0)1,1, 1.g a g m m ∴==∴-≤∴≥-
故选：A
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分. 13.执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是_________.
【答案】6 【解析】 【
分析】
执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果.
【详解】①2
2,220;n =<②4
4,220;n =<③6
6,220.n =>结束循环，输出结果：6 故答案为：6．
【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若2a b c +=，35c b =，
则=A ________． 【答案】
23
π
（或120°） 【解析】 【分析】
根据余弦定理直接求解得cos A ，再根据特殊角三角函数值得结果.
【详解】因为75,33a b c b ==，222
2
2
2
57()()133cos 5222()3
b b b b
c a A bc b b +-+-=
==-⋅，2(0,π)3
A A π
∈∴=．
故答案为：
23
π
【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
15.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．
【答案】
3
2
.
【解析】
【分析】
设球的半径为R，可知圆柱高为2R；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.
【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R
∴圆柱的表面积22
1
2226
S R R R R
πππ
=+⋅=；球的表面积2
2
4
S R
π
=
∴圆柱的表面积与球的表面积之比为
2
1
2
2
63
42
S R
S R
π
π
==
本题正确结果：
3
2
【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.
16.设M为不等式组
40
40
x y
x y
y
+-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≥
⎩
所表示的平面区域，N为不等式组
04
t x t
y t
-≤≤
⎧
⎨
≤≤-
⎩
所表示的平面区域，其中[0,4]
t∈，在M内随机取一点A，记点A在N内的概率为P．
（1）若1
t=，则P=__________．
（2）P的最大值是__________．
【答案】 (1).
3
8
. (2).
1
2
.
【解析】
【分析】
分析：当1t =时，2t =时，求出满足40
400x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
的面积，分别求出满足04t x t y t -≤≤⎧⎨
≤≤-⎩的面积，利用几何概型概率公式求解即可.
【详解】
由题意可得，当1t =时，满足40
400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
的面积为1
84162⨯⨯=，
1t =时，满足04t x t
y t -≤≤⎧⎨
≤≤-⎩
的面积为236⨯= ， 所以P =
63168
=； 如图，当()24t
t -取得最大值时，即2t =时P 最大，
当2t =时，满足40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
的面积为1
84162⨯⨯=，
2t =时，满足04t x t
y t
-≤≤⎧⎨
≤≤-⎩的面积为248⨯= ， 所以81162P =
=；最大值为12
． 故答案为3
8， 12
.
【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为大于0的整数，当且仅当n =4时，n S 取得最小值.
（1）求公差d 及数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}
n a 的前20项和.
【答案】（1）d =2，29n a n =-（2）272 【解析】 【分析】
（1）根据等差数列性质得45
00a a <⎧⎨>⎩，解不等式得d 范围，再根据d 为大于0的整数得d 的值，
最后根据等差数列通项公式得结果；
（2）先根据项的正负去掉绝对值，再分别根据对应等差数列求和公式求和，即得结果.
【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则由题可知：45
0a a <⎧⎨>⎩.
11
3040a d a d +<⎧∴⎨+>⎩，即730740d d -+<⎧⎨-+>⎩.
解得
7743
d <<. 因为d 为整数，d ∴=2
1(1)72(1)29n a a n d n n ∴=+-=-+-=-
所以数列{}n a 的通项公式为29n a n =- （2）当4n ≤时，0n a <；当5n ≥时，0n a >
12345201234520.....()(......)a a a a a a a a a a a a ++++++=-++++++
52014()16
()422a a a a +⋅+⋅=-
+
(71)4(131)1622--⨯+⨯=-+ .
=272
所以数列{}
n a 的前20项和为272.
【点睛】本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及等差数列性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
18.如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS 的中点．
（1）求证：SD ∥平面ACE ；
（2）若平面ABS ⊥平面ABCD ，4AB =，120ABC ∠=︒，求三棱锥E ASD -的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】 （1）设AC
BD O =，利用三角形中位线性质得SD OE ∥，再根据线面平行判定定理得结
果；
（2）取AB 的中点F ，结合面面垂直性质定理得DF ⊥平面ABS ，再根据等体积法以及利用锥体体积公式求结果. 【详解】（1）连接BD ，设AC
BD O =，连接OE ，则点O 是BD 的中点．
又因为E 是BS 的中点，所以SD OE ∥， 又因为SD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE 所以SD ∥平面ACE ．
（2）因为四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，
所以1
602
ABD ABC ∠=∠=︒．又因为AB AD =，
所以三角形ABD 是正三角形．
取AB 的中点F ，连接SF ，则DF AB ⊥23DF =
又平面ABS ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，平面ABS 平面ABCD AB =，
所以DF ⊥平面ABS ．即DF 是四棱锥D AES -的一条高 而1
sin 232
ASE S SA SE ASE =⋅⋅∠=△
所以E ADS D AES V V --=
11
2323433
ASE S DF =⋅=⨯=△． 综上，三棱锥E ASD -的体积为4.
