2021年高中数学一轮复习·立体几何的向量方法：第6节 利用空间向量证明垂直问题

第6节

利用空间向量证明垂直问题

【基础知识】其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

【规律技巧】

利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

【典例讲解】

【例1】如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.

(1)证明：AP ⊥BC ；

(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .

(2)由(1)知|AP |＝5，

又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上，

【变式探究】如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝2.

证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .

证明由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．

∵AB ＝AA 1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，

∴A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1，1，1)．

∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)，BB 1→＝(－1，0，1)，

∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0，

∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD ∩BB 1＝B ，

∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .

【针对训练】

1．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1，1，2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________．

解析

∵a ·b ＝x －2＋6＝0，∴x ＝－4.答案－4

2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．

求证：(1)PB ∥平面EFH ；

(2)PD ⊥平面AHF .

【巩固提升】

1、如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为()

A ．平行

B ．异面

C ．垂直

D ．以上都不对

2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12

MC →1，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为()A.216

a B.66a C.156a D.153a 答案

A 3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果A

B →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，

－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________．

答案①②③

4.如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

5.如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是

与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（I）证明：平面；

（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．