第3讲等腰(直角)三角形存在性处理策略

第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略
一、两圆一线与两线一圆
二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关
于某个参数的二次式，根据边或直角分类
三、几何解法（SAS法）
1等腰三角形的存在性问题
前提：三角形有一个不变的内角θ
步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以
腰为标准分三类列方程。

具体如下：
情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b;
情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a.
2直角三角形存在性问题
法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计
法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解
3等腰直角三角形存在性问题
方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等
值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解
例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..
例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB
平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
以下是几何解法
（一、）显性的不变角
（二、例4已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8),抛
物线y=ax2+bx+c过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q
从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单
位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得
△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
例5在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，
且∠APD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为直角三角形时，求
BP的长
变式：在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点
（点P不与B、C重合），且∠ABD=∠B,若AB=10,BC=16,
当△APD为等腰三角形时，求BP的长
（二）隐形的不变角
（三）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，
BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q
以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由
例7在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)与直线l ：y=x 3
4,点B 在x 轴正半上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C,再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D 在BC 上取点E ，使BE=BA,连接OE,并延长，交
CD 于点F,当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的
坐标..
练习
1、直线y=-x+4与x 轴交于点B,点C 在直线AB 上，在平面直角坐
标系中求一点，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形。

2、将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起，其中
∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6,AC=FE=8,将△DEF 绕点D 旋转，点D 与AB 的中点重合,DE 、DF 分别交AC 于点M 、N 。

若△DMN 为等腰三角形，求此时重叠部分△DMN 的面积。

3、如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y=x +1相交于A （﹣1，0），B （4，m ）两点，且抛物线经过点C （5，0）．
（1）求抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E ．
①当PE=2ED 时，求P 点坐标；
A
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：BE=DF；
（2）当t=______秒时，DF的长度有最小值，最小值等于______；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．
（4）y=t﹣12﹣，
如图3，连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，
由（1）知∠1=∠2，
又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，
∴∠DCE=∠GCF，
在△DCE和△GCF中，
∵，
∴△DCE≌△GCF（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠4，
∴GF∥CD，
又∵AH∥BN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴MN=CD=6，
∵∠BCD=∠DCG，
∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，
∴CN=CG=CD=6，
∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，
∴GN=12，
∴GM=6+12，
∵GF=DE=t，
∴FM=t﹣6﹣12，
∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，
∴FH=（t﹣6﹣12），
即y=t﹣12﹣．
5.（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P以每秒一个单位的速度从点A出发，沿对角线AC向点C移动，同时动点Q以相同的速度从C点出发，沿边CB向点B移动，
t≤≤）．
设P、Q两点移动时间为t秒（04
（1）用t的代数式表示线段PC的长是_________.
（2）当△PCQ为等腰三角形时，求t的值.
（3）以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M 为PQ的中点时，求t的值
26. 解：（1）5t-．…………3分
(2) 当CP CQ
=时，如图①，5
t t
=-
∴
5
.
2
t=…………5分
当QP QC
=时，如图②，过点Q作QH AC
⊥,H为垂足，则
11
(5t)
22
HC PC
==-，QC t=．…………6分
由QHC
∆∽ABC
∆，得
CH CQ
CB CA
=, 即
1
(5t)
2,
45
t
-
=
∴
25
.
13
t=…………7分
当PQ PC
=时，如图③，
过点P作PN QC
⊥,N为垂足，则
1
2
NC t
=，…8分
由PNC
∆∽ABC
∆，得
PC CN
AC CB
=,
1
5t2
,
54
t
-
=
40
.
13
t=
解得…………………9分综上所述，当
5
2
t=或
25
13
t=或
40
13
t=时，PCQ
∆为等腰三角形.
（3）连接BP，BM，如图④,则90
BMQ
∠=︒，
∵M为PQ的中点，
∴BP BQ
=. …………………10分
过点P作PK AB
⊥,K为垂足，由AP t
= ,得4
5
PK t
=,
3
5
AK t
=.
第26题图①
∴335BK t =-, …………………11分 在Rt BKP ∆中，222PB BK PK =+ 22)54()533(t t +-=, 而4BQ t =-,
∴22)5
4()533(t t +-= 2(4)t - , …………12分 解得2235
=t .
∴2235
=t .
…………13分 第26题图④。