【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档基础题.
19.惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量x （1020x ≤≤，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公
斤，商店销售该海鲜的日利润为y 元.
（1）求商店日利润y 关于日需求量x 的函数表达式. （2）根据频率分布直方图，
①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.
②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.
【答案】（1）()()301401420501401014x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩
（2）①15.32公斤 ②0.4 【解析】 【分析】
（1）根据条件列分段函数关系式，即得结果；
（2）①根据组中值求平均数，②先根据函数关系式确定日利润不少于620元对应区间，再求对应区间概率.
【详解】（1）当1014x ≤<时
()401014=50140y x x x =-⨯-- 当1420x ≤≤时
()40143014=30140y x x =⨯+⨯-+
所求函数表达式为：()()301401420501401014x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨
-≤<⎪⎩
． （2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间[)10,12的频率是120.050.1f =⨯=； 海鲜需求量在区间[)12,14的频率是220.10.2f =⨯= 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是320.150.30f =⨯=；
海鲜需求量在区间[)16,18的频率是420.120.24f =⨯=； 海鲜需求量在区间[]18,20的频率是520.080.16f =⨯=； 这50天商店销售该海鲜日需求量的
平均数为：
1122334455x x f x f x f x f x f =⋅+⋅+⋅++⋅+⋅
110.1130.2150.30170.24190.16=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 15.32=（公斤）
②当14x =时，560y =，
由此可令30140620x +≥，得16x ≥
所以估计日利润不少于620元的概率为()0.120.0820.4+⨯=.
【点睛】本题考查函数解析式以及利用频率分布直方图求平均数和概率，考查综合分析求解能力，属中档题.
20.己知函数()()()ln f x x a x a R =-∈，它的导函数为()f x '. （1）当1a =时，求()f x '的零点；
（2）若函数()f x 存在极小值点，求a 的取值范围.
【答案】（1）1x =是()f x '的零点；（2）(
)
2
,e --+∞
【解析】 【分析】
（1）求得1a =时的()f x '，由单调性及()10f '=求得结果.
（2）当0a =时，()1ln f x x ='+，易得()f x 存在极小值点，再分当0a >时和当0a <时，令()()g x f x ='，通过研究()g x '的单调性及零点情况，得到()g x 的零点及分布的范围，进而得到()f x 的极值情况，综合可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 当1a =时，()()1ln f x x x =-，()1
ln 1f x x x
+'=-. 易知()1
ln 1f x x x
+'=-
为()0,+∞上的增函数，
又()1ln1110f '=+-=，所以1x =是()f x '的零点. （2）()ln 1ln x a a
f x x x x x
+-'-=
=+， ① 当0a =时，()1ln f x x ='+，令()0f x '>，得1x e >
；令()0f x '<，得1
0x e
<<， 所以()f x 在10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，符合题意. 令()1ln a g x x x =-
+，则()221a x a g x x x x
+=='+. ② 当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增. 又10g ae e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭，()11110a
a
a
a g e
a a e e ⎛⎫=-+=+-> ⎪⎝⎭
， 所以()g x 在()0,+∞上恰有一个零点0x ，且当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当
()0,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，所以0x 是()f x 的极小值点，符合题意.
③ 当0a <时，令()0g x '=，得x a =-.
当()0,x a ∈-）时，()0g x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0g x '>， 所以()()()min 2ln g x g a a =-=+-.
若()()2ln 0g a a -=+-≥，即当2a e -≤-时，()()()0f x g x g a =≥-≥'恒成立， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值点，不符合题意. 若()()2ln 0g a a -=+-<，即当20e a --<<时，()()11ln 101a
g a a a
-=-
+->-， 所以()()10g a g a -⋅-<，即()g x 在(),a -+∞上恰有一个零点1x ，且当()1,x a x ∈-时，
()()0f x g x '=<；当()1x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，
所以1x 是()f x 的极小值点，符合题意.
