第三章 光传输与传输介质

第三章 光波的传输
1
3.1光波在各向同性介质中的传播
3.1.1单色平面波的复数表达式
单色平面波是指电场强度E和磁场强度H都以单一频率随时间 作正弦变化（简谐振动）而传播的波。 在任意方向上传播的平面电磁波的复数表达式为：
E ( r , t ) E 0 exp{ i[ k r t ) 0 ]}
3 E x 2 y 2 z 2 E x 2 y 2 z 2 2 E 2 E 3 r r r r r2 r 2 2 E 2 E 2 r r r 1 2 (rE ) 2 r r
12
单色球面波的推导
2 E k 2 E 0
1.39
10
亥姆霍兹方程
Ek E 0
2 2
k 0 0
1.39 1.40
11
单色球面波的推导
2 E 1 E x 2 E x 2 2 E 3 2 2 r r r r r r 2 x 2 E 1 E y 2 E y 2 2 E 3 2 2 y r r r r r r 2 2 E 1 E z 2 E z 2 2 E 3 2 2 2 y r r r r r r
Φ 0= 0
E (r )
E0 ikr e r
3.11
13
单色球面波
E0 E (r , t ) exp[ i (kr t ) 0 ] r
E0 ikr E (r , t ) e r
（3.10）式即为单色球面波的表达式，因为时间因子是可分离变量，且 在讨论空间某一点的光振动时，时间因子总是相同的，所以常常略去不 写。讨论中经常用的是单色球面波的复振幅表达式(3.11)式。 (3.11)式中，E0为一常数，表示在单位半径(r=1)的波面上的振幅。E0/r 表示球面波的振幅，它与传播r 成反比。从能量守恒原理不难理解这一 结果。
同一介质中的平均能流密度
2 I E0
不同介质中的平均能流密度
1 2 I S 0 cnE 0 2
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3.1.2 平面电磁波场中能量的传播
2.光强度
光强与光场的平方成正比,在同种介质中 常简单地表述光强为
I E E E0
2
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个人太阳望远镜
(能观测太阳表面细节的廉价装备)
2.光强度
光波属高频电磁波，其频率为V≈1015Hz数量级，即 其振动的时间周期为T=10-15s数量级。人眼的响应能力最 小可达Δt≈10-1s，感光胶片Δt≈10-8s，而目前最好的光电 探测器的时间响应能力也跟不上。 我们需要了解的是同一波场中不同空间位置的能流 的强弱，则不必考虑瞬时能流值，而只需求能流对时间 的平均值以突出其空间分布。 光强度：即接收器观测到光波在一个比振动周期大得 多的观测时间内的平均能流密度。
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重力探测器B
(以实验来证明爱因斯坦的相对论) 根据爱因斯坦的广义相对论，地球围绕 地轴的自转将导致时间空间的弯曲，这种现 象就好比一条落网的鱼扭动身体会导致渔网 的变形。但是由于地球引起的时间空间的弯 曲是如此轻微，以致没有人能用实验来证实 爱因斯坦的预言。为了证实这一预言是否正 确，在2004年4月，科学家们发射了重力探 测器B—一颗装备了超精确设备的卫星，它 能监测到地球每8.8万年里发生的1度转角的 变化。卫星上装有4只人类制造过的、最灵 敏的陀螺仪，其中的4个石英球体是有史以 来最圆的物体。 /7亿美元/
式中，Φ0为初相位，K 为矢量(简称波矢)，K 的方向即表示波的传播 方向，k 的大小，表示波在介质中的波数。上式中，指数前取正或负是无 关紧要的，按我们的表示法，指数上的正相位代表相位超前，负相位代表 相位落后。矢径r 表示空间各点的位置，如图所示。
2




沿空间任意方向传播的平面波
x p(x,y,z) r α β y γ z k
2


2


若对光强取平均值
1 1 0 r I S v 0 r E E E E 2 2 0 r
24
3.1.2 平面电磁波场中能量的传播
2.光强度
平均能流密度:
1 1 0 r I S v 0 r E E EE 2 2 0 r
ikz
3.8
6
单色平面波复振幅的复数表达式
E E0 exp i k r
E E0 exp ik x x k y y k z z E0 exp ik x cos y cos z cos


E E0 exp( ikz ) E E0 e ikz
8
单色球面波
简谐波是波动方程的解，有两类重要的基本解，即平面波 和球面波。点光源发出的光波可认为是球面波。
球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标系的原点，则 k 与 r 的方向永远相同，E的大小只与半径 r及时间 t 有关， 所以可写成 E = E（r，t），把它代入
1 E E 2 2 c t
1 1 we D E 0 r E 2 2 2
电磁场能量体密度为：
1 1 wm B H 0 r H 2 2 2
1 1 2 2 w we wm E H 2 2
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二、坡印廷矢量
S辐射强度（能流密度）单位时间内，通过垂 直于波的传播方向的单位面积的辐射能。 它表示电磁场的能量的传播，即垂直通过单位 面积的功率。其大小代表电磁波波强，这里指光强 ( intensity of light )。其方向为光能量传播的方向。
3
单色平面波
波峰
E0 -E0 E0
E0 -E0
E0 E0 -E0
k
E0 -E0
k
波谷
4
单色平面波的复数表达式
E ( r , t ) E 0 exp{ i[ k r t ) 0 ]}
时空分离

