2013高三数学人教B版总复习课件:10-7二项式定理(理) 46张
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答案:5
18 若 a= (sinx+cosx)dx,则二项式(a x+ ) 展开式中含 x x
π 0
项的系数是________.
解析:a=π(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)|π=2. 0
0
18 ∵(2 x+x) 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr (2 8 x)
思想方法Байду номын сангаас巧
解题技巧 1.赋值法:在某些二项式定理的有关求“系数和”的问 题中,常用对字母取特值的方法解题. 2.求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式,代入 求解或列方程求解,要特别注意项数与指数都是整数.
考点典例讲练
求二项展开式的指定项或其系数
[例 1] A.-6
(1-x)4(1- x)3 的展开式中 x2 的系数是( B.-3 C.0 D.3
2
(
) A.10 C.40 B.-10 D.-40
解析:本小题考查二项式展开式的系数求法,考查运算能 力. 15 1r - r 2 5-r (2x -x) 的展开式的通项为 Tr+1=C5(2x ) (-x) =Cr 25 5
2 r
(-1)rx10
-3r
,令 103r=1 得,r=3,
∴T4=C322(-1)3x=-40x.∴x 的系数是-40. 5
(2012· 湖北,5)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512012+a 能被 13 整除,则 a=( A.0 C.11 ) B.1 D.12
解析:本题考查二项展开式的应用.
2 512012=(52-1)2012=C0 522012-C1 522011+C2012522010+„ 2012 2012
解析:由题意得
5 3 3 3 T4=C6· x=20sin x= , sin 2
1 π 5π ∴sinx=2,∵x∈[0,2π],∴x=6或 6 .
π 5π 答案: 或 6 6
赋值法的应用
[例 3]
a8 (2011· 汕头模拟)已知(x- ) 展开式中常数项为 x )
1120, 其中实数 a 是常数, 则展开式中各项系数的和是( A.28 C.1 或 38 B.38 D.1 或 28
分析: Tr+1 项中 x 的指数为 0 可求得常数 a 的值; 令 在二 项展开式中当 x=1 时即得各项系数的和.
ar r 8-r 解析:Tr+1=C8x (- ) x =(-a)r· 8·8-2r,令 8-2r=0 得 r=4, Cr x 由条件知,a4C4=1120,∴a=± 2, 8 令 x=1 得展开式各项系数的和为 1 或 38.
[答案] ± 1
[解析] 项
由条件知,2n=1024,∴n=10,二项展开式的通 x)
10 - r
Tr+1=Cr ( 10
a r · 2) =(-a)r· r · (- C10 x x
10-5r ,令 =0 2
得 r=2,∴常数项为 T3=(-a)2· 10=45a2=45,∴a=± C2 1.
课后强化作业(点此链接)
8-r
1 r 8-r r 3r · ) =2 · 8· ( C x4- , x 2
3r 令 4- 2 =1 得,r=2,∴T3=26· 2x=1792x, C8 故所求系数为 1792.
答案:1792
[例 5]
求 1.056 的近似值,使结果精确到 0.01.
分析:1.056 的小数部分,取决于 0.05 的乘方,故可用二 项式展开式讨论.
第十章
统计与概率
第十章
第七节 二项式定理(理)
基础梳理导学
3
考点典例讲练
思想方法技巧
4
课堂巩固训练
5
课后强化作业
基础梳理导学
重点难点
引领方向
重点:二项式展开式的通项和二项式系数的性质. 难点:二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区 别.
