北师版数学初一升初二暑假衔接教材

第一讲、三角形总复习
基础知识
1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；
2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；
3. 全等三角形的性质与判定；
4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；
5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

例题精讲
一、三角形内角和定理的应用
【例1】如图1，已知∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，E 是AD 上一点。

求证：∠>∠B E D C
二、三角形三边关系的应用
【例2】已知：如图，在∆A B C
中，AB>AC ，AM 是BC 边的中线。

求证：()A M A B A C >-1
2。

三、角平分线定理的应用
【例3】如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。

求证：AM 平分DAB 。

四、全等三角形的应用
1、构造全等三角形解决问题
【例4】已知如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为
120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。

求证：∆A M N的周长等于2。

2、“全等三角形”在综合题中的应用
【例5】如图，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。

点B在AE的延长线上，点D在AF上。

若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。

求AC的长。

五、中考点拨
【例6】如图，在∆A B C中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为【】
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
六、题型展示
【例7】已知：如图，∆A B C 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =
1
2。

求证：BD 平分∠ABC
【例8】某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。

如图7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件PB ＝AB 的一棵树P ，现要在花坛内装一喷水管D ，点D 的位置必须满足条件AD ＝BD ，∠DBP ＝DBC ，才能使花坛内全部位置及树P 均能得到水管D 的喷水，问∠BPD 为多少度时，才能达到上述要求？
课堂练习
1、填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm ，则这个等腰三角形底边的长为____________。

2、在锐角∆A B C 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝__________。

3、 如图所示，D 是∆A B C 的∠ACB 的外角平分线与BA 的延长线的交点。

试比较∠BAC 与∠B 的大
小关系。

4、如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，M 是AC 中点，AE ⊥BM 。

求证：∠AMB ＝∠CMD
5、设三个正数a 、b 、c 满足(
)(
)
abc
abc 22
2
2444
2++>++，求证：a 、b 、c 一定是某个三角形三边的长。

6、如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到正方形D C B A '''（此时，点B '落在对角线AC 上，点A '落在CD 的延长线上），B A ''交AD 于点E ，连接A A '、CE ． 求证：（1）△ADA ′≌△CDE ；（2）直线CE 是线段A A '的垂直平分线．
第二讲、如何做几何证明题
基础知识
1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

例题精讲
一、证明线段相等或角相等
【例1】已知：如图所示，∆A B C 中，
90=∠C ，AC=BC ，AD=BD ，AE=CF 。

求证：DE ＝DF 。

【例2】已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠F 。

二、证明直线平行或垂直
【例3】如图所示，设BP 、CQ 是∆A B C 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。

求证：KH ∥BC 。

【例4】已知：如图所示，AB ＝AC ，∠，，A A E B F B D D C
=︒==90。

求证：FD ⊥ED 。

三、证明一线段和的问题
1、在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

【例5】已知：如图所示在∆A B C 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

求
证：AC ＝AE ＋CD 。

2、延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。

【例6】已知：如图所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒E A F 45。

求证：EF ＝BE ＋DF
四、中考题：
【例7】如图所示，已知∆A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。

求证：EC ＝ED 。

五、证明几何不等式：
【例8】已知：如图9所示，∠=∠>12，A B A C 。

求证：B DD C
>
课堂练习
1、已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒
C 90，
D 是AB 上一点，D
E ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有A C A D C E
==。

求证：DE CD =1
2。

2、 已知：如图所示，在∆A B C 中，∠=∠A B
2，CD 是∠C 的平分线。

求证：BC ＝AC ＋AD 。

3、已知：如图所示，过∆A B C 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。

设M 为BC 的中点。

求证：MP ＝MQ
4、∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，求证：()A D A B A C B C <++1
4
第三讲 平方根
基础知识
1、平方根概念：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2
，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。

2、算术平方根概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2
，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。

4、开平方与平方的关系：互为逆运算。

5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。

6、形如()()
⎩⎨
⎧<-≥==002
a a a a a a 7、（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：
①特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； ②开方开不尽的数，如:39,5,2等；
③特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

