河南省焦作市2021-2022学年高三第一次模拟考试文科数学试题及答案

绝密★启用前
★焦作市普通高中2021—2022学年高三年级第一次模拟考试★
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}0,1,2A =，{}
22,Z B x x x =-<<∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1
B ．{}1,0-
C ．{}1,0,1,2-
D ．{}0,1,2
2．已知复数z 满足2i 13i z =+，则z 的虚部为（ ） A ．
3
2
B ．
12
C ．12
-
D ．32
-
3．已知命题p ：N*x ∃∈，lg 0x <，q ：R x ∀∈，cos 1x ≤，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∨
4．某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（ ） A ．20
B ．25
C ．40
D ．50
5．设函数()23
x x
f x =+的零点为0x ，则0x ∈（ ） A ．()4,2--
B ．()2,1--
C ．()1,2
D ．()2,4
6．设{}n a 和{}n b 都是等差数列，前n 项和分别为n S 和n T ，若17136a a a ++=，1391112b b b b +++=，则
13
11
S T =（ ） A ．
2633
B ．
23
C ．
1322
D ．
1311
7．椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为坐标原点，若AF ，FO ，
OB 成等比数列，则C 的离心率为（ ）
A
B
C
D
8．已知函数()2lg 1f x a x ⎛⎫
=+
⎪+⎝⎭
是奇函数，则使得()01f x <<的x 的取值范围是（ ）
A ．9,11⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
B ．90,
11⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．9,011⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．99,0,11111⎛⎫⎛⎫
-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9．花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．21-
B ．22-
C ．322-
D ．642-
10．已知函数()()32
,02
a f x x x bx a
b =-++>的一个极值点为1，则22a b 的最大值为（ ） A ．49 B ．94 C ．1681 D ．8116
11．已知数列{}n a 的前n 项和()()11N*2
n
n n n S a n =-+∈，则100S =（ ）
A ．10012-
B ．0
C ．10012
D ．10112
12．如图，在正四面体ABCD 中，E 是棱AC 的中点，F 在棱BD 上，且4BD FD =，则异面直线EF 与AB
所成的角的余弦值为（ ）
A 3
B 2
C ．
12
D ．
13
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量(),1a x =-，()0,5b =，若()
2a a b ⊥+，则x =______．
14．写出一个离心率与双曲线2
2
:13
y C x -=的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______． 15．已知,42ππα⎛⎫∈
⎪⎝⎭，且4cos tan 32παα⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
α=______． 16．已知三棱锥P ABC -的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且32PA =5PB PC ==，则该三棱锥的外接球的表面积为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 某校举办歌唱比赛，A G 七名评委对甲、乙两名选手打分如下表所示：
评委 A
B
C
D
E
F
G
选手甲 91 94 96 92 93 97 95
选手乙
92
95
90
96
94
91
a
（Ⅰ）若甲和乙所得的平均分相等，求a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率； （Ⅲ）若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个a 的值（直接写出结果，不必说明理由）． 18．（12分）
在锐角ABC △中，60B =︒，3AB =，7AC =．
（Ⅰ）求ABC △的面积；
（Ⅱ）延长边BC 到D ，使得4BD BC =，求sin ADB ∠． 19．（12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AD ==，120BAD ∠=︒，平行四边形ABCD 的面积为43，设E 是侧棱PC 上一动点．
（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；
（Ⅱ）当E 是棱PC 的中点时，求点C 到平面ABE 的距离． 20．（12分）
已知函数()()e ln 1x
f x k x =-+，R k ∈．
（Ⅰ）若1
2
x =
是()f x 的极值点，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：当()0,e k ∈时，()0f x >． 21．（12分）
已知抛物线()2
:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线2
2
221y x -=的一个焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）过点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线Γ于A ，C 两点，过A ，C 作l 的垂线分别与y 轴交于B ，D ，
求四边形ABCD 面积的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,
2x t y t =-⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，圆O 的极坐标方程为()2
82cos sin ρρθθ-=+． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆O 的直角坐标方程； （Ⅱ）当,2πθπ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数()()3621R f x x x m m =-++-∈． （Ⅰ）当2m =时，解不等式()12f x >；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()10f x x ++≤无解，求m 的取值范围．
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文科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案 C 命题意图 本题考查集合的表示与运算．