夯实基础 稳固根基 1.二项式定理
r (a+b)n=C0an+C1an-1b+„+Cnan-rbr+„Cn-1abn-1+Cn n n n n
走向高考数学人教b版高考一轮总复习人教b版高考路漫漫其修远兮吾将上下而求索轮总复习走向高考高考一轮总复习人教b版数学第十章统计与概率第十章统计与概率走向高考高考一轮总复习人教b版数学第十章第七节二项式定理理第十章统计与概率走向高考高考一轮总复习人教b版数学基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3第十章第七节课后强化作业5走向高考高考一轮总复习人教b版数学基础梳理导学第十章第七节走向高考高考一轮总复习人教b版数学重点难点引领方向重点
x
当 6-2r=0,即 r=3 时为常数项.T3+1=C3=20. 6
答案:B
点评:在二项式展开式中,各项二项式系数的和为 2n,奇 数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等, 都等 于 2n-1.
(2012· 河南商丘市模拟)二项式(1+sinx)6 的展开式中二项式 5 系数最大的一项的值为 2,则在[0,2π]内 x 的值为________.
-C1· 3x=-6x2,∴选 A. 4 x·
答案:A
点评:1.求二项展开式中某些特殊项:常数项、有理项、 无理项或它们的系数等问题. 利用通项公式写出其一般式, 再 令其中 r 取某些特定值是解决该类型问题的常用方法. 2.含两个二项式时,应从两个二项式各自展开式考虑用 多项式乘法产生指定项.
15 (2012· 天津理,5)在(2x - ) 的二项展开式中,x 的系数为 x
[解析]
r 5-r a r Tr+1=C5x ( ) =Cr ·r·5-2r 5a x
x
令 5-2r=3,得 r=1,∴C1a=10,∴a=2. 5
2.若(x+1)5=a5(x-1)5+„+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为 ( ) A.80 C.20
[答案] A
B.40 D.10
[解析]
解析:∵1.056=(1+0.05)6
2 3 3 =1+C 1 ×0.05+C 2 · 6 6 (0.05) +C 6 (0.05) +„=1+6×0.05
+15· (0.05)2+20· (0.05)3+„ ∵20×(0.05)3=0.0025<0.01, ∴T4、T5 以后各项已不必取了, ∴1.056=1+0.3+0.0375+0.0025+„≈1.34.
由于 x+1=x-1+2, 因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,
故展开式中 x-1 的系数为 C424=80. 5
3. (2012· 东北三校二模)在( x+ 指数是整数的项共有( A.4 项 C.6 项
1 3 x
)30 的展开式中, 的幂 x
) B.5 项 D.7 项
[答案] C
[ 解析]
+C2011×52×(-1)2011+C2012×(-1)2012, 若想被 13 整除需加 12, 2012 2012 ∴a=12.
答案:A
课堂巩固训练
一、选择题 a5 1.(x+x) (x∈R)展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 等于 ( ) A.-1 C.1
[答案] D
1 B.2 D.2
bn(n∈N+),叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二
Cr an-rbr . 项展开式,其通项公式为 Tr+1= n
(-1)r· nan rbr . Cr (a-b) 的展开式第 r+1 项 Tr+1=
n
-
2.二项式系数的性质
0 n 1 (1)对称性:Cn=Cn,Cn=Cn-1,C2=Cn-2,„,Cr =Cn-r. n n n n n
答案:D
点评:把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误.
二项式系数的性质
[例 2]
1n 若x+x
展开式的二项式系数之和为 64,则展
开式的常数项为( A.10 C.30
) B.20 D.120
解析:二项式系数之和 2n=64,∴n=6,
r 6 -r 1 r Tr+1=C6· · =Cr x6-2r, x 6
(2)增减性与最大值:二项式系数
Ck ,当 n
n+1 k< 2 时,二项
n+1 式系数是递增的;当 k> 时,二项式系数是递减的.当 n 2 是偶数时,中间的一项的二项式系数最大.当 n 是奇数时, 中间两项的二项式系数相等且最大.
0 1 2 n (3)Cn+Cn+Cn+„+Cr +„+Cn= 2n . n 1 3 5 0 2 4 (4)Cn+Cn+Cn+„=Cn+Cn+Cn+„=
展开式的通项
Tr + 1 =C r ( 30
x)
30 - r
· )r =C r ( 30 3 x
1
x
90-5r ,∵ 6 是整数,0≤r≤30,且 90 能被 6 整除, ∴r 能被 6 整除,∴r=0,6,12,18,24,30 时,x 的幂指数是
整数,故选 C.
