四川省成都市六校协作体2014-2015学年高二下学期期中联考数学（文）试题

四川省成都市六校协作体2014-2015学年⾼⼆下学期期中联考数学（⽂）试题
成都市六校协作体⾼2013级第四学期期中试题
⽂科数学
(全卷满分:150分完成时间:120分钟)
注意事项:
选择题答案⽤铅笔涂写在机读卡上,每⼩题选出答案后,⽤铅笔把对应题⽬的答案标号涂⿊.其它题答在答题卷上.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
⼀.选择题(本⼤题共有12⼩题,每⼩题5分,共60分．在每⼩题给出的四个选项中,有且只有⼀项是符合题⽬要求的．)
1.⼀⼈连续投掷硬币两次，事件“⾄少有⼀次为正⾯”的互斥事件是 ( ▲ )
A ．⾄多有⼀次为正⾯
B ．两次均为正⾯
C ．只有⼀次为正⾯
D ．两次均为反⾯
2.已知等轴双曲线经过点)4,
5(-M ,则它的标准⽅程为 ( ▲ )
A.22
199x y -= B.
22
199y x -= C. 2222
119999
x y y x -=-=或 D.
22
14141x y -= 3.已知
2()3'(1)f x x xf =+，则'(1)f 为 ( ▲ )
A ．-1
B ．-2
C ．0
D ．1
4.下列有关命题的说法正确的是
( ▲ )
A ．命题“若x 2>1,则x>1”的否命题为“若x 2
-2x-3=0”的必要不充分条件.
C ．命题2
,10x R x x ?∈++<使得”的否定是“2
,10x R x x ?∈++<均有”. D ．命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆否命题为真命题.
5.若双曲线22
213
x y a -=的离⼼率为2,则此双曲线的顶点到渐近线的距离等于 ( ▲ )
A. 2
B. 2
C. 32
6.已知椭圆22
22x y a b
E:+=1的左右焦点分别为F 1,F 2,过右焦点F 2作x 轴的垂线,交椭圆
于A,B 两点.若等边△ABF 1的周长为34,则椭圆的⽅程为 ( ▲ )
A.22132x y +=
B.22136x y +=
C.22123x y +=
D.22
194
x y +=
否否是是结束
输出y y =0
y =x -5
x >0?
y =x +3
x ≥0?输⼊x 开始10 题图
7.已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之⼀，
且其导函数()y f x '=的图象如右图所⽰，则该函数的图象可能是 ( ▲ )
A B C D
8.已知{|15}A x x =≤≤,{|(1)(1)0}B x x a x a =-+--≤,条件p :x A ∈，条件q :x B ∈，若p ?是q ?的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 ( ▲ )
A.(2,4]
D.()2,4
9.已知3)6(3
123
++++=
x b bx x y 在R 上存在三个单调区间,则b 的取值范围是( ▲ )
A ．b -2b 3≤≥或
B ．3b 2-≤≤
C ．32<<-b
D ．b -2b 3<>或
10.执⾏如图所⽰的程序框图,在集合{|910}A x Z x =∈-≤≤
中随机地取⼀个数值作为x 输⼊,则输出的y 值落在区间]3,
4[- 内的概率为( ▲ )
A.23
B.34
C.45
D.56
11.已知椭圆
2
2
22x y
a b
+=1的左右焦点分别为F 1,F 2,椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离⼼率的取值范围是 ( ▲ ) A. 1
0,2?? ??? B. 112??
， C. ? ?? D. 1?
12.若实数a,b,c,d 满⾜22b 2a -6lna)260c d ++-+=（,则2
2
()
()a c b d -+-的最⼩值为
▲
)
A ． 5
B ．．20 D ．6题图
()
y f x '=
第Ⅱ卷(⾮选择题共90分)
⼆．填空题(本⼤题共有4⼩题,每⼩题4分,共16分．把答案直接填在答题卷指定的横线上．)
13.抛物线28y x =上到焦点F 的距离等于6的点的坐标是▲．
14.在边长为1的正⽅体内部有⼀个与正⽅体各⾯均相切的球, ⼀动点在正⽅体内运动,
则此点落在球的内部的概率为▲．
函数f (x )＝x 3
＋ax －2在区间[1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是▲．
16.下列五个命题:
①“a 2>”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件; ②函数3
1()x 13
f x x =-++有两个零点;
③集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各任意取⼀个数,则这两数之和等于4的概率是
3
1；④动圆C 既与定圆22(2)4x y -+=相外切,⼜与y 轴相切,则圆⼼C 的轨迹⽅程是
28(0)y x x =≠;
⑤若对任意的正数x ，不等式x
e x a ≥+恒成⽴，则实数a 的取值范围是1a ≤. 其中正确的命题序号是▲．
三．解答题(本⼤题共6⼩题,共74分．解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤．)
17.(本⼩题满分12分)
已知命题p ：对任意实数x 都有2
0x ax a ++>恒成⽴；命题q ：关于x 的⽅程02=+-a x x 有实数根；
如果“p 或q”为真命题,“p 且q”为假命题,求实数a 的取值范围.
