【厦大习题集】高等数学习题及详细解答2

1. 计算曲线积分22(),L
I x y ds =+⎰其中L 是中心在(,0)R 、半径为R 的上半
圆周.
解 由于上半圆周的参数方程为
(1cos )
sin x R t y R t =+⎧⎨
=⎩
(0),t π≤≤ 所以 I 22()L
x y ds =+⎰
22220
[(1cos )sin ]R t R t π
=++
⎰
30
2(1cos )R t dt π=+⎰30
2[sin ]R t t π=+
32.R π=
2.计算半径为R , 中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度1ρ=).
解 取坐标系,则
2.L
I y ds =⎰
为计算方便, 利用L 的参数方程
cos ,x R t =sin y R t =().t αα-≤≤
故 2L
I y ds =
⎰22sin R α
α
θ-=⎰
3
2
sin R tdt α
α-=⎰3sin 22
2R t t α
α
-⎡⎤
=
-⎢⎥⎣⎦ 3
(2sin 2)2
R αα=-3(sin cos ).R ααα=- 3. 计算L
yds ⎰, 其中积分弧段L 是由折线OAB 组成, 而(1,0),A (1,2).B
解 在OA 上，0,y =,ds dx = 所以 0.OA
yds =⎰
在AB 上，1,x =,ds dy =所以
AB
yds ⎰
2
ydy =⎰ 2.=
从而
OAB
yds ⎰
OA
AB
yds yds =+⎰⎰02=+ 2.=
4.L
I xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到11
(
,)22
B -之间的一段劣弧； 解 L AB =的参数方程为：
cos ,sin x y θθ==()4
2
π
π
θ-
≤≤
，于是
2
4
22cos (sin )cos I d π
πθθθθ-=-+⎰
2
4
1
cos (1)2
d π
πθθ-==+
⎰． 5.(1)L
x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；
解 L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有
(1)L
x y ds ++⎰
(1)OA
x y ds =++⎰(1)AB
x y ds +++⎰ (1)BO
x y ds +++⎰，
由于OA :0y =，01x ≤≤，于是
22
22(
)()10dx dy ds dx dx dx dx dx
=+=+=，
故 1
3
(1)(01)2
x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA
， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是
22
22(
)()1(1)2dx dy ds dx dx dx dx dx
=+=+-=． 故
1
0(1)[(1)1]222AB
x y ds x x dx ++=+-+=⎰⎰，
同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），22
22(
)()01dx dy ds dy dy dy dy dy
=+=+=，则 103
(1)[01]2
BO x y ds y dy ++=++=⎰⎰．
x
y
o
(1,0)A (0,1)
B x
y
o
A
B
C
综上所述
33
(1)322
L
x y ds -+=
+=+⎰ 6.2 L
x yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C
(1,2,3)D ；
解 如图所示， 2222 L
AB
BC
CD
x yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰
⎰
⎰
．
线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤
ds =2dt ==， 故
1
2 0
00220AB
x yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰
⎰．
线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则 ,ds dt == 故
1
22 0
020BC
x yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰
⎰，
线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t ===+(01)t ≤≤，则
ds ==， 故
1
1
2
2
2 0 012(2) (2)CD x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=
⎰⎰所以 2222 L AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds =++=
⎰⎰⎰⎰ 7. 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．
解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2L
M x ds =⎰，其中
:ln (0)L y x a x b =<≤≤．则L 的参数方程为
ln x x
y x =⎧⎨
=⎩ (0)a x b <≤≤， 故
ds ===，
所以
3221[(1)]3b a a
M x ==+⎰
332
2221[(1)(1)]3
b a =+-+． 习题9.2
1 设L 为xOy 面内一直线=y b （b 为常数），证明
(,)0=⎰L
Q x y dy 。

证明 设L 是直线=y b 上从点1(,)a b 到点2(,)a b 的一段，其参数方程可视为
()==y y x b ，（12≤≤a x a ）， 于是
2
1
(,)(,)00=⋅⋅=⎰
⎰a L
a Q x y dy Q x
b dx 。