二、填空题 a n 4.(2012· 沈阳市二模)若( x-x2) 展开式中二项式系数之 和是 1024,常数项为 45,则实数 a 的值是________.
答案:C
若(1-2x)
2014
=a0+a1x+„+a2014x ) B.0 D.-2
2014
a1 a2 (x∈R),则 + 2+„ 2 2
a2014 +22014的值为( A.2 C.-1
解析: f(x)=(1-2x) 令
2014
=a0+a1x+„+a2014x
2014
1 , f( ) 则 2
a1 a2 a2014 a1 a2 =a0+ 2 +22+„+22014=0,f(0)=1=a0,所以 2 +22+„+ a2014 =-1.故选 C. 22014
)
分析:展开式是两个二项式展开式的乘积,故要求 x2 的 系数,应从两个括号的展开式结合考虑,由于后一个二项式 含 x,故应从(1- x)3 的展开式着手讨论.
解析:∵(1- x)3 的有理项为 1 和 3x,故要出现 x2,需从
2 (1-x)4 因式中找 x2 项和 x 项, C4x2 和-C1x, 2 项为 C4x2· 即 2 ∴x 1 4
答案:C
综合与应用
[例 4]
1 n (2011· 湖州模拟)已知(1+x+x )(x+ 3) 的展开式 x
2
中没有常数项,n∈N*且 2≤n≤8,则 n=________. ..
1 n r n-r 1 r 解析:(x+ 3) 的展开式的通项 Tr+1=Cnx · 3) =Cr xn-4r ( n x x (0≤r≤n), 由题设条件及多项式乘法运算法则知, n-4r=0,-1,-2 时,展开式中有常数项, ∵2≤n≤8,且 n∈N,∴n-4r=0 时,n=4 或 8,n-4r =-1 时,n=3 或 7,n-4r=-2 时,n=2 或 6,∴n=5.
2n-1 .
疑难误区 点拨警示 1. 通项公式 Tk+1=Ck an-kbk 是第 k+1 项, 而不是第 k 项, n 注意其指数规律. 2.求二项式展开式中的特殊项(如:系数最大的项、二项 式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有 理项„)时,要注意 n 与 k 的取值范围. 3.注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”, 展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”, “奇(偶) 数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”.
18 若 a= (sinx+cosx)dx,则二项式(a x+ ) 展开式中含 x x
π 0
项的系数是________.
解析:a=π(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)|π=2. 0
0
18 ∵(2 x+x) 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr (2 8 x)
思想方法Байду номын сангаас巧
解题技巧 1.赋值法:在某些二项式定理的有关求“系数和”的问 题中,常用对字母取特值的方法解题. 2.求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式,代入 求解或列方程求解,要特别注意项数与指数都是整数.
考点典例讲练
求二项展开式的指定项或其系数
[例 1] A.-6
(1-x)4(1- x)3 的展开式中 x2 的系数是( B.-3 C.0 D.3
2
(
) A.10 C.40 B.-10 D.-40
解析:本小题考查二项式展开式的系数求法,考查运算能 力. 15 1r - r 2 5-r (2x -x) 的展开式的通项为 Tr+1=C5(2x ) (-x) =Cr 25 5
2 r
(-1)rx10
-3r
,令 103r=1 得,r=3,
∴T4=C322(-1)3x=-40x.∴x 的系数是-40. 5
(2012· 湖北,5)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512012+a 能被 13 整除,则 a=( A.0 C.11 ) B.1 D.12
解析:本题考查二项展开式的应用.
2 512012=(52-1)2012=C0 522012-C1 522011+C2012522010+„ 2012 2012
解析:由题意得
5 3 3 3 T4=C6· x=20sin x= , sin 2
1 π 5π ∴sinx=2,∵x∈[0,2π],∴x=6或 6 .