注意：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π
（2） 有理数与无理数的区别：
①有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
②所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

（3）无理数+有理数=无理数；无理数+无理数=无理数（有理数）；有理数+有理数=有理数； 有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定是无理数。

例题精讲
【例1】求下列各数的算术平方根、平方根。

①
259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。

【例2】求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④25
63； ⑤81；
【例3】填空：
（1）2
3= ； （2）()231-= ； （5）210= ； （6）()2101-= ；
（9）对于任意数x ，
2x = ；
【例4】求适合下列各式中未知数的值：
（1）()0064252
<=-x x （2）()4912
=+x
（3）()()3
2
52100-=--x
（4）13=x
【例5】已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。

【变式练习】x 为何值时，x x +-1有意义。

【例6】已知()02132
=++-+-z y x ，求xyz 的值。

【例7】已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。

【例8】小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为2
32m ，他要用50块正方形的花岗岩。

请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？
【例9】下列各数：①3.141、②0.33333……、③
75-、④π、⑤252.±、⑥3
2-
、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2），
其中是有理数的有 ；是无理数的有 。

（填序号） 【变式练习】有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 【 】个 A 2 B 3 C 4 D 5
课堂练习
1、下列各式中，正确的是【 】 A ．525±= B ．()332
-=- C ．636±=± D ．12-a 一定有平方根
2、平方根是±
3
1
的数是【 】 A ．±
91 B ．91 C ．±31 D ．
3
1
3、在实数中Л,－2
5 ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有【 】
A 1 个
B 2个
C 3个
D 4个 4、下列说法正确是【 】
A 有理数都是实数
B 实数都是有理数
C 带根号的数都是无理数
D 无理数都是开方开不尽的数 5、对于14-x ，当x 时，它有意义？ 6、x 为 时，22-+
-x x 有意义。

7、当一个数a 的值为 时（填入一个合适的数），它有两个平方根，平方根是 。

8、一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是 。

9、求下列各式的值：
（1）251600+； （2）25
1169254100+-⨯
；
10、解下列方程:
（1）025642
=-x （2）()()3243--=--x （3）()16942
=-x
11、若02510=-++-y x x ，求xy y x -+的值。

12、若041=-+
-xy x ，求y x +的值。

13、（提高题）观察下列等式：回答问题： ①2111111112111122=+-+=++ ②6111212113
12112
2=+-+=++ ③121
11313114
13112
2=+-+=++
，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想2
25
1
411++
的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。

14、若3，ｍ，5为三角形三边，化简：()()2282---m m
第四讲 立方根
基础知识
1、立方根的定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3
，那么这个数x 就叫 做a 的立方根。

2、性质：正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。

3、立方根的表示方法：
每个数a 都只有一个立方根（立方根的唯一性），记为“3a ”，读作“三次根号a ”。

4、开立方与立方的关系：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，其中a 叫做被开方数。

开立方与立方互为逆运算。

5、开立方和小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位。

6、n 次方根的定义：如果一个数的n 次方等于a ，这个数叫做a 的n 次方根。

7、n 次方根的性质：
（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根； （2）任何数a 的奇次方根只有一个，且与a 同正负。

例题精讲
【例1】下列各数有立方根吗？若有，请你把它求出来； （1）-27 （2）64
125
（3）0 （4）64
（5）-1 （6）-125 （7）3
4- （8）()3
5--
【例2】求下列各式的值： （1）36427-- （2）327
191- （3）()328- （4）()62
5132-+-
【例3】求满足下列各式的未知数x ：
（1）01253
=+x （2）27
17
133
=-x
（3）()64
63113
-
=-x （4）()375433
-=-x
【例4】已知()532,
8132
=-=-n n
x ，求x 的值。

【例5】已知2
1(23)3a b a b x +-++-=
-⨯3x -,求3x b a +的值。

课堂练习
1、若443=+a ，那么()3
65-a 的值是【 】
A 、64
B 、-1
C 、-125
D 、125
2、若3318
7
2-=-a ，则a 的值是【 】 A 、8
1-
B 、161
C 、16
1-
D 、
8
1
3、某数的立方根等于它本身，则这个数是 。

