广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二上学期2月期末数学试题

又因为 AB = AF + BF = xA + xB + p = 2 + 8 + 8 = 18 ，
( ) P
点
4, 4
2
lAB : y = -2 到直线
2 (x - 4)
8
的距离 d =
2 +4 2 -8 2 (2 2)2 +1
=
42 3
，
所以 VPAB
的面积 S
=
1 2
AB
×d
=
1 2
´18´
42 3
(2)若点 P 的坐标为 (-
)2,0 ，直线 l 的斜率等于 1，且 PQ
=
8 3
，求双曲线
C
的离心率．
20．已知圆 C1 : (x + 3)2 + ( y - 2)2 = 8 与圆 C2 关于直线 4x - 2 y +1 = 0 对称. (1)求圆 C2 的标准方程； (2)直线 3x + 4 y + m - 5 = 0 与圆 C2 相交于 M , N 两点，且VMC2N 的外接圆的圆心在
×
uuur BC
的值为__________.
四、解答题
17．已知数列{an} 是等差数列，且 a2 = -25, 2a3 + a5 = -50 .
(1)求{an} 的通项公式；
(2)若数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，求 Sn .
18．已知抛物线 C： y2 = 2 px ( p > 0) 过点 A(1, 2) ．
D．
uuuur OM
=
2 3
uuur OA
+
2 3
uuur OB
-
1 3
uuur OC
7．已知点 P 是圆 C1 : (x + 2)2 + ( y +10)2 = 4 上的一点，过点 P 作圆
C2 : (x - 3)2 + ( y - 2)2 = 1 的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． 2 30 -1
线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则VPAB 的面积为（ ）
A．4
B． 6 2
C．12 2
D． 24 2
二、多选题
9．在等比数列{an} 中，已知 a3 = 4 ， a6 = 32 ，其前 n 项和为 Sn ，则下列说法中正确的
是（ ）
A． a1 = 2
B． an = 2n-1
C．
a12 a7
ö ÷
=
ø
9 13
´
(1 +
25)
= 18 ，
2
故选：B． 6．D
【分析】
uuuur OM
=
uuur xOA
+
uuur yOB
+
uuur zOC
，分析出当
M
,
A,
B, C
共面时，
x
+
y
+
z
=
1
，从而分析四个
选项，得到正确答案.
【详解】当
M
,
A,
B,
C
共面时，不妨设
uuuur AM
=
l
uuur AB
B． 2 30
C． 2 30 +1
D． 2 30 + 2
8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的 对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已
( ) 知抛物线 y2 = 16x 的焦点为 F ，一条平行于 x 轴的光线从点 P 4, 4 2 射出，经过抛物
广西壮族自治区河池市 2022-2023 学年高二上学期 2 月期
末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点 A(1,1, 2) 关于 y 轴对称的点为 B 点，则 AB = （ ）
A． 2
B． 5
C． 2 5
(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为 60°的直线，交抛物线于 A，B 两点，求线段 AB 的 长度．
19．已知双曲线 C
：
x2 2
-
y2 b2
=1（b
> 0 ），直线 l 与双曲线 C
交于 P ， Q 两点．
(1)若点 (4, 0) 是双曲线 C 的一个焦点，求双曲线 C 的渐近线方程；
= C1C2 - 2 = C1C2 - PC1 = 11 ， 所以 dmin = 112 -1 = 2 30 . 故选： B .
答案第31 页，共22 页
8．C
【分析】由题意求出 A 点坐标，根据直线 AB 过焦点的直线，联立抛物线方程求出 B 点的 横坐标，根据抛物线的焦点弦的弦长公式求解即可.
22．已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0 ）的离心率为
3 ，且与直线 x - y 3
10 = 0 相切.
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l ： y = kx +1与椭圆 C 交于 A, B 两点，点 P 是 y 轴上的一点，过点 A 作直线
PB
的垂线，垂足为
M
，是否存在定点
VMC2N 内部，求 m 的取值范围.
试卷第41 页，共33 页
21．如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^ 底面 ABC ， PA =
6
，
AB
=
2
，
ÐABC
=
π 3
，
BC =1 ， D ， E 分别是 PC 上的三等分点， F 是 PB 的中点．
(1)证明： AE ^ 平面 PBC ； (2)求平面 ADF 与平面 BDF 的夹角的余弦值．
+
m
uuur AC
，
( ) ( ) uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
变形得到 OM - OA = l OB - OA + m OC - OA ，
则
uuuur OM
=
l
uuur OB
-
(
l
+
m
-
1)
uuur OA
+
uuur mOC
，
答案第21 页，共22 页
设
uuuur OM
所以圆的最小面积为 64π ， 故选：D． 5．B
【分析】利用等差数列前 n 项和公式及等差数列的性质求解即可.
