高三数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）
A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}
2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数
4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）
A．9 B．100 C．135 D．80
5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）
A．5 B．6 C．9 D．22
6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A．4 B． C． D．8
7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．
8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）
A．0 B．3 C．6 D．12
9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）
A．60B．50C．60D．50
10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）
A．B．2 C．D．
12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x
的取值X围是（）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．
14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．
15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．
（I）求；
（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1
⊥BD．
（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；
（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．
19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）
（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．
（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95
根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计
值．
参考数据：≈457，
≈23.5．
20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；
（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求证：BE=EF．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．
2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）
A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．
【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，
则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，
则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，
故选：D．
2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，
∴z=2﹣4i，
则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．
故选：D．
3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．
【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．
4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）
A．9 B．100 C．135 D．80
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∴q2===，
∴a7+a8=（a1+a2）q6
=40×=135，
故选：C．
5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22
【考点】函数的值．
【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣98）=1+lg100=3，
f（lg30）=10lg30﹣1==3，
∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．
故选：B．
6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A．4 B． C． D．8
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．
【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．
∴四棱锥的高h==2，
∴棱锥的体积V==4．
故选A．
7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．
【考点】圆的一般方程．
【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．
【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，
代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，
解得：b=2，r=5，
所以|MN|=2=2，
故选：D．
8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）
A．0 B．3 C．6 D．12
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；
故输出的m值为6，
故选：C；
9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）
A．60B．50C．60D．50
【考点】球内接多面体．
【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．
【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，
∴cos∠ACB==﹣，
∴∠ACB=120°，
∴△ABC的外接圆的半径为=12，
∴O到平面ABC的距离为5，
∵S△ABC==36，
∴四面体OABC的体积是=60．
故选：A．
10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；
对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，
对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，
对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）
A．B．2 C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．
【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：
∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，
∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，
∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），
又∵点M在双曲线E上，
∴将M坐标代入坐标得﹣=1，
整理上式得，b2=2a2，
而c2=a2+b2=3a2，
∴e2==，
因此e=，
故选：C．
12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x
的取值X围是（）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．
【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．
【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），
当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（﹣1，1）递减，
而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），
∴g（x）在R是奇函数，
∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，
即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，
g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，
如图示：
，
x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，
x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，
综上：x∈（﹣2，2），
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．
【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，
∴=0，．
∵λ+与﹣2垂直，
∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．
解得λ=2．
故答案为2．
14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．
【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），
变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，
当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，
代值计算可得z的最大值为2，
故答案为：2．
15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．
【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．
【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，
令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，
再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，
由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，
故答案为：0．
16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．
【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．
【解答】解：∵a n=（n≥2），
∴2=2S n a n﹣a n，
∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，
∴2=﹣，
又∵=1，
∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴S2016==，
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．
（I）求；
（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．
（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（I）由正弦定理得，，…
即，
故．…
（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．
即c=7t．…
由余弦定理得．
所以．…
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．
（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；
（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．
【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．
又，可得，∴DC1⊥DC．
而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．
∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…
（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，
∴CA，CB，CC1两两垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，
，．则，，．
设是平面BDC1的法向量，
则，即，
可取．
设点P到平面BDC1的距离为d，
则．…12分
19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）
（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．
（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95
根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计
值．
参考数据：≈457，
≈23.5．
【考点】线性回归方程．
【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；
（II）（i）使用乘法原理计算；
（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．
【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．
（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．
故所求的概率．
（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．
设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，
a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，
所以y与x的线性回归方程是．
20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．
【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，
所以x2+4y2=4，即…..
（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．
设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），
则．…
△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．
…．①，…②．…
又由，得，
将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．
所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…
21．已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；
（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；
（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，
∴…
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，
即对x＞0恒成立．
即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，
，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）
则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…
又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，
所以ϕ（x）存在唯一零点x0，
且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…
由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；
0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：
h（x）的最小值为．
所以正整数k的最大值为3．…
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求证：BE=EF．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；
（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．
【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，
∴PD=4，…
又∵PC=ED=1，
∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，
∴，…
∴AC2=PC•AB=2，
∴…
证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…
∴，
∴EF=BE．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；
（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．
【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，
所以，
所以，或，即或．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf
（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的X围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=
的最小值为3，
∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，
∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。