4、一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 。

5、()3
4--的平方根是 ，()3
4--的立方根是 。

6、求下列各式的值： （1）256273+-（2）3064.0--
7、求下列各式中的x 的值： （1）()125
124
113
-
=-x （2）01253
=-x
（3）0125643
=-x
（4）()3432273
=-x
8、已知491442
=x ，且083=+y ，求y x +的值。

9、希望中学欲在教学楼顶上建一个正方体的水池，其体积为643
m ，打算由一名建筑工人独立完成，已知该建筑工人一天可垒1米高，一天的工资为40元，问垒完水池后希望中学应付给建筑工人多少钱？
第五讲 实数的运算
基础知识
1、二次根式的基本性质（式子()0≥a a 叫做二次根式）
（1） ()
()()⎪⎩
⎪
⎨⎧⎩⎨⎧<-≥===002
2a a a a a a a a a 对于任意实数，则，有对于非负数二次根式的基本性质
（2）若a>b>0，则b a >。

2、最简二次根式：要满足下列条件的根式是最简二次根式：
（1）被开方数的每一个因式的指数是1。

（2）被开方数不含有分母。

3、根式运算法则
（1）()()0≥±=±a a n m a n a m ；（2）()00*≥≥=
，b a b a ab ；
（3）()00≥≥=
，b a b
a b a ； （4）3
33ab b a =⨯，333
b a b a =； （5）
()
()0≥=a a a n n
；
4、有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

5、有理化的因式确定方法：
①单项二次根式：利用a ·a =a 来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因数。

②两项二次根式：利用平方差公式（a+b ）(a-b)来确定。

如：a+b 与a-b ,a -b ,a x +b y
与a x -b
y 分别互为有理化因式。

5．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果都乘以最简二次根式的有理式。

4、复合二次根式2b a ±的化简：
设法找到两个正数x ，y （x>y ），使x ＋y=a ，x ·y=b ，则(
)
y x y
x b a ±=±=
±2
2。

5、非负数的三种形式：绝对值a 、平方项2
a 、算术平方根()0≥a a 。

例题精讲
【例1】计算：（1）273
11⨯ （2）33
1
3÷⨯
（3）331258-⨯ （4）33827-÷
【例2】比较大小(填“>”或“<”).
2 5 38 327
3 10
3- 320 76______67
2
1
5- 21
【变式练习】①5667--与 ②3835-+与
【例3】1、已知29的整数部分为a ，小数部分为b ，求2
2
b a -的值。

2、把下列无限循环小数化成分数：①∙
6.0，②∙∙32.0，③∙
∙701.0
【例4】化简下列各式
（1）
3710+ （2）761+ （3）1
32
+ （4）233- （5）
23322- （6）y
x y
x +- （7）y x xy y x --+2
【例5】化简：（1）18211+ （2）24210-
课堂练习
1、0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，3
－8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，0的绝对值是 ， 2 － 3 的倒数是 。

2、－3
3 ,л, (1－ 2 )º,－227 ,0．1313…,2cos60º, －3－1 ,1．101001000… (两1之间依次多一个0),
中无理数有 ，整数有 ，负数有 。

3、若实数x ，y 满足等式（x ＋3）2＋｜4－y ｜＝0，则x ＋y 的值是 。

4、化简
3113-+-的结果是 。

5、代数式ａ｜ａ｜ ＋ｂ｜ｂ｜ ＋ａｂ
｜ａｂ｜ 的所有可能的值有【 】
A 2个
B 3个
C 4个
D 无数个 6、
3
21-的整数部分是【 】
A 1
B 2
C 3
D 4 7、化简1528-得【 】 A 53- B 5-5 C 35- D 53-
8、计算：
①3528÷； ②6132⨯ ③5433
1
12785∙∙-
④351351++- ⑤3
52
523231++-+-
⑥++++++3
41
231121……9101++
9、计算()()2010
1
121314.3--⎪⎭
⎫ ⎝⎛+----
π
10、设1
515-+的整数部分为x ，小数部分为y ，试求2
221y xy x ++
11、已知的值，求11131231
2
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x x
12、已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且()09222
=-+-a b a ，求它的周长。