【详解】因为 Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和，
18(a1 + a18 )
所以
S18 S13
=
2
13(a1 + a13 )
=
18
(
a7 + a12 26a7
)
=
9 13
æç1 + è
且点 P 在 C1C2 之间时， PC2 最小，由勾股定理即可求解. 【详解】切线长 d = PC2 2 -1 ，所以当 PC2 取得最小值时，切线长取得最小值.当
P,C1,C2 共线且点 P 在 C1C2 之间时，
PC2 最小，由于 C2C1 = (-2 - 3)2 + (-10 - 2)2 = 13 ,所以 PC2 min
( ) 【详解】因为 P
4, 4
2
，所以 yA = yP = 4
2
，所以 xA
=
y
2 A
16
=
2，
( ) 所以 A 2, 4
2
，又
F
( 4,
0)
，所以
lAB
:
y
-
0
=

4
2 2-
4
0
(x
-
4），
即 lAB : y = -2
2
(
x
-
4)
，又
ìï í ïî
y
=
-2 y2
2(x-
= 16x,
4)
,
，
所以 x2 -10x +16 = 0 ，解得 x = 2 或 x = 8 ，所以 xB = 8 ，
uuur B． AA1 = 2 D．直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为
11 161 161
12．已知双曲线 C :
x2 2
-
y2 8
= 1 的右焦点为 F
，左、右顶点分别为 A 、 B ，点 P 是双曲
线 C 上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A．过点 A 有且仅有 2 条直线与双曲线 C 有且仅有一个交点 B．点 F 关于双曲线 C 的渐近线的对称点在双曲线 C 上 C．若直线 PA 、 PB 的斜率分别为 k1 、 k2 ，则 k1k2 = 4 D．过点 F 的直线与双曲线 C 交于 M 、 N 两点，则 MN 的最小值为8
答案第11 页，共22 页
所以 l1 、 l2 之间的距离 d =
4-3 22 + 42
=
5 10
.
故选：A.
4．D
【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即
可得出该圆的最小面积.
【详解】由题意知该椭圆的长轴长为 2´8 = 16 ， 以 16 为弦长的圆的最小半径为 8，
=
uuur xOA
+
uuur yOB
+
uuur zOC
，若点
M
与点
A,
B,C
共面，
则 x + y + z = -l - m +1+ l + m = 1，
只有选项
D
中
2 3
+
2 3
+
æ çè
-
1 3
ö ÷ø
=
1 符合题意.
故选： D . 7．B 【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当 P,C1,C2 共线
P
，使得
uuur uuuur PB × PM
为定值？若存在，求出点
P
的
坐标；若不存在，请说明理由.
试卷第51 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】根据空间坐标系中的点关于轴的对称可得对称点坐标，进而根据点点距离即可求
解.
【详解】 A(1,1, 2) 关于 y 轴对称的点为 B 点，则
uuur
B (-1,1, -2), AB = (1+1)2 + 0 + (2 + 2)2 = 2 5 .
M , A, B,C 共面的是（ ）
A．
uuuur OM
=
uuur 2OA
+
1 3
uuur OB
-
uuur OC
B．
uuuur OM
=
uuur 3OA
-
uuur 2OB
-
uuur 2OC
试卷第11 页，共33 页
C．
uuuur OM
=
1 2
uuur OA
+
1 4
uuur OB
+
1 3
uuur OC
三、填空题
13．直线 l 过点 (2,1) ，若 l 的斜率为 3，则直线 l 的一般式方程为______．
14．已知圆 C1 : x2 + y2 = 1 与圆 C2 : (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 25 ，则两圆的位置关系为_______ _．
试卷第31 页，共33 页
15．在数列{an} 中， a1
= 12
2.
答案第41 页，共22 页
故选： C . 9．BC
【分析】由等比数列的定义求得公比 q ，从而求得 a1 ，得通项公式，前 n 项和，判断各选
11．如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2, AD = 1, BD1 = 11 ， Ð A1AD = Ð A1AB = 60°, AB ^ AD ，则下列说法正确的是（ ）
uuur uuur uuuur A． BD = BC + B1A1
uuuur C． AC1 = 2 6
=
1 2
, a3
=
1 10
，且
1 an-1
+
1 an+1
=
2 an
(n
³
2)
，则 an
=
__________.
16．已知直三棱柱 ABC -A1B1C1 ， AB ^ AC ， AB = AC = AA1 = 4 ，点 P 为此直三棱柱
表面上一动点，且
PB
=
4 ，当
PC1
取最小值时，
uuur B1P
故选： C . 2．D 【分析】分别令 n2 +1 = 7,8, 9,10 ， n Î N* ，求解即可. 【详解】对于 A，令 n2 +1 = 7 ，解得： n = ± 6 Ï N* ，故 A 不正确； 对于 B，令 n2 +1 = 8 ，解得： n = ± 7 Ï N* ，故 B 不正确； 对于 C，令 n2 +1 = 9 ，解得： n = ±2 2 Ï N* ，故 C 不正确； 对于 D，令 n2 +1 = 10, 解得： n = 3 或 n = -3 （舍）,故 D 正确. 故选：D. 3．A 【分析】根据两直线平行得到关于 a 的方程，求出 a 的值，再由两平行线之间的距离公式 计算即可. 【详解】因为直线 l1 : x + ay + 2 = 0 ， l2 : 2x + 4 y + 3 = 0 相互平行， 所以 2a - 4 = 0 ，解得 a = 2 ， 所以 l1 : x + 2 y + 2 = 0 ，即 2x + 4 y + 4 = 0 ，
D．4
2．已知数列{an} 的通项公式为 an = n2 +1，则下列数是该数列中的项的是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
3．已知直线 l1 : x + ay + 2 = 0 ， l2 : 2x + 4 y + 3 = 0 相互平行，则 l1 、 l2 之间的距离为 （）
A． 5 10
B． 5
5
C． 2 5
a7 a5
+ a8 + a6
=
4
D． Sn = 2n +1
10．已知抛物线 C : y2
= 6x 的焦点为 F
，点 M (x0 , y0 ) 在抛物线 C 上，若
MF
=
9 2
,
O
为
坐标原点，则（ ）
A．点 F 的坐标为(0,1)
B． x0 = 3
C． y0 = 2 3
D． OM = 3 3
试卷第21 页，共33 页
5
D． 5
2
4．已知椭圆方程为
x2 36
+
y2 64
=
1
，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（
）
A． 8π
B．16π
C． 36π
D． 64π
5．已知 Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和，若 a12