2. 计算⎰L
xydx ，其中L 为抛物线2=y x 上从点(1,1)-A 到点(1,1)B 的一段弧.
解 (1) 化为对x 的定积分, =y
⎰
L
xydx =+⎰⎰AO
OB
xydx xydx
01
1
(=+⎰⎰x dx
1
3/202=⎰x dx 4
.5
=
(2) 化为对y 的定积分, 2,=x y y 从1-变到1.
⎰L xydx =⎰AB xydx 1221()'-=⎰y y y dy 14
1
2-=⎰y dy 4.5
= 3. 计算2222 ()()++-⎰L
x y dx x y dy ，其中L 是曲线11=--y x 从对应于0
=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；
解
1L 的方程为=y x (01)≤≤x ，则有
1
1
22222 0
2()()23
++-==
⎰
⎰L x y dx x y dy x dx ． 2L 的方程为2=-y x (12)≤≤x ，则
2
2222 ()()++-⎰
L x y dx x y dy
2
22 1
[(2)]=+-⎰x x dx 2
22 1
[(2)](1)+--⋅-⎰x x dx
2
2 1
2 2(2)3
=-=
⎰x dx ． 所以
2222 4()()3
++-=
⎰
L
x y dx x y dy ． 4. 计算22-⎰L
xy dy x ydx ，其中L 沿右半圆222+=x y a 以点(0,)A a 为起点，经
过点(,0)C a 到终点(0,)-B a 的路径；
解 利用曲线的参数方程计算．L 的参数方程为:cos ,sin θθ==x a y a ，在起点(0,)A a 处参数值取
2
π
，在终点(0,)-B a 处参数值相应取2π-，则
2
2
-⎰
L
xy dy x ydx 2222
cos (sin )(sin )(cos )sin (cos )π
πθθθθθθ-
=-⎰a a d a a a d a
4
222
2
2sin cos π
π
θθθ-=⎰
a
d 44
π
=-
a .
5. 计算3223+-⎰L
x dx zy dy x ydz ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线
段AB ；
解 直线AB 的方程为
321==x y z 化成参数方程得
3=x t ，2=y t ，=z t ，t 从1变到0。

所以
3223+-⎰
L
x dx zy dy x ydz 0
2221
[(3)33(2)2(3)2]=+-⎰t t t t t dt
31
87874
==-
⎰t dt 。

6. 计算()()()=-+-+-⎰L
I z y dx x z dy x y dz ，L 为椭圆周22 1 ,
2 ,⎧+=⎨-+=⎩x y x y z 且从
z 轴正方向看去，L 取顺时针方向。

解 L 的参数方程为
cos =x t ，sin =y t ，2cos sin =-+z t t ，t 从2π变到0， ()()()=
-+-+-⎰
L
I z y dx x z dy x y dz
222(3cos sin 2sin 2cos )π
=---⎰t t t t dt 2π=-。

7. 计算+⎰L
ydx xdy ，其中L 分别为以下路线：
(1) 直线AB ；
(2) 抛物线ACB ：22(1)1=-+y x ； (3) 折线ADB .
解 (1) 直线AB 的方程为1,=+x t 12.=+y t 对于L 的方向,参数t 从0变到1， 于是
+⎰
L
ydx xdy 10
[(12)2(1)]=+++⎰t t dt 1
(34)=+⎰t dt 5.=
(2) 抛物线ACB 的方程为22(1)1,=-+y x 对于L 的方向,参数x 从1变到2,于
是
+⎰
L
ydx xdy 2
21
[2(1)14(1)]=-++⋅-⎰x x x dx
221
(683)=-+⎰x x dx 3221
(243)
=-+x x x 5.=
(3) 在折线=+ADB AD DB 中，:AD 1,=y x 从1变到 2; :DB 2,=x y 从1 变到 3.
+⎰
L
ydx xdy =+++⎰⎰AD
DB
ydx xdy ydx xdy 23
11
2=+⎰⎰dx dy 14=+ 5.=
8. 求质点在力2=-F x i xyj 的作用下沿着曲线L （图10-2-6） cos ,sin ==x t y t 从点(1,0)A 移动到点(0,1)B 时所作的功.
解 注意到对于L 的方向, 参数t 从0变到/2,π所以
W 2=-⎰AB
x dx xydy
/2
20
cos cos cos sin sin π=-⎰td t t td t /2
20
(2cos sin )π=-⎰
t t dt
/2
3
cos 22.33π⎡⎤==⎢⎥⎣⎦t。