第六讲 实数的综合运算
基础知识
二次根式运算法则：
①()n n m a n n m +=+（a ≥0）; ②b a ab ∙=（a ≥0;b ≥0） ③b
a b
a =（a ≥0,
b ﹥0）
④()
n n
a a （a ≥0）
⑤
a a 4
=（a ≥0）
例题精讲
【例1】计算
2731252421085+-+
(
)
847327428+⨯-+
(
)
22462-⨯
2
1431375518132+-+-
(
)(
)12581845--
+； ()
2
2335-
【例2】计算 ①(
)(
)
2362
36-+++ ②
5
62
626++∙
-
③()
625231
2
+∙⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ ④()()
2
2
5665
5
665+--
⑤()()35233523-+ ⑥()(
)(
)(
)
2
22231213121--++
⑦(
)(
)
5
33
25322++++ ⑧
(
)(
)
2
33
623346++++
【例3】已知x=2+323-=y ,，求下列各式的值。

①x
y
y x +； ②22y x -； ③222y xy x ++
【例4】求下列各式的整式部分和分数部分。

①
(
)
2
15+ ②()()
23122+-
【例5】 若a 、b 、c 是△ABC 的三边， 化简()()()()22
2
2
b a
c a c b c b a c b a --+
--+
--+
++
课堂练习
1、计算 ①832
1
30162+-； ②27316321- ③14772
48432823+-； ④2
2585-
⑤3113122+ ⑥483
2
315-+ ⑦()5403102
15∙+-； ⑧
(
)(
)
2
2
151
5+-
⑨
()
2762321+-； ⑩()()
2
2
321
3
21-+
+
2、计算： ①b
b b b b 154381252
--； ②()
ab ab ab b a ÷+
33
③x
y
y x y x
x y -+++2（x ﹥0,y ﹥0） ④+++
++
+4
313
212
11 (1999)
20001++
3、已知a+b=-6,ab=5,求
a
b
b a +
的值。

4、有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm 。

第四讲 勾股定理
基础知识
1、直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，其中夹直角的两边叫做直角边，另一条边叫做斜边。

2、勾股定理：如果直角三角新的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。

定理变式：（1）22b a c +=
（2）222b c a -= （3）22b c a -=
（4）2
22a c b -= （5）22a c b -=
3、逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）勾股定理的逆定理可作为判定三角形是直角三角形的判定方法。

（2）勾股定理与逆定理的联系与区别在于：
①联系：两者都与三角形的三边有关且都包含等式2
22c b a =+；
②区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”作为条件得到2
22c b a =+，而逆定理
是以“一个三角形的三边a 、b 、c 满足2
22c b a =+”作为条件得到这个三角形是直角三
角形，可见二者的条件和结论正好相反。

4、在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足2
22c b a =+的三个正整数，称为勾股数，显然以c b a 、、为三边的三角形一定是直角三角形。

常
见的勾股数为：
①3、4、5； ②5、12、13； ③8、15、17； ④7、24、25； ⑤10、24、26； ⑥9、40、41
例题精讲
【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b ；(2)已知a=40，b=9，求c ；(3)已知c=25，b=15，求a 。

【变式练习】
1、如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形的面积分别为36和64，则正方形A 的面积是【 】
A 800
B 810
C 625
D 500
2、如图，
90=∠=∠ACD B ，AD=13，DC=12，BC=3，则AB 的长？
【例2】如图，将长方形的一边AD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

【变式练习】
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=30cm ，BC=40cm ，现将直角三角形AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求DEB ∆的面积。

【例3】如图，已知：在
中，
，
，
. 求：BC 的长。

【变式练习】
1、如图，已知
90=∠C ，AM=CM ，AB MP ⊥于P ，求证：2
2
2
BC AP BP +=。

2、已知：如图，
60,90=∠=∠=∠A D B ，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

【例4】图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了到达
B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地
C 点。