π 5π 答案: 或 6 6
赋值法的应用
[例 3]
a8 (2011· 汕头模拟)已知(x- ) 展开式中常数项为 x )
1120, 其中实数 a 是常数, 则展开式中各项系数的和是( A.28 C.1 或 38 B.38 D.1 或 28
分析: Tr+1 项中 x 的指数为 0 可求得常数 a 的值; 令 在二 项展开式中当 x=1 时即得各项系数的和.
ar r 8-r 解析:Tr+1=C8x (- ) x =(-a)r· 8·8-2r,令 8-2r=0 得 r=4, Cr x 由条件知,a4C4=1120,∴a=± 2, 8 令 x=1 得展开式各项系数的和为 1 或 38.
[答案] ± 1
[解析] 项
由条件知,2n=1024,∴n=10,二项展开式的通 x)
10 - r
Tr+1=Cr ( 10
a r · 2) =(-a)r· r · (- C10 x x
10-5r ,令 =0 2
得 r=2,∴常数项为 T3=(-a)2· 10=45a2=45,∴a=± C2 1.
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8-r
1 r 8-r r 3r · ) =2 · 8· ( C x4- , x 2
3r 令 4- 2 =1 得,r=2,∴T3=26· 2x=1792x, C8 故所求系数为 1792.
答案:1792
[例 5]
求 1.056 的近似值,使结果精确到 0.01.
分析:1.056 的小数部分,取决于 0.05 的乘方,故可用二 项式展开式讨论.
第十章
统计与概率
第十章
第七节 二项式定理(理)
基础梳理导学
3
考点典例讲练
思想方法技巧
4
课堂巩固训练
5
课后强化作业
基础梳理导学
重点难点
引领方向
重点:二项式展开式的通项和二项式系数的性质. 难点:二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区 别.
夯实基础 稳固根基 1.二项式定理
r (a+b)n=C0an+C1an-1b+„+Cnan-rbr+„Cn-1abn-1+Cn n n n n
走向高考数学人教b版高考一轮总复习人教b版高考路漫漫其修远兮吾将上下而求索轮总复习走向高考高考一轮总复习人教b版数学第十章统计与概率第十章统计与概率走向高考高考一轮总复习人教b版数学第十章第七节二项式定理理第十章统计与概率走向高考高考一轮总复习人教b版数学基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3第十章第七节课后强化作业5走向高考高考一轮总复习人教b版数学基础梳理导学第十章第七节走向高考高考一轮总复习人教b版数学重点难点引领方向重点
x
当 6-2r=0,即 r=3 时为常数项.T3+1=C3=20. 6
答案:B
点评:在二项式展开式中,各项二项式系数的和为 2n,奇 数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等, 都等 于 2n-1.
(2012· 河南商丘市模拟)二项式(1+sinx)6 的展开式中二项式 5 系数最大的一项的值为 2,则在[0,2π]内 x 的值为________.
-C1· 3x=-6x2,∴选 A. 4 x·
答案:A
点评:1.求二项展开式中某些特殊项:常数项、有理项、 无理项或它们的系数等问题. 利用通项公式写出其一般式, 再 令其中 r 取某些特定值是解决该类型问题的常用方法. 2.含两个二项式时,应从两个二项式各自展开式考虑用 多项式乘法产生指定项.
15 (2012· 天津理,5)在(2x - ) 的二项展开式中,x 的系数为 x
[解析]
r 5-r a r Tr+1=C5x ( ) =Cr ·r·5-2r 5a x
x
令 5-2r=3,得 r=1,∴C1a=10,∴a=2. 5
2.若(x+1)5=a5(x-1)5+„+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为 ( ) A.80 C.20
[答案] A
B.40 D.10
[解析]
解析:∵1.056=(1+0.05)6
2 3 3 =1+C 1 ×0.05+C 2 · 6 6 (0.05) +C 6 (0.05) +„=1+6×0.05
+15· (0.05)2+20· (0.05)3+„ ∵20×(0.05)3=0.0025<0.01, ∴T4、T5 以后各项已不必取了, ∴1.056=1+0.3+0.0375+0.0025+„≈1.34.