18. (本⼩题满分12分)
点P(x,y)与定点F （）
的距离和它到直线:l x = (Ⅰ)求点P 的轨迹⽅程;
(Ⅱ)若直线m 与P 的轨迹交于不同的两点B 、C ，当线段BC 的中点为M(4,2)时，求直线m 的⽅程.
19.为了了解“中国好声⾳”在⼤众中的熟知度，随机对15～65岁的⼈群抽样了n ⼈有关回答问题,统计结果如下图表．
(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的⼈中⽤分层抽样
的⽅法抽取6⼈，再从这6⼈中随机抽取2⼈，
求所抽取的⼈中恰好没有第3组⼈的概率.
20.(本⼩题满分12分)
设函数f (x )＝x 3
3
－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R.
(Ⅰ)若函数f (x )在x ＝3处取得极⼩值1
2
，求a ，b 的值；
(Ⅱ)求函数f (x )的单调递增区间；
21. (本⼩题满分12分)
以椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的中⼼O
的“伴随”.已知椭圆的离⼼率为2
3
, 抛物线28x y =的准线过此椭圆的⼀个顶点．
(Ⅰ) 求椭圆C 及其“伴随”的⽅程;
(Ⅱ)斜率为1的直线m 经过抛物线2
8x y =的焦点F,且与抛物线交于M,N 两点,
求线段MN 的长度;
(Ⅲ) 过点()0,P m 作“伴随”的切线l
交椭圆C 于A , B 两点，若2
=5
OA OB ?uu r uu u r ，
求切线l 的⽅程。

22. (本⼩题满分12分) 已知函数.32)(2
(Ⅰ)求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线⽅程； (Ⅱ)求证：函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯⼀极值点； (Ⅲ)当,1)3(2 5
)(,212恒成⽴的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取值范围.
17 题图
成都市六校协作体⾼2013级第四学期期中试题
⽂科数学参考答案
⼀.选择题
1.D
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
7.C
8.B
9.D 10.C 11.B 12.C ⼆．填空题
13.4±（， 14. 6
π
15.[)3,-+∞ 16. ①③⑤三．解答题
17. 解：对任意实数x 都有2
0x ax a ++>恒成⽴ ??<004a ?<<
命题p :04a ?<< ………………………………………………2分关于x 的⽅程02=+-a x x 有实数根??≥04
1
041≤?≥-?a a ；命题q :14
a ?≤
……………………………………4分
∵“p 或q”为真命题,“p 且q”为假命题, ∴p 与q ⼀真⼀假. ……………………………………6分
如果p 正确，且q 不正确04
141
44
a a a <
<； ……………8分
a a a a ≤≥??
≤?≤或 …………10分所以实数a 的取值范围为(]1,0,44??
-∞
……………………………………12分
18. 解:(Ⅰ)动点(,)P x y
=,
化简得
22
1369
x y += …………………………………………6分
(Ⅱ)法⼀：由题意可设直线l 的⽅程为y －2＝k(x －4)，
⽽椭圆的⽅程可以化为x 2＋4y 2
－36＝0. 将直线⽅程代⼊椭圆的⽅程有 (4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2
－36＝0.（*）
∴x 1＋x 2＝
28(42)
841
k k k -=+，∴k ＝－12.
k ＝－代⼊⽅程（*），经检验0?> ∴直线l 的⽅程为y －2＝－1
2
(x －4)，
即x ＋2y －8＝0. …………………………………………12分本题也可⽤点差法，但要注意检验的过程。

若未检验，酌情扣分。

19.解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总⼈数为2536
.09
=，再结合频率分布直⽅图可知n=
10010
025.025
=?,
∴ a=100×0.01×10×0.5=5， b=100×0.03×10×0.9=27，
2.015
==
==
y x ……………………………4分
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的⼈数共有54⼈，
所以利⽤分层抽样在54⼈中抽取6⼈，每组分别抽取的⼈数为：第2组：2654
18
=?⼈；第3组：
365427=?⼈；第4组：1654
9
=?⼈…………………………………………8分设第2组2⼈为：A 1，A 2；第3组3⼈为：B 1，B 2，B 3；第4组1⼈为：C 1.