（1）求A 、C 两点之间的距离；（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向。

【变式练习】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为15千米，早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以54千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲，乙两人相距多远？还能保持联系吗？
【例4】如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 到点C 的距离为5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？
【变式练习】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程。

【例5】作长为532、、的线段。

【变式练习】在数轴上表示10的点
【例6】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。

【变式练习】
1、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

2、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角
3、如图正方形ABCD ，E 为BC 中点，F 为AB 上一点，且BF=4
1
AB 。

请问FE 与DE 是否垂直?请说明。

课堂练习
1、在ABC Rt ∆中，
90=∠C
（1）若===c b a ，则，125 ； （2）若===a b c ，则，1517 ；
（3）c c a ，则斜边，159==上的高为 。

2、下列各组数中，能构成直角三角形的是【 】
A ：4，5，6
B ：1，1，2
C ：6，8，11
D ：5，12，23 3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为【 】
A ：26
B ：18
C ：20
D ：21
4、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足
()010862
=-+-+-c b a ，则三角形的
形状是【 】
A 底与边不相等的等腰三角形
B 等边三角形
C 钝角三角形
D 直角三角形 5、三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是【 】
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
6、三角形的三边长c b a 、、满足()ab c b a 22
2
=-+，则此三角形是【 】
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
7、如图，五根小木棒，其长分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是【 】
8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于【 】
A.2cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
第8题 第9题
9、如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm ，高为18cm ，则一只小虫底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）【 】
A.20cm
B.30cm
C.40cm
D.50cm 10、如图，在ABC Rt ∆中，
90=∠ACB ,CD 是AB 边上的高，
如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=13cm ，BC=12cm ，AC=5cm ．求： （1）△ABC 的面积； （2）CD 的长；
（3）作出△ABC 的边AC 上的中线BE ，并求出△ABE 的面积；
（4）作出△BCD 的边BC 边上的高DF ，当BD=11cm 时，试求出DF 的长．
11、如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB 凿通？
12、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。

(1)求DC的长。

(2)求AB的长。

13、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•
为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•
第八讲平面直角坐标系
基础知识
1、在平面上确定物体位置的两种常用方法
a和，其中a表示，b表示。

（1）经纬定位法：用两个数据b
a和，其中a表示，m表示。

（2）“方位角+距离”表示法：用两个数据m
2、平面直角坐标系的构成
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴叫做x轴或横轴，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，两条数轴的交点称为直角坐标系的原点。

两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限。

3、点的坐标表示
在平面直角坐标系中，要想表示一个“点的位置”，就要用它的“坐标”来表示。

对于平面内任
a、分别叫做意一点P，如图所示，过点分别向x轴，y轴作垂线，垂足在x轴，y轴上对应的实数b
a、叫做点P的坐标。

点P的横坐标、纵坐标，有序实数对()b
4、点的坐标及特点
（1）平面内的点与有序实数对是一一对应的；
（2）第一象限内点的坐标符号为，第二象限内点的坐标符号为，第三象限内点的坐标符号为，第四象限内点的坐标符号为。

5、几种特殊点的坐标
（1）x 轴上的点的纵坐标为0，y 轴上的点的横坐标为0；
（2）平行于x 轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上任意两点的横坐标相同。

（3）第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

6、建立坐标的方法
（1）选择特殊点作为坐标原点（平行四边形的中心、顶点，三角形的顶点，等腰三角形底边上的中点等）； （2）选择特殊的边（或线段）所在直线作为坐标轴（如三角形或四边形的边，等腰三角形的底边等）。

例题精讲
【例1】某人站在A 点，下面他不能确定B 点的位置的情况是【 】 A B 点距离A 点30米
B B 点距离A 点30米，且在A 点北偏西30渡方向上
C B 点在A 点向东30米，再向南20米的位置
D B 点在A 点正南方向上，且AB=40米
【变式练习】如图，在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000米的C 地，先沿北偏东70°方向到达B 地，然后再沿北偏西20°方向走了500米到达目的地C ，此时小霞在营地A 的【 】
A 北偏东20°方向上
B 北偏东30°方向上
C 北偏东40°方向上
D 北偏西30°方向上
【例2】点P 在x 轴上对应的实数是3，则点P 的坐标是 ，若点Q 在y 轴上 对应的
实数是3
1
，则点Q 的坐标是 。

