湖北省鄂州市2021年中考数学真题(word版,含答案)

鄂州市2021年初中毕业生学业考试
数学试题
学校：_______________ 考生姓名：_______________ 准考证号： 注意事项：
1．本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

6．考生不准使用计算器。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1．实数6的相反数等于
A ．6-
B ．6
C ．6±
D ．16
2．下列运算正确的是
A ．23a a a ⋅=
B ．541a a -=
C ．632a a a ÷=
D ．()3
326a a =
3．“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：
①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ． ②以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为
A ．20︒
B ．30︒
C ．40︒
D ．50︒ 6．已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-
，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，1
11n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于 A ．23-
B ．13
C ．12-
D ．2
3
7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线21y x =-与直线()0y kx b k =+≠相交于点
()2,3P ．根据图象可知，关于x 的不等式21x kx b ->+的解集是
A ．2x <
B ．3x <
C ．2x >
D ．3x >
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2．已知圆心O 在水面上方，且O 被水面截得的弦AB 长为6米，O 半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是
图1 图2
A ．1米 B
．(4-米 C ．2米 D
．(4米
9．二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线
1x =．下列结论：
①0abc <； ②420a b c ++<； ③80a c +<；
④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()2
00ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5．
上述结论中正确结论的个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒
，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22
PA PC
+2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是
A ．3 B
．C
D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 11
=_____________．
12．“最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动．6名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2．这组数据的中位数是_____________．
13．已知实数a 、b
30b +=，若关于x 的一元二次方程2
0x ax b -+=的两个实数根分别为1x 、
2x ，则
12
11
x x +=_____________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A 的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．
15．如图，点A 是反比例函数()12
0y x x
=
>的图象上一点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，AC
交反比例函数
()0k
y x x
=
>的图象于点B ，点P 是y 轴正半轴上一点．若PAB ∆的面积为2，则k 的值为_____________．
16．如图，四边形ABDC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AD BD ⊥于点D ．若2BD =，CD =，则线段AB 的长为_____________．
三、解答题（本大题共8小题，17～21题每题8分，22～23题每题10分，24题12分，共计72分） 17．（本题满分8分）
先化简，再求值：2293411x x x x x x
-+÷+--，其中2x =．
18．（本题满分8分）
为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“南献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x 均为不小于60的整数）﹐并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（6070x <≤）．合格（7080x <≤）、良好（8090x <≤）、优秀（90100x ≤≤），制作了如下统计图（部分信息未给出）： 所抽取成绩的条形统计图 所抽取成绩的扇形统计图
根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）（3分）胡老师共抽取了____________名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为____________﹐请补全条形统计图．
（2）（5分）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率． 19．（本题满分8分）
如图，在ABCD □中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且ABE CDF ∠=∠．
（1）（4分）探究四边形BEDF 的形状，并说明理由；
（2）（4分）连接AC ，分别交BE 、DF 于点G 、H ，连接BD 交AC 于点O ．若
2
3
AG OG =，4AE =，求BC 的长．
20．（本题满分8分）
在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A 地出发，途经B 地去往C 地，如图．当他
由A 地出发时，发现他的北偏东45︒方向有一信号发射塔P ．他由A 地沿正东方向骑行到达B 地，此时发现信号塔P 在他的北偏东15︒方向，然后他由B 地沿北偏东75︒方向骑行12km 到达C 地．
（1）（4分）求A 地与信号发射塔P 之问的距离；
（2）（4分）求C 地与信号发射塔P 之问的距离．（计算结果保留根号） 21．（本题满分8分）
为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且当160x =时，840y =；当190x =时，960y =． （1）（3分）求y 与x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）（5分）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？ （每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本＋每亩种植补贴） 22．（本题满分10分）
如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，O 为BC 边上一点，以O 为圆心，OB 长为半径的O 与AC 边相切于点D ，交BC 于点E ．
（1）（4分）求证：AB AD =； （2）（6分）连接DE ，若1
tan 2
EDC ∠=，2DE =，求线段EC 的长． 23．（本题满分10分）
数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现
由5510+==；
112333+=；0.40.40.8+==；1525+>=；
0.2 3.2 1.6+>=；111
282
+>=
猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +≥a b =时等号成立）． 猜想证明
∵
2
0≥
0=，即a b =时，0a b -=，∴a b +=；
0≠，即a b ≠时，0a b ->，∴a b +>
综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +≥a b =时等号成立）． 猜想运用（3分） 对于函数()1
0y x x x
=+
>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 变式探究（3分） 对于函数()1
33
y x x x =
+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 拓展应用（4分）
疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （2
米）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？
24．（本题满分12分） 如图，直线3
62
y x =-
+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，点Р为线段AB 的中点，点Q 是线段OA 上一
动点（不与点O 、A 重合）．
（1）（3分）请直接写出点A 、点B 、点Р的坐标；
（2）（3分）连接PQ ，在第一象限内将OPQ ∆沿PQ 翻折得到EPQ ∆，点O 的对应点为点E ．若90OQE ∠=︒，求线段AQ 的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线()2
2
3
210y ax a x a a a =-+++≠的顶点为点C ．
①（3分）若点C 在PQE ∆内部（不包括边），求a 的取值范围；
②（3分）在平面直角坐标系内是否存在点C ，使CQ CE -最大？若存在，请直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图1 备用图2
鄂州市2021年初中毕业生学业考试数学试卷
参考答案及评分标准
评卷说明：
1．本卷满分1：20分。

