反比例函数的图像和性质的综合应用

函数的解析式。
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
例题2
已知反比例函数 y = m/x 和一次函数 y = kx + b 的图象相交于 点 A（-2，3）和点 B （3，-2），求这两个
因为反比例函数 $y=frac{6}{x}$中 $k=6>0$，所以函数图 像在第一、三象限。又 因为$x_1<x_2$，所以 点$P(x_1,y_1)$和点 $Q(x_2,y_2)$不在同一 象限内。根据反比例函 数的性质可知，在第一 象限内，$y$随$x$的增
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
02
反比例函数在其定义域内是连续 的，但在 $x = 0$ 处没有定义。
反比例函数在其定义域内具有单 调性，即在每个象限内单调递减 或递增。
03
反比例函数的值域为 $y neq 0$ 的所有实数。
04
02
反比例函数图像变换规律
平移变换规律
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿x轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿x轴平移。
相似三角形判定定理2
如果两个三角形的两组对应边 的比相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相似。
相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两个角与另 一个三角形的两个角对应相等 ，那么这两个三角形相似。
相似三角形判定定理3
如果两个三角形的三边对应成 比例，那么这两个三角形相似 。
勾股定理在反比例函数中应用
反比例函数的概念：形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数，且 $k neq 0$) 的函数称为反比例0$ 时，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大并 趋近于 0；随着 $x$ 的减小，$y$ 值逐渐减小并趋近 于无穷大。
反比例函数的图像：反比例函数的图像是一条经过原点 的双曲线，当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限； 当 $k < 0$ 时，图像位于第二、四象限。
将点$A(2,3)$的坐标代 入反比例函数 $y=frac{k}{x}$中，得 到$3=frac{k}{2}$，解 得$k=6$。
已知反比例函数 $y=frac{6}{x}$的图像 上有两点$P(x_1,y_1)$ 和$Q(x_2,y_2)$，且 $x_1<x_2$，试比较 $y_1$与$y_2$的大小 。
拓展延伸：挑战更高难度题目
题目一：已知反比例 函数 $y = frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = ax + b$ 的图像交于点 $A(1,2)$ 和 $B(-2,1)$，求这两个函数的 解析式。
题目二：已知反比例 函数 $y = frac{2}{x}$ 和一次函数 $y = kx + 1$ 的图像都经过点 $(1,2)$，且一次函数 的图像与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B 。求
反比例函数的图像和 性质的综合应用
汇报人：XXX 2024-01-22
目 录
• 反比例函数基本概念与性质 • 反比例函数图像变换规律 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数综合应用 • 反比例函数在几何图形中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念与性质
反比例函数定义及表达式
对称变换规律
反比例函数图像关于原点对称。 反比例函数图像关于直线y=x对称。 反比例函数图像关于直线y=-x对称。
03
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题求解方法
1 2
矩形面积问题
通过已知两边长度求解面积，或已知面积和一边 长度求解另一边长度，利用反比例关系建立方程 。
三角形面积问题
通过已知底和高求解面积，或已知面积和底或高 求解另一参数，同样利用反比例关系建立方程。
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
反比例函数与勾股定理结合
在反比例函数中，如果自变量和因变量的乘积为常数k，且k>0，则函数图像在第一、 三象限。此时，可以利用勾股定理求出函数图像上任意一点到原点的距离，进而研究函
数的性质。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
已知反比例函数 $y=frac{k}{x}$的图像 经过点$A(2,3)$，求k 的值。
注意事项一
在绘制反比例函数图像时，要确 保准确地标出渐近线和拐点等关 键特征点。
易错点一
忽视反比例函数定义中 $k neq 0$ 的条件，导致错误地认为当 $k = 0$ 时，函数也是反比例函 数。
注意事项二
在解决与反比例函数相关的实际 问题时，要仔细审题并理解问题 的背景和意义，避免因为理解偏 差而导致错误。
求解交点坐标方法
联立方程法
将两个函数的解析式联立起来，得到一个关于 x 的方程，解这个方程即可得到交点的横坐标，再代入其中一个函 数的解析式求得交点的纵坐标。
图象法
在同一坐标系中分别作出两个函数的图象，找出两个图象的交点，即为所求的交点坐标。
典型例题解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
例题1
已知反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）和一次函 数 y = mx + n（m ≠ 0）的图象都经过点（2，-1），且当 x = 3 时，这两个函数值相等 ，求这两个函数的解析 式。
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数， $k neq 0$）的函数称为反比例函数 。
反比例函数表达式
$y = frac{k}{x}$，其中 $x$ 是自变量 ，$y$ 是因变量，$k$ 是比例系数。
反比例函数图像特征
01
反比例函数的图像是双曲线， 且以原点为对称中心。
电流之间的关系。通过已知条件建立反比例函数模型，可以求解相关参
数或进行性能分析。
03
生物学问题
在生物学中，反比例函数可用于描述生物体内某些物质或能量的代谢速
率与浓度之间的关系。通过建立反比例函数模型并结合实验数据进行分
析，可以揭示生物体内的代谢规律。
04
反比例函数与一次函数综合应用
两者关系及相互转化条件
当 $k > 0$ 时，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐减小并 趋近于 0；随着 $x$ 的减小，$y$ 值逐渐增大并趋近 于无穷大。
反比例函数的图像关于原点对称。
易错难点剖析及注意事项
易错点三
易错点二
在求解反比例函数问题时，未注 意自变量的取值范围，导致出现 分母为 0 的情况。
混淆反比例函数与其他函数的性 质，如将反比例函数的增减性与 一次函数或二次函数混淆。
(1) 一次函数的解析式 ；
(2) 点 A、B 的坐标；
(3) 三角形 AOB 的面 积。
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反比例函数与一次函数的关系
反比例函数和一次函数都是基本的函数类型，它们之间可以通过一定的条件相互转化。
相互转化条件
当一次函数的斜率等于反比例函数的系数的倒数时，两者可以相互转化。具体来说，如果一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）和反比例函数 y = m/x（m ≠ 0）满足 k = -m，则它们可以相互转化。
通过已知速度和时间的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度，应用反比例函数进行分析。
其他实际问题应用
01
经济学问题
在经济学中，反比例函数可用于描述某些经济变量之间的关系，如价格
与需求量之间的关系。通过已知一组数据，可以建立反比例函数模型进
行预测和分析。
02
工程学问题
在工程学中，反比例函数可用于描述某些物理量之间的关系，如电阻与
02
当 $k > 0$ 时，双曲线的两支 分别位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，双曲线的两支分别位 于第二、四象限。
03
在每个象限内，随着 $x$ 的增 大（或减小），$y$ 值逐渐减 小（或增大），但永远不会等 于 0。
反比例函数性质总结
01
比例系数 $k$ 决定了反比例函数 的图像位置和形状，$k$ 的正负 决定了双曲线所在的象限。