【变式练习】若点()12-+m m P ，在y 轴上,则点P 的坐标是 ；若点()12-+m m P ，在x 轴上,则点P 的坐标是 ；
【例3】（1）已知0<<b a ，则点()b b a A ，-在第 象限。

（2）已知点()1+y x P ，在第二象限，则点()322++-y x Q ，
早第 象限。

【变式练习】（1）在平面直角坐标系中，点()4,2-所在的象限是 。

（2）若0>a ，则点()2,a P -应在第 象限内。

坐标轴上
点P （x ，y ） 连线平行于 坐标轴的点 点P （x ，y ）在各象限
的坐标特点
象限角平分线上
的点
X 轴
Y 轴
原点 平行X 轴
平行Y 轴
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、 三象限 第二、四象限
(x,0) (0,y)
(0,0)
纵坐标相同横坐标不同 横坐标相同纵坐标不同 x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0
y ＜0
(m,m) (m,-m)
【例4】（1）若点()3,5--a a 在第一、三象限角平分线上，则=a 。

（2）平面直角坐标系中有一点()0,=ab b a A ，若，则点A 的位置在 。

（3）已知点()1,1+-a a A 在x 轴上，则a 等于 。

（4）点()()3,,4-x B y A 和点，多A 、B 两点的直线平行x 轴，且5=AB ,则x = ，
y = 。

【变式练习】
1、已知点M 在y 轴上，点()2,3-P ，若线段MP 的长为5，则点M 的坐标为 。

2、如图，正方形ABCD 以（0,0）为中心，边长为4，求各顶点的坐标。

课堂练习
1、平面内点的坐标是【 】
A 一个点
B 一个图形
C 一个数
D 一个有序数对
2、点()921
--a a P ，在x 轴负半轴上，则P 点坐标是 。

3、如果00<<-ab b a 且，那么点()b a ，在【 】
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限,
D 、第四象限. 4、如果
x
y
＜0，那么点()y x P ，在【 】 (A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限 5、x 轴上的点P 到y 轴的距离为2.5，则点Ｐ的坐标为【 】
Ａ ()05.2，
B ()05.2，-
C ()5.20，
D ()()05.205.2，或，- 6、已知点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，则M 点的坐标为【 】
A ()23，
B ()23--，
C ()23-，
D ()()()()32323232----，、，、，、， 7、如图，已知校门的坐标是（1，1），那么下列对于实验楼位置的叙述
正确的个数为【 】
①实验楼的坐标是3； ②实验楼的坐标是（3，3）； ③实验楼的坐标为（4，4）； •
④实验楼在校门的东北方向上，距校门2002米。

A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
8、在以下四点中，哪一点与点（-3，4）的连结线段与x 轴和y 轴都不相交【 】
A ()32，
- B ()32-， C ()32， D ()32--， 9、过点()32-，
A 且垂直于y 轴的直线交y 轴于点
B ，则点B 坐标为【 】 A ()20，
B ()02，
C ()30-，
D ()03，- 10、如果直线AB 平行于y 轴，则点A ，B 的坐标之间的关系是【 】
A 横坐标相等
B 纵坐标相等
C 横坐标的绝对值相等
D 纵坐标的绝对值相等 11、平面直角坐标系内有一点A （a ，b ），若ab=0，则点A 的位置在【 】 A 原点 B x 轴上 C y 轴上 D 坐标轴上 12、若点()m m P ，-1在第二象限，则下列关系正确的是【 】 A 10<<m B 0<m C 0>m D 1>m
13、已知点()x x P --3102，
在第三象限，则x 的取值范围是【 】 A 53<<x B 53≤≤x C 35<>x x 或 D 35≤≥x x 或
14、点()43-，
A 到y 轴的距离为______，•到x 轴的距离为______，•到原点距离为_______。

15、已知点()2-，
m A ，点()13-m B ，，且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 。

