高一数学试题答案及解析

高一数学试题答案及解析
1.若△ABC中，∠C=90°，A（1，2，﹣3k），B（﹣2，1，0），C（4，0，﹣2k），则k的值
为（）
A．B．﹣C．2D．±
【答案】D
【解析】先根据向量的运算性质求出与，然后根据∠C=90°得•=0建立等式关系，解之
即可．
解：∵A（1，2，﹣3k），B（﹣2，1，0），C（4，0，﹣2k），
∴=（3，﹣2，k），=（6，﹣1，﹣2k）
∵△ABC中，∠C=90°
∴•=（3，﹣2，k）•（6，﹣1，﹣2k）=18+2﹣2k2=0
解得k=
故选D．
点评：本题主要考查了向量语言表述线线的垂直，解题的关键是空间向量的数量积，属于基础题．
2.（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正
三角形，若P为底面A
1B
1
C
1
的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）
A．B．C．D．【答案】B
【解析】利用三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA
1
为PA与平
面A
1B
1
C
1
所成角，即为∠APA
1
为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA
1
，
再利用正三角形的性质可得A
1P，在Rt△AA
1
P中，利用tan∠APA
1
=即可得出．
解：如图所示，
∵AA
1⊥底面A
1
B
1
C
1
，∴∠APA
1
为PA与平面A
1
B
1
C
1
所成角，
∵平面ABC∥平面A
1B
1
C
1
，∴∠APA
1
为PA与平面ABC所成角．
∵==．
∴V
三棱柱ABC﹣A1B1C1
==，解得．
又P为底面正三角形A
1B
1
C
1
的中心，∴==1，
在Rt△AA
1
P中，，
∴．
故选B．
点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．
3.设与都是直线Ax+By+C=0（AB≠0）的方向向量，则下列关于与的叙述正确的是（）A．=
B．与同向
C．∥
D．与有相同的位置向量
【答案】C
【解析】根据直线的方向向量的定义直接判断即可．
解：根据直线的方向向量定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量．
因此，线Ax+By+C=0（AB≠0）的方向向量都应该是共线的
故选C．
点评：本题考查了直线的方向向量的定义，是基础题．
4.若A（﹣1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）
A．（1，2，3）B．（1，3，2）C．（2，1，3）D．（3，2，1）
【答案】A
【解析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向
量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．
解：由题意可得：直线l的一个方向向量=（2，4，6），
又∵（1，2，3）=（2，4，6），
∴（1，2，3）是直线l的一个方向向量．
故选A．
点评：本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．
5.直线l与x轴、y轴、z轴的正方向所成的夹角分别为α、β、γ，则直线l的方向向量为．【答案】（cosα，cosβ，cosγ）．
【解析】设过原点与直线l平行的直线为直线l′，直线l′取OP=1，P（x，y，z），求出=
（cosα，cosβ，cosγ），即可求出直线l的方向向量．
解：设过原点与直线l平行的直线为直线l′，直线l′取OP=1，P（x，y，z），则
x=cosα，y=cosβ．z=cosγ，
∴=（cosα，cosβ，cosγ），
∴直线l的方向向量为（cosα，cosβ，cosγ），
故答案为：（cosα，cosβ，cosγ）．
点评：本题考查直线l的方向向量，考查学生的计算能力，比较基础．
6.已知一个正四面体的棱长为2，则它的体积为．
【答案】
【解析】求出正四面体的底面面积以及高，即可求解正四面体的体积．
解：一个正四面体的棱长为2，
∴正四面体的底面面积为：=．
正四面体的高：=．
一个正四面体的棱长为2，则它的体积为：=．
故答案为：．
点评：本题考查几何体的体积的求法，求解正四面体的高是解题的关键．
7. 已知等差数列{a n }的前n 次和为s n ，且S 2=10，S 5=55，则过点P （n ，a n ）和Q （n+2，a n+2）（n ∈﹣N *）的直线方向向量的坐标可以是 ． 【答案】（1，4）
【解析】根据等差数列{a n }，可求数列的通项公式，根据斜率公式可知求出直线PQ 的斜率，从而求出一个直线方向向量的坐标．
解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 5=55， ∴a 1+a 2=10，a 3=11， ∴a 1=3，d=4， ∴a n =4n ﹣1 a n+2=4n+7，
∴P （n ，4n ﹣1），Q （n+2，4n+7） ∴直线PQ 的斜率是
=4，
∴过点P （n ，a n ）和Q （n+2，a n+2）（n ∈﹣N *）的直线方向向量的坐标可以是（1，4） 故答案为：（1，4）
点评：本题主要考查了一条直线的方向向量，注意当方向向量横标是1时，纵标就是直线的斜率，属于基础题．
8. 设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为=（﹣1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l 1，l 2所成角的大小为 ． 【答案】
【解析】根据已知中异面直线l 1，l 2的方向向量分别为=（﹣1，1，0），=（1，0，﹣1），代入向量夹角公式，可得答案．
解：设异面直线l 1，l 2所成角的大小为θ，
∵异面直线l 1，l 2的方向向量分别为=（﹣1，1，0），=（1，0，﹣1）， ∴cosθ==
=，
故θ=
，
故答案为：
； 点评：本题考查的知识点是直线的方向向量，异面直线的夹角，其中将直线夹角问题转化为向量夹角是解答的关键．
9. （2011•自贡三模）设x ＞y ＞0＞z ，空间向量=（x ，，3z ），=（x ，+，3z ），且
x 2+9z 2=4y （x ﹣y ），则•的最小值是（ ） A ．2 B ．4
C ．2
D ．5
【答案】B
【解析】先利用空间向量的数量积运算出，的数量积，再将题中条件：“x 2+9z 2=4y （x ﹣y ），”代入运算，最后利用基本不等式即可求得最小值． 解：∵空间向量=（x ，，3z ），=（x ，+，3z ），
∴•=
=4y （x ﹣y ）+
≥2
=4． 则•的最小值是：4 故答案为：B ．
点评：本题主要考查了空间向量的数量积运算，以及基本不等式等知识，解答的关键是适当变形成可以利用基本不等式的形式．属于基础题．
