1.3逻辑联结词与命题

§1.3逻辑联结词与命题
一、知识点：●知识梳理
1.逻辑联结词
（1）命题：可以判断真假的语句叫做命题.
（2）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.
（3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
（4）真值表：表示命题真假的表叫真值表.
2.四种命题
（1）四种命题
原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ；
否命题：若⌝p 则⌝q ；逆否命题：若⌝q 则⌝p .
（2）四种命题之间的相互关系
这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.
3. 注意：否命题与命题的否定的区别。

二、例题讲解
例1．判断下列命题的真假：
（1）命题“在△ABC 中，若AB>AC ，则∠C>∠B ”的逆命题；
（2）命题“若ab=0，则a ≠0且b=0”的否命题；
（3）若题“若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0”的逆否命题；
（4）命题“若a ≠0或b ≠0，则a 2+b 2>0”的逆命题。

例2．在下列关于直线m l 、与平面βα、的命题中，真命题的是 （ ）
A ．若αβαβ⊥⊥⊂l l ，则且
B ．若αβαβ⊥⊥l l ，则且//
C ．若αβαβ//l l ，则且⊥⊥
D ．若αβα////l m l m ，则且=⋂ （04上海高考）
例3．写出下列命题的否定及否命题：
（1）两组对边平行的四边形是平行四边形； （2）正整数1即不是质数也不是合数。

例4 .写出下列命题的否定。

（1）所有自然数的平方是正数。

（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4）有些质数是奇数。

解；（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

例5 .写出下列命题的否定。

（1）若x2＞4 则x＞2.。

（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3）可以被5整除的整数，末位是0.。

（4）被8整除的数能被4整除。

（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解（1）的否定：存在实数x0，虽然满足x02＞4但x0≤2.。

或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x02＞4。

（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）
（2）的否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x02+ x0-m=0无实数根。

（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

）
（3）的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.。

（4）的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两
条不相等
例6. 给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有
A.0个
B.2个
C.3个
D.4个
剖析：原命题和逆否命题为真.
答案：B
例7. 命题“若m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___________________.
解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断.
答案：2
注意：命题的否定与否命题的区别。

命题的否定与否命题是完全不同的概念。

其理由：一，任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

二，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

【基础训练】
1．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空：①“b是自然数且为偶数”是__________形式；
②“－1不是方程x2+3x+1=0的根”是_____________形式；③“负数没有平方根”是形式；④“方程x2+3x+2=0的根是－2或－1”是___________形式；
2．如果原命题是“若⌝P则q”，写出它的逆命题，否命题与逆否命题
3．与命题“若a∉M则b∉M”等价的命题是（）A．若b∈M则a∉M B．若b∉M则a∈M C．若b∈M则a∈M D．若a∉M则b∈M
【夯实基础】
1.如果原命题的结论是“p且q”形式，那么否命题的结论形式为
A.⌝p且⌝q
B.⌝p或⌝q
C.⌝p或⌝q
D.⌝q或⌝p
解析：p且q的否定为⌝p或⌝q.
答案：B
2.下列四个命题中真命题是
①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题②“面积相等的三角形全等”的否命题③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根”的逆否命题④“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题
A.①②
B.②③
C.①②③
D.③④
解析：写出满足条件的命题再进行判断.
答案：C
3.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.
（1）命题“15能被3和5整除”是___________________形式；
（2）命题“16的平方根是4或－4”是______________形式；
（3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是___________________形式.
答案：（1）p且q（2）p或q（3）p且q
4.命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是_______________.
答案：若a≠0且b≠0，则ab≠0
5.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次都击中飞机；
（2）两次都没击中飞机；
（3）恰有一次击中飞机；
（4）至少有一次击中飞机.
解：（1）两次都击中飞机是p1且p2；
（2）两次都没击中飞机是⌝p1且⌝p2；
（3）恰有一次击中飞机是p1且⌝p2，或p2且⌝p1；
（4）至少有一次击中飞机是p1或p2.
【拓展题例】
【例1】写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.
（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；
（2）若xy=0，则x=0或y=0；
（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.
解：（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.
原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.
（2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题.
原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题.
（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.
原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.
【例2】有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.
A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，
B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，
C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.
如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？
解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.
若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.
同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.
综上，苹果在B盒内.
【拓展练习】
1．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p、q的复合命题的真假是（）A．“p或q”假B．“p且q”真C．“非q”真D．“p或q”真
2．“xy≠0”是指（）A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0 C．x,y至少一个为0 D．不都是0
3．判断下列命题的真假：（真“√”、假“ ”）
①3≥3 ；②100或50是10的倍数；
③有二个锐角的三角形是锐角三角形____ ；④等腰三角形至少有二个内角相等_______。

4．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
①“12是60和84的公因数”是________形式；②△ABC是等腰直角三角形是__________形式；
③“方程x2+3x+2=0”的解集不是{1，2}是__________形式；④“△≥0”是_________形式。

5．在空间，（1）若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。

以上两个命题中，逆命题为真命题的是
（把符合要求的命题序号都填上）（01天津高考）
6．如果否命题为：若x+y≤0，则x≤0或y≤0。

写出相应的原命题，逆命题与逆否命题，并分别指出四种命题的真假，一般地，如果原命题的条件或结论是“p或q”，它的否定形式是什么？“p且q”的否定形式又是什么？
7．数集A 满足条件；若a ∈A ，则有A a a
∈-+11， （1）当2∈A 时，求集合A ；（2）若a ∈R ，
求证：A 不可能是单元素集合.
8．分别指出下列各组命题构成“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题的真假，
①p:5+10≠15,q:3>2 ②p:x 2+1<0,q:x 2>－x
2 ③p:无理数与有理数的积必为无理数 q:无理数与有理数的和必为无理数 ④p:若α，β都是锐角，且α>β，则sin α>sin β
q:若α，β都是锐角，且α>β，则cos α>cos β
9．已知下列三个方程022,0)1(,03442222=-+=+-+=+-+a ax x a
x a x a ax x 至少有一
个方程有实根，求实数a 的取值范围。