综上，可知2a e ->-，即a 的取值范围为(
)
2
,e --+∞. 【点睛】本题主要考查导数
综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关
系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
21.设抛物线C :2
2(0)y px p =>与直线:02
p
l x my --=交于A 、B 两点. （1）当AB 取得最小值为
16
3
时，求p 的值. （2）在（1）的条件下，过点(3,4)P 作两条直线PM 、PN 分别交抛物线C 于M 、N （M 、N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与x 轴平行，求证：直线MN 的斜率为定值. 【答案】（1）83p =（2）证明见解析，定值2
3
-. 【解析】 【分析】
（1）先确定直线l 过抛物线焦点，再根据抛物线定义求AB ，最后根据AB 最小值求p 的值； （2）先确定PM 、PN 的斜率互为相反数，再设直线PM 方程，与抛物线联立解得M 坐标，类似可得N 点坐标，最后利用斜率公式求结果. 【详解】（1）由题意知：直线:02p l x my --
=过定点(,0)2
p
，该点为抛物线焦点. 联立222p x my y px
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：2220y pmy p --=
设1122(,),(,)A x y B x y ，
有122y y pm +=，2
12y y p ⋅=-
2121212()22(1)22
p p
AB x x x x p m y y p p m ∴=+
++=++=++=+… 20,0p m >≥，当0m =时，min 2AB p =
1623p ∴=
，解得83
p = （2）证明：由已知可知直线PM 、PN 斜率存在，且互为相反数 设3344(,),(,)M x y N x y ，直线PM 的方程为(3)4y k x =-+.
联立2163
(3)4
y x y k x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去x 整理得：2
31664480ky y k -+-=. 又4为方程的一个根，所以3644843k
y k -=
，得3161216433k y k k
-=
=-
同理可得
4
16
4
3
y
k
=--
3434
22
3434
34
1611612
333(8)3
()
16
MN
y y y y
k
x x y y
y y
--
∴===⋅=⨯=-
-+-
-
所以直线MN的斜率为定值
2
3
-.
【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑.
22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为2cos
ρθ
=，若极坐标系内异于O的三点()
1
,
Aρϕ，
2
,
6
B
π
ρϕ
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
()
3123
,,0
6
,
C
π
ρϕρρρ
⎛⎫
->
⎪
⎝⎭
都在曲线M上.
（1
123
3ρρρ
=+；
（2）若过B，C两点直线的参数方程为
3
2
2
1
2
x t
y t
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），求四边形OBAC的面积. 【答案】（1）详见解析；（2）
33
4
.
【解析】
【分析】
（1）将()12,,,,6B πρϕρϕ⎛⎫
+
⎪
⎝
⎭ 3123,(,,0)6C πρϕρρρ⎛
⎫-> ⎪⎝
⎭代入极坐标方程ρ2cos θ=，
求出123ρρρ、、，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得()1,,2,022B C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
则231,2,6
π
ρρϕ===；又得1ρ=.四边形面积为121311sin sin 2626
OBAC S ππρρρρ=
+，化简可得结果.
【详解】（1）由122cos ,2cos ,6πρϕρϕ⎛
⎫
==+
⎪⎝
⎭ 32cos 6πρϕ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，则
232cos 2cos 66ππρρϕϕ⎛
⎫
⎛
⎫+=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ 1ϕ=；
（2）由曲线M 的普通方程为：2
2
20x y x +-=，联立直线BC 的参数方程得：20t =
解得120,t t ==()1,2,02B C ⎛ ⎝⎭
则231,2,6
π
ρρϕ===
；又得1ρ=.
即四边形面积为121311sin sin 26264
OBAC S ππρρρρ=
+=
为所求. 【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题. 23.已知函数()24f x x x =++-. （1）求不等式()3f x x ≤的解集；
（2）若()(1)f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1) [2,)+∞ (2) (,2]-∞ 【解析】 【分析】
(1) 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；
(2)对x 分类讨论，当1x ≠时，24
1
x x k x ++-≤-，借助绝对值不等式即可得到右侧的最小
值，从而得到k 的取值范围.
【详解】（1）当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >； 当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得2
5
x ≥
，所以此时不等式无解； 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤； 综上所述，不等式解集为[
)2,+∞.
（2）由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥- 当1x =时，60≥恒成立，所以k R ∈； 当1x ≠时，24
1313
33111
1
11
x x x x k x x x x ++--++--≤
=
=+
+----- 因为3333111121111x x x x ⎛
⎫⎛⎫+
+-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
当且仅当3311|011x x ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭即4x ≥或2x ≤-时，等号成立
所以，2k ≤
综上，k 的取值范围是(]
,2-∞.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。