10.已知ABCD为矩形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，G为△PCD的重心，若=x+y+z，则（）
A．x=，y=，z=
B．x=，y=，z=
C．x=﹣，y=，z=
D．x=，y=，z=
【答案】B
【解析】利用三角形的重心性质、向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出．解：，，，，，，
代入可得=++，
∴，，．
故选：B．
点评：本题考查了三角形的重心性质、向量的三角形法则、平行四边形法则，属于基础题．
11.（2004•广州一模）已知向量=（8，x，x），=（x，1，2），其中x＞0．若∥，则x
的值为（）
A．8B．4C．2D．0
【答案】B
【解析】根据两个向量平行，写出两个向量平行的充要条件，得到两个向量的坐标之间的关系，根据横标、纵标和竖标分别相等，得到λ和x的值．
解：∵∥且x＞0
存在λ＞0使=λ
∴（8，，x）=（λx，λ，2λ）
∴
∴．
故选B
点评：本题考查共线向量的充要条件的应用，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现在高考题目中，是一个送分题目．
12.已知=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x等于（）
A．4B．﹣4C．D．﹣6
【答案】B
【解析】利用已知条件求出+，然后（+）•=0，求出x即可．
解：=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），
+=（﹣2，1，x+3），
∵（+）⊥，
∴（+）•=0
即﹣2﹣x+2（x+3）=0，解得x=﹣4．
故选：B．
点评：本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力．
13.已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ
（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】将=提取出来，转化成λt（+），而λt（+）表示与共线的向量，点D是BC的中点，故P的轨迹一定通过三角形的重心．
解：∵=设它们等于
∴=+λ（+）
而+=2
λ（+）表示与共线的向量
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C
点评：本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的三心等知识，属于基础题．
14.设=（x，4，3），=（3，2，z），且∥，则xz的值为（）
A．9B．﹣9C．4D．
【答案】A
【解析】利用共线向量的条件，推出比例关系，求出x，z的值．
解：∵=（x，4，3）与=（3，2，z），共线，
故有．
∴x=6，y=．
则xz的值为：9
故选A．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
15.已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若=+x+y，则x﹣y 等于（）
A．0B．1C．D．﹣
【答案】A
【解析】由向量的运算法则可得=+，结合已知可得xy的值，进而可得答案．解：由向量的运算法则可得
=+=+（+）
=+（+）
=+
又=+x+y，
故x=，y=，所以x﹣y=0
故选A
点评：本题考查空间向量基本定理即意义，属基础题．
16.若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（）
A．，+，﹣
B．，+，﹣
C．，+，﹣
D．+，﹣，+2
【答案】C
【解析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、B、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面
解：∵（+）+（﹣）=2，∴，+，﹣共面，不能构成基底，排除 A；
∵（+）﹣（﹣）=2，∴，+，﹣共面，不能构成基底，排除 B；
∵+2=（+）﹣（﹣），∴，+，﹣，+2共面，不能构成基底，排除 D；
若、+、﹣共面，则=λ（+）+m（﹣）=（λ+m）+（λ﹣m），则、、为共面向量，此与{、、}为空间的一组基底矛盾，故，+，﹣可构成空间向量的一组基底．
故选：C
点评：本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属基础题
17.（理）在长方体ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，以，，为基底表示，其结果是（）
A．=++
B．=
C．=﹣2+
D．=
【答案】C
【解析】先可得=，然后逐步把其中的三个向量用所给的基底表示，化简可得结论．
解：由向量的运算法则可得=
==﹣+（）
=﹣+（）
=
故选C
点评：本题考查空间向量基本定理和意义，属基础题．
18.若向量是空间的一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】空间向量的一组基底，要满足不为零向量，且三个向量不共面，逐个判断即可．
解：由已知及向量共面定理，结合=，
可知向量，，共面，同理可得=2，
故向量，，共面，故向量，都不可能与，构成基底，
又可得==，
故向量+也不可能与，构成基底，只有符合题意，
故选C
点评：本题考查空间向量的基底，涉及向量的共面的判定，属基础题．
19.在正方形ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
A
1
C
1
中，点E为上底面A
1
C
1
的中点，若，则x，
y，z的值分别是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】画出正方体，表示出向量，为的形式，可得x、y，z的值．
解：如图，==
=．
∴x=1，y=z=．
故选B．
点评：本题考查棱柱的结构特征，向量加减运算，是基础题．主要是用三角形法则把所求向量转化．
20.（2014•南昌模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由条件可得b2=2ac，再根据c2 +b2﹣a2=0，即c2+2ac﹣a2=0，两边同时除以a2，化为关于的一元二次方程，解方程求出椭圆的离心率的值．
解：依题意抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，
得：，
由TF=及TF=p，得，
∴b2=2ac，
又c2 +b2﹣a2=0，∴c2+2ac﹣a2=0，∴e2+2e﹣1=0，
解得．
故选B．
点评：本题考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，属于基础题．。