第一章-集合与命题

第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】
❖ 知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:
❖ 例题讲解 例1
(1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且
a M ∈，
b N ∈，
c P ∈，设
d a b c =-+，则
( ).
A. d M ∈
B. d N ∈
C. d P ∈
D. 以上都不
正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ
==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
Z Z ，，，，则
( ).
A. A B =
B. B ⊂≠A
C. A ⊂≠B
D.
A
B =∅
例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .
例3 已知集合{}
2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.
例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，
求集合A 、B .
(1) {}{}
2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；
(2) {}{}
22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；
(3) {}{}
2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.
例6
同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少
个? 写出这些 集合. 例7 已知集合{}{}
222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?
(2) 实数a 在什么范围内取值时，A
B =∅.
❖ 回顾反思 1. 主要方法:
① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；
③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:
① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。

数集与点集的区别； ② 进行集合的运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况；
③ 解决集合与方程有关的问题时要注意检验.
1. 设U 为全集，A 、B 是两个非空集合，以下命题中正确的有___________ (1) 若A B U =，则A B U == (2) 若A B A =，则A ⊂≠B (3) 若A
B =∅，则A ⊂≠∁U B
(4) 若A
B U =，则∁U A ⊂≠B
2. 已知集合{}24M x x =<，{}
2230N x x x =--<，则集合M N 等于
(
).
A. {}2x x <-
B. {}3x x >
C. {}12x x -<<
D. {}23x x <<
3. 设集合{}1,2,3,4,5,6P =，[]2,6Q =，那么下列结论正确的是
(
).
A. P Q P =
B. P Q ⊃≠Q
C. P Q Q =
D. P Q ⊂≠P
4. 若非空集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有实数a 的集合
是
(
).
A. {}19a a ≤≤
B. {}69a a ≤≤
C. {}9a a ≤
D. ∅ 5. 已知S 、T 是两个非空集合，定义集合{}S T x x S x T -=∈∉，，则()S S T --为
( ). A. T
B. S
C. S T
D. S T 6.
已知集合16M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，123n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1
26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，，则M 、
N 、P 的关系 是
(
A. M N =⊂≠P
B. M ⊂≠N P =
C. M M
7. 如图，U 为全集，M 、P 、S 是U
(
).
A. ()M P S
B. ()M P S
C. ()
M
P ∁U S D. ()
M
P ∁U S
8.
设全集U =R ，集合{}()0A x f x x ==∈R ，，{()0B x g x ==方程 22()()
0()
f x
g x
h x +=的解集是______________(用A 、B 、C 表示9. (1) 满足条件{}{}2,32,3,6A =的集合A 的个数是___________；
(2) 满足关系{}
,a b A ⊂≠{},,,a b c d 的集合A 的个数是___________.
10. 设集合6
3M x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭
N Z ，，用列举法写出M =___________.
11. (1) 若{}
21M y y x x ==+∈R ，，{}1N x x t t ==+∈R ，，求M N ；
(2) 若{}
2(,)1M x y y x x ==+∈R ，，{}(,)1N x y y x x ==+∈R ，，求M
N .
12. 设集合{}
{}26010A x x x B x mx =+-==+=，，满足B ⊂≠A ，求实数m 的值.
13. 设集合{}{}25,log (3),A a B a b =+=，，若{}2A B =，求A
B .
14. 已知集合{}{}221,2,(31)(56)i 1,3M a a a a N =--+--=-，，其中i 为虚数单位，且{}3M N =，
求实数a 的值.
15. 已知集合
{}220A x x x =+-≤，{}114B x x =<+≤，{}
20
C x x mx n =++>，满足
()
A
B C =∅()
A
B C =R 求实数m 、n 的值.
【集合的运算】
❖ 知识点归纳 9. 集合的有关运算:
10. 点集与解析几何有关的问题:
11. 集合语言的运用:
❖ 例题讲解 例8 若集合[2,3][,21]A B a a ==+，. ⑴ 若A B ⊆，求实数a 的取值范围；
⑵ 若A ⊂≠ B ，求实数a 的取值范围； ⑶ 若A
B ≠∅，求实数a 的取值范围.
例9 已知集合{},,2A a a d a d =++，{}2,,B a aq aq =，a 为非零常数，若A B =，求d 、q 的值.
例10 设集合{}240A x x x =+=，{}
222(1)10B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.
例11 若集合{}
22(,)(2)(3)4M x y x y =-++≤，221(,)(1)()4N x y x y a ⎧⎫
=-+-≤⎨⎬⎩
⎭，且N M ⊆，求实数
a 的取值范围.