解析
因为{}1,0,1B =-，{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-．
2．答案 C 命题意图 本题考查复数的概念和计算．
解析
由已知得()213i i 13i 3i 31i 2i 2i 222z ++-+====--，所以z 的虚部为1
2
-． 3．答案 B 命题意图 本题考查简单的逻辑联结词以及命题的真假判断．
解析
因为N*x ∀∈，lg 0x ≥，所以命题p 为假命题，p ⌝为真命题．因为R x ∀∈，cos 1x ≤成立，所
以命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题． 4．答案 A 命题意图
本题考查分层抽样的概念和有关计算．
解析 应抽取博士生的人数为
200
180201200400200
⨯=++．
5．答案 B 命题意图 本题考查函数的零点判定定理．
解析
易知()f x 在R 上单调递增．()1440163f -=
-<，()122043f -=-<，()11
1023
f -=->，当0x >时，()0f x >，所以()02,1x ∈--．
6．答案 A 命题意图 本题考查等差数列的性质．
解析
由等差数列的性质可得1713736a a a a ++==，所以72a =；139********b b b b b b +++=+=，所
以63b =．由等差数列的前n 项和公式可得()1137
131********
a a a S +⨯=
==，
()111611*********
b b b T +⨯=
==，因此，131126
33S T =．
7．答案 D 命题意图 本题考查椭圆的性质．
解析
设(),0F c -，则AF a c =-，FO c =，OB a =，根据题意可得()2
a a c c -=，整理可得
210e e +-=
，解得e =
． 8．答案 C 命题意图 本题考查函数的单调性与奇偶性的应用．
解析
令()()0lg 20f a =+=，得1a =-，所以()21lg 1lg 11x f x x x -⎛⎫
=-=
⎪++⎝⎭
，定义域为()1,1-，因为
11x
y x
-=
+在()1,1-上单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，又()00f =，9111f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，所以使得()01f x <<的x 的取值范围是9,011⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
9．答案 D 命题意图 本题考查几何概型的概念与相关计算．
解析
设大圆的半径为R ，则等腰直角三角形的边长分别为2R
，设等腰直角三角形的内切
圆的半径为r
，则
(
)11
222
R r +=
，解得)
1r R =，则阴影部分的面积为
(
)
()
2
2
2122212322S r R R πππ⎡
⎤=⨯=⨯-=-⎣
⎦
，大圆的面积为22S R π=，则该点取自阴影部分的概率
为()
1
2
2322642S P S =
=-=-． 10．答案 D
命题意图 本题考查导数的计算与应用．
解析
对()32
2
a f x x x bx =-+
+求导得()23f x x ax b '=-++，因为函数()f x 的一个极值点为1，所以()130f a b '=-++=，所以3a b +=，又,0a b >，于是得2
2
39
224
a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32a b ==时取“=”，所以ab 的最大值为94，故22a b 的最大值为81
16
． 11．答案 B
命题意图 本题考查数列的递推关系与数列求和．
解析
由题意知10210210212S a =+
，所以10210210110212S a S -==，又10110110112S a =-+，所以1011021
2
a =，故1001011010S S a =-=． 12．答案 C
命题意图 本题考查空间几何体的结构，异面直线所成的角的计算．
解析
设G 为棱AD 上与点D 最近的一个四等分点，连接EG ，FG ，AF ，CF ，则GF AB ∥，所以
异面直线EF 与AB 所成角即为EFG ∠（或其补角）．不妨设正四面体ABCD 的棱长为4，则
1
14
GF AB =
=．在ADF △中，4AD =，1DF =，60ADF ∠=︒，由余弦定理得222411
cos 602412
AF +-︒==⨯⨯，解得13AF =，同理，13CF =．在等腰三角形ACF 中，
()
2
21323EF =
-=．在AEG △中，2AE =，3AG =，60EAG ∠=︒，由余弦定理得cos60︒=
2
2
2
231
2232
EG +-=⨯⨯，解得7EC =．在EFG △中，由余弦定理得()
2
22137
1
cos 213
2
EFG +-
∠=
=
⨯⨯．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案 3±
命题意图
本题考查平面向量的坐标运算．
解析
因为()()()2,120,5,9a b x x +=-+=，且()
2a a b ⊥+，所以()
()()2,1,90a a b x x ⋅+=-⋅=，解
得3x =±． 14．答案 22
143
x y +=（答案不唯一） 命题意图 本题考查双曲线与椭圆的性质．
解析
双曲线22
:13y C x -
=的离心率为1321e +==，则椭圆的离心率为1
2
e '=，所以椭圆的标准方程可以为22
143
x y +=． 15．答案 518
π
命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．
解析
cos 4cos sin cos 2sin 2cos 4cos tan 4cos 32sin sin sin παααααααααααα--⎛⎫
--=-=== ⎪⎝⎭
，所以
2sin 23sin cos 2sin 6παααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，52,
6123πππα⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，则26
π
αα=+或26
π
ααπ++
=，得6
π
α=
（舍去）或518
πα=
． 16．答案 34π
命题意图 本题考查多面体与球的关系以及有关计算．
解析
根据题意，三棱锥P ABC -可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设
长方体交于一个顶点的三条棱长为a ，b ，c ，如图所示，则22218a b PA +==，22225a c PB +==，
22225b c PC +==，解得3a =，3b =，4c =．所以该三棱锥的外接球的半径为
22222233434222a b c R ++++===
，所以该三棱锥的外接球的表面积为
2
23444342S R πππ⎛⎫
==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查平均数与方差的概念与计算，概率的性质．
解析
（Ⅰ）由题意得
()()11
9194969293979592959096949177
a ++++++=++++++， 解得100a =．
（Ⅱ）七名评委中，有C ，F 两名评委对甲的打分高于对乙的打分，所以所求概率为2