2．解答题按步骤给分。

3．解答题仅提供一种解题方法，考生解题方法与参考答案不同的，只要合理、正确均给满分。

一、选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．3 12．2 13．2
3
-
14．()2,2 15．8 16．三、解答题（17～21题每题8分，22～23题每题10分，24题12分，共计72分）
17．解：原式()()()31334
1
x x x x x x
x -=
⨯
++--+
1
x x
+=
当2x =时，原式3
2
=
18．解：
（1）40，36︒，（补全条形图略）
（2）
()1
2
P =
年同学被选中． 19．解：
（1）四边形BEDF 为平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴ABC ADC ∠=∠ ∵ABE CDF ∠=∠ ∴EBF EDF ∠=∠
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD BC ∥
∴EDF DFC EBF ∠=∠=∠ ∴BE DF ∥ ∵AD BC ∥
∴四边形BEDF 为平行四边形
（2）设2AG a =，∵
2
3
AG OG = ∴3OG a =，5AO a =
∵四边形ABCD 为平行四边形
∴5AO CO a ==，10AC a =，8CG a =
∵AD BC ∥ ∴AGE CGB ∆∆∽
∴
1
4AE AG BC GC == ∵4AE =
∴16BC = 20．解：
（1）依题意知：45PAB ∠=︒，15PBG ∠=︒，75GBC ∠=︒ 过点B 作BD AP ⊥于D 点，
∵45DAB ∠=︒，AB =∴4AD BD ==
∵45ABD GBD ∠=∠=︒，15GBP ∠=︒ ∴60PBD ∠=︒ ∵4BD =
∴PD =
∴(4km PA =+
（2）∵60PBD ∠=︒，4BD = ∴8PB =
过点P 作PE BC ⊥于E ∵15PBG ∠=︒，75GBC ∠=︒ ∴60PBE ∠=︒ ∵8PB =
∴4BE =，PE =∵12BC = ∴8CE =
∴PC = 21．解：
（1）设y 与x 之间的函数关系式()0y kx b k =+≠，依题意得：
160840
190960k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得：4
200
k b =⎧⎨
=⎩
∴y 与x 之间的函数关系式为4200y x =+．
（2）设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得：
()21604200120W x x ⎡=-+⎤⎣⎦
+⋅ 242080x x =-+
()2
4260270400x =--+
∵40-<
∴当260x <时，y 随x 的增大而增大 由题意知：240x ≤
当240x =时，W 最大，最大值为268800元
即种植面积为210亩时总利润最大，最大利润268800元 22．（1）证明：
∵90ABC ∠=︒ ∴AB OB ⊥
又∵AB 经过半径O 的外端点B ∴AB 切O 于点D ∴AB AD =
（2）解：连接BD ，∵BE 为O 的直径 ∴90BDE ∠=︒
∴90CDE ADB ∠+∠=︒ 又∵AB AD = ∴ADB ABD ∠=∠ ∴90CDE ABD ∠+∠=︒ ∵90ABC ∠=︒
∴90ABD EBD ∠+∠=︒
∴EBD EDC ∠=∠ 又∵1tan 2EDC ∠=
∴1tan 2
EBD ∠= 即
12
DE BD = ∵2DE =
∴4BD =，BE =又∵C C ∠=∠，EBD EDC ∠=∠
∴CDE CBD ∆∆∽ ∴
12
CE DC DE DC BC BD === 设CE x =，则2DC x =
∴()(22x x x =+
∴10x =（舍去），23
x =
即线段EC 23．解：
猜想运用：
∵0x > ∴10x
>
∴12y x x =+
=≥ ∴当1x x
=时，min 2y = 此时21x =
只取1x =
即1x =时，函数y 的最小值为2．
变式探究：
∵3x >
∴30x ->，103
x >-
∴133353y x x =
+-+=-≥ ∴当133
x x =--时，min 5y = 此时()231x -=
∴14x =，22x =（舍去）
即4x =时，函数y 的最小值为5．
拓展应用：
设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得： 91263x y +=
即3421x y +=
∵30x >，40y >
∴34x y +≥
即21≥整理得：14716xy ≤
即14716
S ≤ ∴当34x y =时max 14716S =
此时72x =，218
y = 即每间隔离房长为72米，宽为218
米时，S 的最大值为214716米． 24．解：
（1）()0,6A ，()4,0B ，()2,3P
（2）过点Р作PF OA ⊥于F
∵90OQE ∠=︒
∴1452
OQP OQC ∠=∠=︒ ∴QF PF =
∵点()2,3P
∴2QF PF ==，3OF =
∴5OQ =
∵点()0,6A
∴6AO =
∴651AQ =-=
即AQ 的长为1．
（3）①()
2221y a x ax a a =-+++ ()2
1a x a a =-++
∴其顶点C 的坐标为(),1a a +
∴点C 是直线()10y x x =+≠上一点
∵90OQE ∠=︒，5OQ =
∴当5y =时，4x =
又∵点()2,3P 在直线1y x =+上
∴当点C 在PQE ∆内部（不含边）时，a 的取值范围是24a <<． ②存在点C 使CQ CE -最大． 其坐标为1619,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．。