则从6⼈中随机抽取2⼈的所有可能的结果为：(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 1,C 1)， (A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(A 2,C 1)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 1,C 1)，(B 2,B 3)，(B 2,C 1)，(B 3,C 1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组⼈共3个基本事件， ………………………10分∴所抽取的⼈中恰好没有第3组⼈的概率是：5
1
153==
P . ……………………12分
20.解：(Ⅰ)因为f ′(x)＝x 2
－2(a ＋1)x ＋4a ，
所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝3
2
.
由f(3)＝1
2
，解得b ＝－4. ……………………………………6分
(Ⅱ)因为f ′(x)＝x 2
－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a)(x －2)，令f ′(x)＝0，得x ＝2a 或x ＝2.
当a>1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)；当a ＝1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(2，＋∞)．………………12分
21.解: (Ⅰ)椭圆C
的离⼼率为
2
, 则2a b =, 设椭圆C 的⽅程为22
抛物线28x y =的准线⽅程为2y =-，它与y 轴的交点(0,2)-是椭圆的⼀个顶点故2=a ，∴1=b ，………………………………………………………….2分∴椭圆C 的标准⽅程为2
214
y x +=，椭圆C 的“伴随”⽅程为221x y +=. ………………………………………3分
(Ⅱ)设M(x 3,y 3) ,N(x 4,y 4)
得， y 2
-12y+4=0
则x 3+x 4=8 ，∴y 3+y 4=12
|MN|=
∴y 3+y 4+p=16 ……………………………………6分 (Ⅲ) 由题意知，1||≥m .
易知切线l 的斜率存在,设切线l 的⽅程为,y kx m =+
由22
,14
y kx m y x =++=??得
222(4)240k x k mx m +++-= …………………………………………7分设A , B 两点的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y , 则12224km
x x k +=-+, 212244
m x x k -?=+.………………………………………8分
⼜由l 与圆221x y +=相切,
1=,
221k m =-.………………………………………………………………9分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ?=++=? +++
2222
2
222
424()444m km m k k km m k k k --??=?+-+= ?+++??
⼜22
1m k -=，故12244
y y k ?=+
于是2
121224
m x x y y k ?+=+，⽽25OA OB ?=
故22
k k +=+，解得211k k =?=±
，22,m m ==………………11分
因此，所求切线的⽅程是y x y x ==-
y x y x ==-……………………………………………………12分
22（⽂）解：（Ⅰ）()()11,34+='-+='e f x e x f x 则⼜()11-=e f ，
()()()1,1f x f y 在点曲线=∴处的切线⽅程为：
()()()021,111=--+-+=+-y x e x e e y 即………………………4分
（Ⅱ）()()00320,110f e f e ''=-=-<=+> ，()()010,f f ''∴?<⽉分令()()34-+='=x e x f x h x ，则()()[]40,0,1x h x e x f x ''=+>∴在上单调递增，
()[]10，在x f '∴上存在唯⼀零点，()[]1,0在x f ∴上存在唯⼀的极值点………8分
（Ⅲ）由()()()132
5
321325222+-+≥-++-+≥
x a x x x e x a x x f x 得，即2
1
,1212≥--≤x x e ax x
，x
x e a x 1212
--
≤∴， ………………10分
令()()()2221211,121x
x x e x g x x e x g x x +--='--
=
则，令()()()()
1,12
112
-='+-
-=x x
e x x x x e x ??则， ()()11,0,22x x x φφ??'≥∴>∴+∞
)17028x φφ??∴≥=> ， …………………………………12分
因此()()10,,2g x g x ??
'>+∞
故在上单调递增，
则()4922
11
81212
1-=--=??
≥e e g x g ，
a ∴的取值范围是4
9
2-≤e a ……………………………………14分。