7
． （Ⅲ）a 的值可以为93． 18．命题意图 本题考查解三角形，正弦定理和余弦定理的应用．
解析
（Ⅰ）设BC x =．
由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， 整理得2320x x -+=，解得1x =或2x =．
当1x =时，222BC AC AB +<，此时ABC △是钝角三角形，不符合条件．
当2x =时，符合条件，1sin 22
ABC S AB BC B =
⋅=△． （Ⅱ）根据题意48BD BC ==，
由余弦定理得2222cos 49AD AB BD AB BD B =+-⋅=，所以7AD =．
由正弦定理知
sin sin AD AB
B ADB =
∠3sin ADB
=∠，解得sin 14ADB ∠=． 19．命题意图 本题考查空间位置关系的推理与证明，以及点到平面的距离计算．
解析
（Ⅰ）平行四边形ABCD 的面积为4AD =，120BAD ∠=︒，
所以4sin120AB ⨯⨯︒=2AB =．
在ACD △中，由4AD =，2CD =，180********ADC BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
得2222cos60164812AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=+-=，AC =
所以222
12416AC CD AD +=+==，即AC CD ⊥．
因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又PA AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ． 又AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥．
（Ⅱ）当E 是PC 的中点时，AE 是PAC △的中线，
在Rt PAC △中，12AE PC =
== 因为CD AE ⊥，CD AB ∥，所以AB AE ⊥．
设点C 到平面ABE 的距离为h ．
由E ABC C ABE V V --=三棱锥三棱锥，得11111
32232
AB AC PA AB AE h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，
即11
111
24232232
h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯
，解得7h =． 20．命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．
解析
（Ⅰ）由题意得()e x k
f x x
'=-
，0x >， 因为12x =
是()f x
的极值点，所以1202f k ⎛⎫
'== ⎪⎝⎭
，所以2k =．
所以(
)1e f '=-
(
)1e f =-， 所以曲线()y f x =在()()1,1f
处的切线方程为e 2y x ⎛=- ⎝⎭
． （Ⅱ）因为()0,e k ∈，所以11,e k ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭，所以
()e e ln 1ln 1e x x f x x x k k =-->--， 设()e ln 1e x g x x =--，则()e 1
e x g x x
'=-， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()()10g x g ≥=，所以()
0f x k
>，即()0f x >． 21．命题意图 本题考查双曲线和抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系．
解析
（Ⅰ）双曲线方程2
2
221y x -=化为标准方程是
22
11122
y x -=，其焦点坐标为()0,1，()0,1-， 因为抛物线()2
:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线2
2
221y x -=的一个焦点重合， 所以()0,1F ，
12
p
=，2p =，故抛物线Γ的方程为24x y =． （Ⅱ）设直线():10AC y kx k =+≠，代入抛物线方程得2
440x kx --=，
设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，则124x x k +=，124x x ⋅=-，
直线()2111
:4x AB y x x k -=--，所以点2110,4x x B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得2
220,4x x D k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以四边形ABCD 的面积22
1212
121211224
x x x x S BD x x x x k --=⋅-=
+- ()()()2
22
21212811118124k x x x x k k k k
k
++=
+-=+⋅+=，
由抛物线的对称性，只需考虑0k >的情形，则()2
2381182k S k k k
k +⎛
⎫=
=++ ⎪⎝
⎭，
所以()()22
2
22
83111832k k S k k k -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭
，
令0S '=，得k =
0k <<时，0S '<，当k >0S '>，
所以当k =
ABCD ． 22．命题意图 本题考查方程的互化以及有关计算．
解析
（Ⅰ）由,2,x t y t =-⎧⎨=-⎩
得2y x =+，即直线l 的普通方程是20x y -+=．
由()2
82cos sin ρρθθ-=+，代入cos ,sin ,
x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩得22
822x y x y +-=+，
即圆O 的直角坐标方程为2
2
2280x y x y +---=．
（Ⅱ）由222280,20,x y x y x y ⎧+---=⎨-+=⎩
解得2,0,x y =-⎧⎨=⎩或2,
4,x y =⎧⎨=⎩
因为,2πθπ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，所以2,4x y =⎧⎨=⎩舍去，所以2,0,
x y =-⎧⎨=⎩ 故直线l 与圆O 的公共点的极坐标为()2,π． 23．命题意图 本题考查含绝对值不等式的解法以及性质．
解析
（Ⅰ）当2m =时，()12f x >即为3621212x x -++->，
①当1x <-时，不等式可化为()()3621212x x ---+->，解得2x <-；
②当12x -≤≤时，不等式可化为()()3621212x x --++->，解得6x <-，舍去；
③当2x >时，不等式可化为()()3621212x x -++->，解得185x >． 综上，()12f x >的解集为()18,2,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． （Ⅱ）不等式()10f x x ++≤无解，即3631x x m -++≤无解， 所以()min 3631m x x <-++， 因为()()3631363336339x x x x x x -++=-++≥--+=， 所以9m <，即m 的取值范围是(),9-∞．。