结构力学-力矩分配法

• 作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩， 也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩 作用于结点上时逆时针转动为正号。
•
3、转动刚度S：
• 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上= 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加 的力矩。AB 杆A 端的转动刚度SAB与AB 杆的线刚度 i（材料的性质、横截面 的形 状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而 与近端支承无关。当远端是不同支承时， 等截面杆的转动刚度如下：
转动刚度
在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）
远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB
MAB
MAB
θ MAB
1
√ ① ②
1
MAB
1
③④
1
Δ
转动刚度SAB=4i是（ ）
A
i
B
A
i
√ √ B ①
③
A
i
B
④
A
i
4i>SAB>3i
√B ②
A
i⑤ B
i
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二、基本运算
AA1155kkNN↓↓↓↓44↓↓i00↓↓=kk↓↓1NN↓↓↓↓//mm↓↓↓↓ DD
MA 10
80
mAB
M=15 i=2
mAD mAC CC
MM图图（（kkNN..mm))
22mm
22mm
44mm
A
C
D
AD
AC
CA
DA
3/9
2/9
－ 80
15
10
－10 返回
－ 65
10
－ 10
三、多结点力矩分配法
⑶为了取消结点C的刚臂，放松结点C，在结点C加上 （－(MC+ M传)），如图d，为了使BCD部分只有一个角位 移，结点B再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结 点C处于暂时的平衡。
⑷传递弯矩的到来，又打破了B点的平衡，B点又有了新 的约束力矩M传，重复⑵、⑶两步，经多次循环后各结点 的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形
1 2
DMkiik来自3iik3iik
DM ik M ik mik
DM ik

1 2
DM

ki
DM ij


1 DM 2
ji
3iki
ik
3i ij ij
DM ' ik
iik
DM i '
ij
ij
DM
' ik

DM
ik

1 2
DM
ki
DM ik

1 2
DM
ki
3iik
DM
ij

1 2
DM
ji
• 本章的基本要求： • 熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和
无侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算， 了解用力矩分配法计算有侧移刚架。 •
一、基本概念
1、力矩分配法概述
2、正负号规定：
• 在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、 固端弯矩的正负号规定与位移法相同， 即都假定对杆端顺时针转动为正号。
SBA=4×3i=12i SBC=3×4i=12i
AA －15
BB
CC
－30
M－图30（kN.m)
μBA=12i/24i=1/2 μBC=12i/24i=1/2
3）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩。 计算过程可列表进行
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例题 2
单结点力矩分配法
用力矩分配法计算,画M图。
解：1）求μ
μAB= 4/9 μAC= 2/9
连续梁
100kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
i=1.92 1 i=1.37 2 i=2.4
3
i=1
B
2.5m
3.5m
2m
4.8
μ
0.513 0.478 0.363 0.637
m
78.1 －102.0 102.0 －33.3
1,3 2
78.1
12.3 11.6 109.7 －31.2
第九章 力矩分配法
一种渐进法
学习内容
• 转动刚度、分配系数、传递系数的概念 及确定。
• 力矩分配法的概念，用力矩分配法计 算连续梁和无侧移刚架。
• 无剪力分配法的概念及计算。 • 利用对称性简化力矩分配法计算。
学习目的和要求
• 力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种 实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程， 直接得到杆端弯矩。运算简单，方法机械，便 于掌握。
如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动） 的刚结点转动刚度SAB的数值不变。
4、传递系数C：
• 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩 的比值。即：C＝M远/M近
• 利用传递系数的概念，远端弯矩可表达 为：MBA=CABMAB
• 等截面直杆的转动刚度和传递系数如下 表。
例题 1
μAD= 3/9
2）求m mAB= 50
mBA= － 50
mAD= － 80
M+MA=mAB+mAD+mAC － M =50+－80－15= －45
结点
B
杆端
BA
AB
分配系数
4/9
固端弯矩 － 50
50
分配与传递
10
20
最后弯矩 － 40
70
4 4mm
70
40 110000kkNN 110000 BB i=1
MB=150－90=60
2）去掉约束，相当于
m －150 A－15
M－1－50175
200kN150M－B 90 20kN/m
MB
－3B0 151020
－30↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ －－12900
C
在结点加上负的不平衡
力矩，并将它分给各个 175
杆端及传递到远端。
mBA 300
mBC 120 －MB=－6090
MC=53 50kN
μCD=0.6
－128
128 －75
分配系数 2482 －M0.B6 0.4 固逐松进配端CBB次结行与递BAAmmm弯放点分传CCB033DBC矩.43224221434412111815226000..146828－112751779085.5676..4.4.7.88－－－－5560111.01.1335...52227..787
i=2 B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C i=2
i=1
M图（kN.m)
192
8m
8m
4m
50kN C
100 4m
固端弯矩 最后弯矩 0
ΔMik
0
ΔMki/2
ΔM´
ΔM´之比
i之比
－128
128 －75
86.6 －86.6 124.2 －124.2
86.6 41.4
－3.8 －49.2
0
0 －1.9
20.7 0
• 力矩分配法的基本运算指的是，单结点 结构的力矩分配法计算。
1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算
• 如图1所示结构，结点集中力偶m作用下， 使结点转动，从而带动各杆端转动，杆 端转动产生的近端弯称为分配弯矩，产 生远端弯矩称为传递弯矩。
• 分配弯矩：M1j＝μ1jm （j=A，B，C） （1） • 传递弯矩： Mj1＝ cM1j （j=A，B，C） （2）