16、点()y x P ，在第四象限，且23==y x ，，则P 点的坐标是 。

17、点 A 在第二象限 ，它到 x 轴 、y 轴的距离分别是
3 、2，则坐标是 。

18、若点()y x P ，的坐标满足0>xy ，则点Ｐ在第 象限；
若点()y x P ，的坐标满足0<xy ，且在x 轴上方，则点Ｐ在第 象限；
若点()b a P ，在第三象限，则点()1+--b a P ，
在第 象限。

19、直角坐标系中，正三角形的一个顶点的坐标是()
30，，另两个顶点B 、C 都在x 轴上，求B ，C 的坐标.
20、已知等边ABC ∆的两个顶点坐标为()()02,04，，B A -。

求（1）点C 的坐标；（2）ABC ∆的面积。

第九讲 轴对称与坐标变化
基础知识
1、点的对称
（1）关于x 轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
即
()()b a b a x -−−−−→−，，轴对称
关于 （2）关于y 轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
即()()b a b a y ，，轴对称
关于
-−−−−→− （3）关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数，
即()()b a b a --−−−−→−，，关于原点对称
2、图形的对称
（1）横坐标不变，纵坐标乘以1-，所得图形与原图形关于x 轴对称； （2）纵坐标不变，横坐标乘以1-，所得图形与原图形关于y 轴对称 3、点P(x ，y)到两坐标轴的距离
（1）点P(x ，y )到x 轴和y 轴的距离分别是|y |和|x |。

（2）点P(x ，y )到坐标原点的距离为2
2
x y +。

（由勾股定理可证）
例题精讲
【例1】
（1）点()2,1P 关于y 轴对称点的坐标是 ，已知点A 和点()b a B -,关于y 轴对称，求点A 关于原点对称点C 的坐标 。

（2）已知点()()52,42,2,13+---b a B b a A 。

若A 与B 关于x 轴对称，则=a ，=b ；若A 与B 关于y 轴对称，则=a ，=b ；若A 与B 关于原点对称，则=a ，
=b 。

【变式练习】
1、点()y x P ,在第四象限内，且5,2==y x ，点P 关于原点的对称点的坐标是 。

2、学生甲错将P 点的横坐标与纵坐标的次序颠倒，写成()n m ,，学生乙错将Q 点的坐标写成它关于x 轴对称点的坐标，写成()m n --,，则P 点和Q 点的位置关系是 。

【例2】（1）已知点P 到x 轴和y 轴的距离分别为3和4，则P 点坐标为 。

（2）点()n m P -,与两坐标轴的距离 。

【变式练习】
1、点()4,3--P 到x 轴的距离为 ，到y 轴的距离为 。

2、点P 在第二象限，若该点到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为1，则点P 的坐标是 。

【例3】 将ABC ∆的各顶点的横坐标都乘以1-，则所得三角形与ABC ∆的关系【 】 A 关于x 轴对称 B 关于y 轴对称
C 关于原点对称
D 将三角形ABC 向左平移了一个单位
课堂练习
1、在平面直角坐标系中，点()11，
-P 关于x 轴的对称点在【 】 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2、将ABC ∆的各顶点坐标的纵坐标都乘以1-，横坐标不变，•则所得图形与原图的关系【 】 A 关于x 轴对称 B 关于y 轴对称
C 关于原点对称
D 将原图向x 轴的负方向平移了1个单位
3、如图，在直角坐标系中，OBC ∆的顶点()()BC OC OCB B O ==∠-，且，，，
900600，则点C 关于y 轴对称的点的坐标是【 】
A ()33，
B ()33，-
C ()33--，
D ()
2323，
4、一个平行四边形三个顶点的坐标分别是()()()210200，，，，，
，第四个顶点在x 轴下方，则第四个顶点的坐标为【 】
A ()21--，
B ()21-，
C ()23，
D ()21，- 5、坐标平面上有一轴对称图形，⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2113253，、，
B A 两点在此图形上且互为对称点，若此图形上有一点()92--，
C ，则C 的对称点坐标为【 】。