E ( r , t ) E 0 exp i k r expit E r expit

其中
E ( r ) E 0 exp i k r

5
单色平面波复振幅的复数表达式
令初相位Φ0＝0，上式可写为：
E E0 exp i k r expit k k x ex k y e y k z ez k (cosex cos e y cosez )
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坡印廷矢量的大小，即光在介质中传播的（瞬时光强）为
I S EH wv v 0 r E 2 v0 r H 2
若用复指数形式表示：
1 S v 0 r E v 0 r E (r ) exp(it ) E (r ) exp(it ) 2 1 2 v 0 r E exp(2it ) E 2 (r ) exp(2it ) 2 E E 4
1
波谷
15
3.1.2
平面电磁波场中能量的传播
1 能流密度——坡印廷(Poynting)矢量
2 平均能流密度——光强度
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3.1.2 平面电磁波场中能量的传播
电磁场是一种物质，它具有能量。在一定区 域内电磁场发生变化时，其能量也随着变化。能 量按一定方式分布于场内，由于是运动着的，场 能量也随着场的运动而在空间传播。描述电磁场 能量的两个物理量： 能量密度w表示场内单位体积的能量，是空 间位置x和时间t的函数，w=w (x,t)； 能流密度S描述能量在场内的传播，S在数值 上等于单位时间内垂直流过单位横截面的能量， 其方向代表能量传播的方向。
1 2 rE E r r 2
2
2 rE k 2 rE 0 r 2 E z rE r d 2 E z 2 k E z 0 2 dz Ez, t E0 expikz t
E0 E (r , t ) exp[i (kr t ) 0 ] r
= EH
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坡印廷矢量 ( poynting vector )
E
S=E H
S H
S = EH
ε
E= μ H
在各向同性介质中坡印廷矢量S的方向与 光波矢量 k 的方向（相位传播方向）一致。 但在各向异性介质中，二者的方向不同。
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3.1.2 平面电磁波场中能量的传播
能流密度S和能量密度变化率( w / t )的表示式 :
w D B E H t t t
电矢量E与磁矢量H互相垂直于波矢方向 K，与 (3.21)式比较可知，在各向同性介质中，波矢(波面法 本)方向K与能流方向(光线方向)S是一致的，波速(相速 V)也就是能流速度。
22
S EH
3.1.2 平面电磁波场中能量的传播
3.8
7
单色球面波
平面波只是亥姆霍兹方程是一种最简单的解，对 于二阶线性偏微分方程式，可以分别求出E 和 H 的多 种形式的解。另一种最简单的解或最简单的波是球面 波，即在以波源为中心的球面上有相同的场强，而且 场强变化沿径向传播的波。这种波的场强分布只与离 波源的距离r 和时间t 有关，而与传播方向无关。因此， 当以标量波考虑时，亥姆霍兹方程的球面波解可以写 为如下形式： E=E(r)
2 2
可得
2 1 2 (rE ) 2 2 (rE ) 2 r c t
9
单色球面波的推导
选取波源位于直角坐标源点，则有：
r x2 y2 z2

2E 2E 2E E 2 2 2 x y z
2
E E ( r ) r E x ( ) x r x r r 2E x E 1 E 1 E ( ) x ( ) 2 x x r r r r x r r 1 E 1 E r x ( ) r r r r r x 1 E x 2 1 E 1 2 E ( 2 ) 2 r r r r r r r 1 E x 2 E x 2 2 E 3 2 r r r r r r 2
且 r xex yey zez
E E0 exp ik x x k y y k z z
传播方向与z 方向一致时
E0 exp ik x cos y cos z cos


cos 0 cos 0 cos 1
E E0 exp( ikz ) E E0 e
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3.1.2 平面电磁波场中能量的传播
光强是和电磁场的能流有关的物理量。电磁波的能量守恒 表现为单位时间内流出（入）闭合体积的电磁波能量等于单位 时间内闭合体积内的能量减少（增多）。
一、电磁波的能量密度w
表示场内单位体积的能量，是空间位置x和时间t的函数，w=w (x,t)；
电场能量与磁场能量体密度分别为：

制 造 了 hydrogen-alpha 滤镜的科罗拉多技术公司开发 出了这种便宜的个人太阳望远 镜。尽管通过hydrogen-alpha 滤镜人们能够异常清晰地观测 太阳的表面活动，但是它的售 价也非常昂贵。于是科罗拉多 技术公司利用多重滤镜技术和 经过特殊设计的镜片，制作出 了这种相对便宜的个人太阳望 远镜，用它可以观测到太阳焰 等 丰 富 的 细 节 。 /500 美 元 /
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考虑到：
v=
1 1 2 w we wm E H 2 2 2
，ε E = μ H εμ
1
1 1 1 2 2 S = w v = ( 2 E + 2μ H ) ε εμ 1 = (ε E ε E +μ H μ H ) 2 εμ 1 = (ε E μ H +μ Hε E ) 2 εμ