例12 设全集{}(,)U x y x y =∈R 、，集合2(,)12y M x y x ⎧⎫
+==⎨⎬-⎩⎭
，{}(,)4N x y y x =≠-，求∁U M
∁U N .
例13 设集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x ==，若A B 是单元素集合，求实数a 的取值范围.
例14 设{(,)A x y y ==，{}(,)B x y y x m ==+. ⑴ 若A B 是单元素集合，求实数m 的取值范围；
⑵ 若A
B 是含有两个元素的集合，求实数m 的取值范围.
例15 已知集合11(,)22y M x y x ⎧⎫
-==-⎨⎬+⎩
⎭，{}(,)(1)(1)1N x y a y a a x =+=++，且M
N =∅，求实数a
❖ 回顾反思 1. 主要方法:
① 解决集合与不等式问题，要借助于数轴进行交、并、补的运算； ② 与点集有关的问题，可以用数形结合的思想或方程组的方法； ③ 集合语言的理解. 2. 易错、易漏点:
① 集合与不等式问题中，区间的开、闭容易出错，要特别注意检验区间的端点；
② 集合运算时，要注意同解变形问题以及空集这一特殊情况.
❖ 课后练习
16. 已知集合{}
(,)3A x y y x ==<，{}(,)B x y y x b ==+，若A B ≠∅，求实数b 的取值范
围.
17. 已知集合{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，且A B =，求实数a 、b 的值.
18. 已知集合{}
2310A x ax x x =++=∈R ，. ⑴ 若A 中只有一个元素，求实数a 的值；
⑵ 若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围.
19. 已知集合{}2320A x x x =-+=，{}
240B x x ax x =-+=∈R ，，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.
20. 已知集合{}220A x x x =-->，{}
240B x x x p =++<，且A B A =，求实数p 的取值范围.
21. 已知集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}22log (58)1B x x x =-+=，{}
2262C x x x x =+-≤∈R ，，若A B ≠∅，
A
C =∅，求实数a 的值.
22. 已知集合3(,)12y A x y x ⎧⎫
-==⎨⎬-⎩⎭
，{}(,)2B x y y ax ==+，且A
B =∅，求实数a 的值.
23. 对集合A 、B ，定义A B A -=∁U B ，其中U 表示全集，而A 、B 的对称差记为()
()A B A B B A =--δ，
若集 合{}2(1)103A y y x x ==-+≤≤，，{}
2113B y y x x ==+≤≤，，
求A B δ.
24. 若集合3
(,)12y A x y a x y x ⎧⎫-==+∈⎨⎬-⎩⎭
R ，、，{}
2(,)(1)(1)15B x y a x a y x y =-+-=∈R
，、，且
A
B =∅，求实数a 的值.
❖ 增补习题
25. 已知集合{}{}
22(3)2(1)02(31)20A x x m x m m B x x n x n =-+++=∈=+++=∈R R ，，，.
求m 、n 分使 (1)A
B A = (2)A
B A =时的值。

26. (1) 已知集合{}2,4,8,16A =，令()X ∏表示A 的非空子集X 中所有元素之积，求所有这些()X ∏的积；
(2) 已知集合{}
2*10B x x n n n ==≤∈N ，，，令()Y ∑表示B 的非空子集Y 中所有元素之和，求这些
27. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，1s 、2s 、…、k s 都是M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的{},i i i s a b =，{},j j j s a b =
(i j ≠且{})1,2,3,,i j k ⋅∈…，都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
⎭{}
(min ,x y 表示x 、y 中较小)，则k 的最大值是
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
28. 已知集合A 满足以下条件: 若a A ∈()a ∈N ，则()21
a
f a A a =∈+且()()f f a A ∈，……，依此类推. (1) 若集合A 为单元素集，求a 与集合A ；
(2) 请用描述法写出一个满足条件的集合A ，要求集合A 不是单元素集，且不含字母a .
（二）命题和充要条件
❖ 知识点归纳 1. 命题:
2. 命题的四种形式:
3. 等价命题:
4. 充分条件和必要条件:
5. 子集与推出关系:
❖ 例题讲解
例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假: (1) 若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤； (2) 两个有理数的和是有理数.
