答案——概率论与数理统计复习1

答案——概率论与数理统计复习1

复习题简答：第⼀章

1、设A 、B 、C 表⽰三个随机事件，试将下列事件⽤A 、B 、C 表⽰出来：

（1）B,C 都发⽣，⽽A 不发⽣；（2）A,B,C 中⾄少有⼀个发⽣；（3）A,B,C 中恰有⼀个发⽣；（4）A,B,C 中恰有两个发⽣；（5）A,B,C 中不多于⼀个发⽣；（6）A,B,C 中不多于两个发⽣。解:

（1）BC A （2）C B A ??

（3）C B A C B A C B A ?? （4）C B A BC A C AB ?? （5）C B A C B A C B A C B A （6）ABC

2、把1，2，3，4，5诸数各写在⼀张纸⽚上任取其中三个排成⾃左⽽右的次序。问：

（1）所得三位数是偶数的概率是多少？

（2）所得三位数不⼩于200的概率是多少？

解：（1）5222524=A A （2）5

4

42524=A A

3、甲⼄丙三⼈去住三间房⼦。求：

（1）每间恰有⼀个的概率；（2）空⼀间的概率。

解:（1）9

2

3333=A

（2）1213323233

C C C =

4、设8⽀枪中有3⽀未经试射校正，5⽀已经试射校正。⼀射击⼿⽤校正过的枪射击时，

中靶概率为0.8，⽽⽤未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3. 今假定从8⽀枪中任取⼀⽀进⾏射击，求：（1）中靶的概率；

（2）若已知中靶，求所⽤这⽀枪是已校正过的概率。解:A ：中靶。

B ：已知中靶，所⽤这⽀枪是已校正过的。

80

49

3.0838.085)(=?+?=A P

49403.08

38.0858

.085

)(=

+=A B P

5、设有甲⼄两盒，其中甲盒内有2只⽩球1只⿊球，⼄盒内有1只⽩球5只⿊球。求从甲

盒任取⼀球投⼊⼄盒内，然后随机地从⼄盒取出⼀球⽽得⽩球的概率。解:A ：从⼄盒取出⼀球得⽩球。 B ：从甲盒中任取⼀

22115

()()(|)()P(A |B)373721

P A P B P A B P B =+=?+?=

6、设某⼯⼚甲、⼄、丙三个车间⽣产同⼀种螺钉，产量依次占全⼚的45%，35%，20%。

如果各车间的次品率依次为4%，2%，5%。现在待出⼚产品中检查出⼀个次品，试判断它是由甲车间⽣产的概率。解：A ：任取⼀个产品是次品。

B ：产品由甲车间⽣产。

35

18

%5%20%2%35%4%45%4%45)(=?+?+??=

A B P

7、对某种药物的疗效进⾏研究，假定这药物对某种疾病治愈率为0.8，现10个患此病的病

⼈都服⽤此药，求其中⾄少有6⼈治愈的概率。

解:X ：治愈的⼈数，)8.0,10(~B X

0.9672

)8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0(}6{10

10

1019910288103771046610=++++=≥C C C C C X P

第⼆章

8、某产品5件，其中有2件次品。现从其中任取2件，求取出的2件产品中的次品数X 的

概率分布律及分布函数。

解：次品数X 可能的取值为0，1，2分布律为：

2

325

{0}0.3C P X C ===

0.6}1{2

5

12

13===C C C X P 0.1}2{25

2

2===C C X P

分布函数为：

0,

00.3,01()0.9,121,2

=?

≤

()0,0x A Be x F x x -?+>=?≤?

,试确常数A,B ，并求

1

{X 1}3

P <<，{1}P X ≥及概率密度。解：由F(x)的性质，得A=1,B= -1，所以31,0

()0,

0x e x F x x -?->=?≤?

1311

{1}(1)()e ;33

P X F F e --<<=-=- 3{1}1(1);P X F e -≥=-=

33,0

()()0,0

x e x f x F x x -?>'==?

≤? 10、已知连续型随机变量X 有概率密度1,02

()0,kx x f x +<

，求：

（1）系数k ；

（2）分布函数F(x)；（3） P{1.5

≥<≤+-<=2,1200,4

1

0,0)(2x x x x x F

0625.0)5.1()5.2(}5.25.1{=-=<

11、某元件寿命（按⼩时计）X 服从参数为=0.001λ的指数分布，三个这样的元件使⽤1000⼩时后，都没有损坏的概率是多少？

解：??

≤>=-0

,

00

,

001.0)(001.0x x e x f x

+∞

1001.0001.0}1000{e dx e X P x

Y ：损坏的个数，)1,3(~1--e B Y

010333{0}(1)P Y C e e e ---==-=

12、设(1.5,4)X N ，计算：（1）P{X<-4}，（2）P{|X|>2}。解：003.0)75.2(1)75.2(}2 5

.1425.1{

}4{=Φ-=-Φ=--<-=-

.0)75.1(1)25.0(1)2

5

.12()25.12(1}2{1}2{=Φ-+Φ-=--Φ+-Φ-=≤-=>X P X P

13、设随机变量X 在（-1，1）上服从均匀分布，求31Y X =+的概率密度。

解：<<-=其他

,

01

1,

2

1

)(x x f

31Y X =+的概率密度为<<-=其他

,

04

2,

6

1

)(y y f Y

14、设X 的分布律为

求（1）2X +, （2）1X -+，（3）2

X 的分布律。