高考数学专题复习：空间几何体的三视图和直观图

高考数学专题复习：空间几何体的三视图和直观图
一．选择题（共12小题）
1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
2．已知某个几何体的三视图如图，根据图中的尺寸，可得这个几何体的体积是（）
A．B．C．2000cm3D．4000cm3
3．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．B．C．D．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则（）
A．该几何体的体积为15π
B．该几何体的体积为13π
C．该几何体的表面积为20π+6
D．该几何体的表面积为15π+6
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．C．D．
6．如图所示的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为（）
A．B．2C．D．
7．如图，是由一个棱长为1的正方体截去一个三棱锥后剩余几何体的三视图，求截去的三棱锥的内切球半径是（）
A．B．C．D．
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）
A．17πB．68πC．13πD．23π
9．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中O′A′＝2，∠B′A′O′＝45°，B′C′∥O′A′．则原平面图形的面积为（）
A．3B．6C．D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）
A．πB．17πC．πD．16π
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．20π+16B．20π+24C．24π+16D．24π+24
12．利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状可能是（）
A．B．
C．D．
二．填空题（共4小题）
13．若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且OA'＝3，B'C'＝1，则该平面图形的面积为________．
14．某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是________，其内切球半径为________．
15．已知圆锥的主视图为如图所示，则该圆锥的侧面积是________．
16．一个空间几何体的主视图，侧视图是周长为8，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心（如图），那么这个几何体的表面积为________．
三．解答题（共6小题）
17．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是
边长为的正方形，求该几何体的表面积．
18．一个几何体由一个正四棱锥（底面是正方形，且顶点在底面的射影是底面的中心的四棱锥）和一个正四棱柱（上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的四棱柱）组合而成，它的三视图如图所示．
（1）求此几何体的体积；
（2）求此几何体的表面积．
19．设一正方形纸片ABCD边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积表示为x的函数，并求S范围．
20．已知一个几何体的三视图如图所示．
（1）求此几何体的表面积；
（2）如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体侧面的表面上，从P点到Q点的最短路径的长．
21．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
22．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积和体积．
参考答案
1．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面半径为，高为2的圆柱的，挖去一个半径为的半球；
故：V＝．
故选：A．
2．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由两个底面边长为20和10的直角三角形，高为20的两个三棱锥构成的几何体；如图所示：
所以：V＝＝．
故选：A．
3．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为1的圆柱，挖去一个高为的圆锥；
如图所示：
所以＝．
故选：A．
4．【解答】解：由题意可知几何体是半圆柱，
几何体的体积为：＝14π，
几何体是表面积为：2×1×3+π×3×3+π×2×2+2×＝15π+6．
故选：D．
5．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体；
如图所示：
所以：＝．
故选：D．
6．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为多面体BCDEAFG，底面四边形BCDE为直角梯形，
BE∥DC，DE⊥BE，DC＝DE＝1，BE＝2，AD∥CF∥EG，AD＝CF＝EG＝1，
AD⊥底面BCDE，平面AFG⊥平面BCDE，AF⊥AG，AF＝AG＝1，
则AB＝．
故选：D．
7．【解答】解：根据三视图转换为几何体的直观图为：如图所示，
可知截去的几何体为三棱锥A﹣BCD，
其体积，
表面积．
设其内切球的半径为r，由，
得，
故选：A．
8．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；
如图所示：
设该三棱锥的外接球的半径为R，AD＝2，CD＝3．BC＝2．
所以（2R）2＝22+22+32＝17，所以．故．
故选：A．
9．【解答】解：直观图中，∵∠B′A′O′＝∠B′O′A′＝45°，∴△B′A′O′是等腰直角三角形，
∵O′A′＝2，∴B′A′＝B′O′＝，
∵B′C′∥O′A′，∴∠C′B′O′＝45°，
∵直观图是直角梯形，
∴O′C′⊥C′B′，∠C′O′B′＝45°，∴C′B′＝O′C′＝1，
∴S直＝××+×1×1＝，
∴S原＝2S直＝2×＝3．
故选：A．
10．【解答】解：由三视图知，该几何体是平放的三棱柱，且三棱柱的底面为等腰直角三角形，如图所示：
设三棱柱外接球O的半径为R，则（2R）2＝22+32+22＝17，
所以该球O的表面积为S＝4πR2＝π•（2R）2＝17π．
故选：B．
11．【解答】解：由三视图知，原几何体是如图所示的两个半圆柱体，
半圆柱的底面半径均为2，高分别为2和4．
则其表面积为π×22×2+2π×2+2π×4+4×2+4×4＝20π+24．
故选：B．
12．【解答】解：把边长为1的正方形直观图还原为原图形，如图所示：
故选：A．
13．【解答】解：解法一、计算等腰梯形OA′B′C′的面积为S′＝（OA'+B'C'）•（OA′﹣B′C′）sin45°•sin45°＝×2×2××＝1，
所以原平面图形的面积为S＝4S′＝4．
解法二、作C'D⊥OA'，B'E⊥OA'，因为∠C'OA'＝45°，B'C'＝1，OA'＝3
所以DE＝B′C′＝1，OD＝A′E＝1．因此．
又根据斜二测画法的特征可得，在原图中AB⊥BC，AD∥BC，即原图为直角梯形，且高为直观图中OC'的2倍，
所以该平面图形的面积为．
故答案为：．
14．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面棱长为2，高为2的四棱锥体；
如图所示：
所以，
设内切球的半径为r，
所以，
整理得：，
解得r＝2﹣．
故答案为：．
15．【解答】解：根据圆锥的主视图知，该圆锥的底面半径为r＝，母线长是l＝4，所以圆锥的侧面积是S侧＝πrl＝π××4＝6π．
故答案为：6π．
16．【解答】解：根据三视图知，该几何体是两个相同的圆锥组合体，
因为侧视图周长为8，一内角为60°的菱形，
所以圆锥的母线长为l＝2，底面圆半径为r＝1，
所以该几何体的表面积为S＝2•πrl＝2×π×1×2＝4π．
故答案为：4π．
17．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：
故＝2+2．
故该几何体的表面积为2+2．
18．【解答】解：根据题意转换为几何体的直观图为：该几何体为由一个正方体和四棱锥体组成的几何体．
如图所示：
（1）所以＝．
（2）＝16．
19．【解答】解：（1）设出正四棱锥的棱长a，正方形纸片ABCD边长为4厘米，可得AH
＝，
∵正四棱锥的棱长都相等，即，
∴．
故得正四棱锥的棱长为；
（2）由题意，设PH＝b，则AH＝b tan x，由2a tan x+2a＝4，
可得a＝，
从而侧面积S＝＝，
其中tan x∈（1，+∞）；
∴S＝∈（0，4），
故得S范围是（0，4）．
20．【解答】解：（1）根据几何体的三视图，转换为几何体，是由一个圆锥和一个圆柱组成．该几何体的表面积是由圆锥的侧面积和圆柱的侧面积及圆柱的底面积组成．
所以．
．
．
．
（2）沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，
如图所示：
所以PQ＝＝，即最短路径．
21．【解答】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧＝×2π×2×2＝4π；
S圆柱侧＝2π×2×4＝16π；
S圆柱底＝π×22＝4π．
∴几何体的表面积S＝20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB＝＝＝2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
22．【解答】解：由三视图可知该几何体是由上下两部分组成：上面是直径为2的球；下面是一个长方体，其长宽高分别为2，2，3，且球切于长方体上底面的圆心．
∴S表面积＝4π×12+2×（2×2+2×3+2×3）＝4π+32．
V体积＝π×13+2×2×3＝+12．。