例2 有下列四个命题: ① 命题“若1xy =，则x 、y 互为倒数”的逆命题是假命题； ② 命题“面积相等的三角形全等”的否命题是假命题；
③ 命题“若1m ≤，则2230x x -+=有实根”的逆否命题是真命题； ④ 命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题是真命题. 其中是真命题的是___________(填上你认为正确命题的序号). 例3 命题α: tan()0A B +=，命题β: tan tan 0A B +=，则α是β的
( ).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
例4 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题:
① 若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；
② 若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R ，0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()
f x 的最大值； ③ 若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R ，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是 ( ). A. 0 B. 1 C.
2
D. 3
例5 下列各题中，α是β的什么条件?
(1) : x y α>；: 0x y β>> (2): 0xy α>；: x y x y β+=+.
例6 (1) 写出3x >一个充分条件和一个必要条件；
(2) 写出2210ax x ++=至少有一个负的实根的充要条件.
例7 在ΔABC 中，“A B <”是“sin sin A B <”的什么条件?
例8
已知0c >，设命题P : 函数x y c =在R 上单调递减，命题Q : 不等式21x x c +->的
解集为R ，如果命题P 和Q 有且仅有一个正确，求实数c 的取值范围.
❖ 回顾反思 1. 主要方法: ① 逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； ② 通常复合命题“p 或q ”的否定为“p 且q ”、“p 且q ”的否定为“p 或q ”、“注意”的否定是“存在”、 “都是”的否定为“不都是”等等； ③ 有时一个命题的叙述方式比较简略，应先分清条件和结论，再改写成“若p ，则q ”的形式； ④ 原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的逆命题与否命题同真同假，所以对一些命题的真假判断(或推证)， 我们可通过对与它同真同假的命题(具有逆否关系的命题)来判断(或推证)； ⑤ 判断充要条件的关键是分清条件和结论；说明不充分或不必要时，只要举出反例即可.
2. 易错、易漏点: ① 判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判 断复合命题的真假； ② 写四种命题时应先分清题设和结论； ③ 要注意一些常用的“结论的否定形式”，如“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式是“一 个也没有”、“至少有两个”、“不都是”；复合命题中“且”、“或”的否定；“不都是”与“至多”、 “至少”的关系.
❖ 课后练习 1. 下列说法:
① 若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题； ② 若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题； ③ 若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；
④ 若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题. 其中正确的说法是 ( ). A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
2. 设集合{}{}23M x x P x x =>=<，，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M
P ∈”的(
).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件 3. 函数2()(0)f x x bx c x =++≥是单调函数的充要条件是 ( ). A. 0b ≥ B. 0b ≤ C. 0b > D. 0b <
4. “a b +∈R 、”是“a b +>的 ( ).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件 5. 下列判断中正确的是 ( ).
A. “12是偶数且是18的约数”是真命题
B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题
C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题
D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题
6. 命题“若x y =，则22x y =”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为( ).
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. “14a b <+<且03ab <<”是“01a <<且13b <<”成立的 ( ).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件 8. 命题甲为: 05x <<，命题乙为: 23x -<，则甲是乙的(
).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件 9. 下列命题中，与命题“a 是一个有理数”是等价命题的是( ). A. 2a 是一个有理数 B. 3a 是一个有理数 C.
1
a
是一个有理数 D. a 是一个有理数 10. 如果A 是B 的必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分条件，则D 是A 的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 11. 对任意实数a 、b 、c ，给出下列命题，其中真命题的个数是 ( ). ① “a b =”是“ac bc =”的充要条件；
② “5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③ “a b >”是“22a b >”的充分条件； ④ “5a <”是“3a <”的必要条件.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12. “2x y +<”的___________条件是“1x <且1y <”.
13. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假: (1) 如果0a =，那么0ab =；
(2) 对顶角相等.
14. 已知关于x 的一元二次方程①2440mx x -+=，②2244450()x mx m m m -+--=∈Z ， 求方程①和②都有整数解的充要条件.
❖ 增补习题
15. 对于非零实数a 、b ，以下四个命题都成立:
①1
0a a
+
≠； ②222()2a b a ab b +=++； ③若a b =，则a b =±； ④2a ab =，则a b =. 那么，对于非零复数a 、b 仍然成立命题的所有序号是___________.
16. 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，已知αβ、是两个相交平面，空间两条直线12l l 、在α 上的射影是12s s 、，12l l 、在β上的射影是12t t 、. 用12s s 、，12t t 、的位置关系，写出一个总能确定12l l 、是异面直线的充分条件: ______________________________________________.
17. 求证: “数列{}n a 是公比不等于1的等比数列”的一个充要条件是“(1)n n S a b =-”，其中0a b ≠、且1b ≠.
【附录】一、集合与命题。