120101.74－.822 11.7288 . 8
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例题 4
无侧移刚架
0.5 0.4
.0S121323A1A212－102M1..3430.327(.i.9k357－,N6130M.5.3.392m56.,.3,1476)86,213S,32B3S33B12.23300－..643242613i7138i...789268830359..,24.462,85,4
注意：
• ①结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。 • ②分配系数 μ1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它
等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度 之和的比值，即：μ1j＝S1j/ΣS1j ，且Σ μ1j＝1 （3）
• ③只有分配弯矩才能向远端传递。
• ④分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩 是杆端转动时产生的远端弯矩。
状态。一般2～3个循环就可获得足够的精度。 ⑤叠加：最后杆端弯矩： M=∑M分配＋∑M传递＋MF
取EI=8
μBA=0.6 μBC=0.4 μCB=0.4
24kN/m
50kN
A
i=2 B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C i=2
C
2EI 8m
EI 8m i=1
4m 2EI 4m
MB=－128 24kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
• 在形受上力结上 点，B、结C点不B能、转C动上。多了不平衡力矩MB、MC；在变
• ⑵为了取消结点B的刚臂，放松结点B（结点C仍锁住）， 在角结位点移，B加并上且（受－结M点B）集，中如力图偶c作,此用时，A可BC按部基分本只运有算一进个行 力矩分配和传递。结点B处于暂时的平衡。此时C点的 不平衡力矩是MC+ M传 。
86.6 43.3
－24.5 －49.2
86.6 2
49.2 2
43.3
24.5
22
22
返回
1
1
变形条件的校核：
M ik 4iiki 2iikk mik
M ki 2iiki 4iikk mki


(M
ik
mik
)

1 2
(M
ki
mki
)

DM
ik

0.4 M0.C6=78.6
128 －75
2255..66 －31.4
－－M47C=.2－78.6
－－3311..23.4 －－417.9.2
0.2
0.6 CB
9.4 6.3
3－.20.1 －0.1
最后弯矩 0
86.6 －86.6 124.2 －124.2
校核
124.2
86.6
24kN/m
A
④每次要将结点不平衡力矩变号分配。 ⑤结点i的不平衡力矩Mi 总等于附加刚臂上的约束力矩 ，可由结点平衡来求。
（8－在6） 第一轮第一个分配结点：Mi=∑MF－m （结点力偶荷
载顺时针为正）
在第一轮其它分配结点：Mi=∑MF＋M传－m （结点力偶
荷载顺时针为正） 以后各轮的各分配结点：M =M
例题 3
单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法
MiA=4iθ=SiAθ

S iA
M
S
B
M
A
i
注2）：M分i1B配）=力3μiθ矩=称S是为iB杆θ力端矩转分S动i配BS时M系产数生。的且近∑端μ弯=1矩。
3）结M点iC=集iθ中=S力iCθ偶荷载S顺iCS时M针为正。
C
∑M= MiA+MiB+MiC－M=0
• 用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要 逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐 步渐近求出杆端弯。以图1所示连续梁为例加以说明。
• ⑴加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定 梁，计算各杆固端弯矩m，由结点力矩平衡求刚臂内的 约束力矩（称为结点的不平衡力矩），如图b，图b与原 结构的差别是：
3iij
由此可见，在同一结点上各杆杆端转角相等的前提下，两杆i端的
DM ' ik
DM ik

1 2
DM
ki
值之比等于其线刚度之比。
注意： ①多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。
②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛 。
③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松 时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但 是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛 。
.7
m21A
1,3

100
82.5M02.12－07.8101.1.02,2 .0
－330.3
－50.8.m52397
.11－010701.32.62 102.2 0.1
33.3, m32

33.3,
Mm12
0
100
130.95.27 12
－110092.7, m2142.1302－, 42m.33B
• 将整个变形过程分为两步： • 第一步，在刚结点加刚臂阻止结点转动，将连续梁分解为两根单
跨超静定梁，求出各杆端的固端弯矩。结点B各杆端固端弯矩之 和为附加刚臂中的约束力矩，称为结点不平衡力矩MB。
• 第二步，去掉约束，相当于在结点B加上负的不平衡力矩MB，
并将它分给各个杆端及传递到远端。
• 叠加以上两步的杆端弯，得到最后杆端弯矩。
5.8 5097.1 －62.342－.3109.3
1,3
16 15.2 1537.6 20.9
2
－5.2 －10.3－18.2
0.762 0.238 33.3 －288
129141.1.7 60.6 －51.4
41.7 13
－9.1 288
1解,3 :
2
1,3
1) 求分配2.系7 2数.5: 2)M求1 固 7端8弯.1－矩100:.92
结点b各杆端固端弯矩之和为附加刚臂中的约束力矩称为结点不平衡力矩m1819返回单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kn20knm3m3m6m3i4i1锁住结点求固端弯矩9020150200150bcbaab150150902去掉约束相当于在结点加上负的不平衡力矩并将它分给各个杆端及传递到远端
•
•
•
单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩
200kN
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
mAB 节 点2不008平 6衡力150 矩2要00变号6 分配.
A
3i
B 4i
C
3m
3m
6m
mBA 不8平衡力15矩0 =
μ
1/2 1/2
mBC

固2端0 弯62矩之9和0 8


M
S
a）分配力矩
M M
ij
ij
b）传递弯矩 2、传Mj递i=系CM数ij C：
j=A，B，C
S
ij
ij
S
杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩
注：的1比）值传。递即力：矩是杆端转动时产生的远端弯矩。
2）只有分配弯C矩才M能远 向M远近 端返传回递。
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算