由于 x+1=x-1+2, 因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,
故展开式中 x-1 的系数为 C424=80. 5
3. (2012· 东北三校二模)在( x+ 指数是整数的项共有( A.4 项 C.6 项
1 3 x
)30 的展开式中, 的幂 x
) B.5 项 D.7 项
[答案] C
[ 解析]
+C2011×52×(-1)2011+C2012×(-1)2012, 若想被 13 整除需加 12, 2012 2012 ∴a=12.
答案:A
课堂巩固训练
一、选择题 a5 1.(x+x) (x∈R)展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 等于 ( ) A.-1 C.1
[答案] D
1 B.2 D.2
bn(n∈N+),叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二
Cr an-rbr . 项展开式,其通项公式为 Tr+1= n
(-1)r· nan rbr . Cr (a-b) 的展开式第 r+1 项 Tr+1=
n
-
2.二项式系数的性质
0 n 1 (1)对称性:Cn=Cn,Cn=Cn-1,C2=Cn-2,„,Cr =Cn-r. n n n n n
答案:D
点评:把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误.
二项式系数的性质
[例 2]
1n 若x+x
展开式的二项式系数之和为 64,则展
开式的常数项为( A.10 C.30
) B.20 D.120
解析:二项式系数之和 2n=64,∴n=6,
r 6 -r 1 r Tr+1=C6· · =Cr x6-2r, x 6
(2)增减性与最大值:二项式系数
Ck ,当 n
n+1 k< 2 时,二项
n+1 式系数是递增的;当 k> 时,二项式系数是递减的.当 n 2 是偶数时,中间的一项的二项式系数最大.当 n 是奇数时, 中间两项的二项式系数相等且最大.
0 1 2 n (3)Cn+Cn+Cn+„+Cr +„+Cn= 2n . n 1 3 5 0 2 4 (4)Cn+Cn+Cn+„=Cn+Cn+Cn+„=
展开式的通项
Tr + 1 =C r ( 30
x)
30 - r
· )r =C r ( 30 3 x
1
x
90-5r ,∵ 6 是整数,0≤r≤30,且 90 能被 6 整除, ∴r 能被 6 整除,∴r=0,6,12,18,24,30 时,x 的幂指数是
整数,故选 C.
二、填空题 a n 4.(2012· 沈阳市二模)若( x-x2) 展开式中二项式系数之 和是 1024,常数项为 45,则实数 a 的值是________.
答案:C
若(1-2x)
2014
=a0+a1x+„+a2014x ) B.0 D.-2
2014
a1 a2 (x∈R),则 + 2+„ 2 2
a2014 +22014的值为( A.2 C.-1
解析: f(x)=(1-2x) 令
2014
=a0+a1x+„+a2014x
2014
1 , f( ) 则 2
a1 a2 a2014 a1 a2 =a0+ 2 +22+„+22014=0,f(0)=1=a0,所以 2 +22+„+ a2014 =-1.故选 C. 22014
)
分析:展开式是两个二项式展开式的乘积,故要求 x2 的 系数,应从两个括号的展开式结合考虑,由于后一个二项式 含 x,故应从(1- x)3 的展开式着手讨论.
解析:∵(1- x)3 的有理项为 1 和 3x,故要出现 x2,需从
2 (1-x)4 因式中找 x2 项和 x 项, C4x2 和-C1x, 2 项为 C4x2· 即 2 ∴x 1 4
答案:C
综合与应用
[例 4]
1 n (2011· 湖州模拟)已知(1+x+x )(x+ 3) 的展开式 x
2
中没有常数项,n∈N*且 2≤n≤8,则 n=________. ..
1 n r n-r 1 r 解析:(x+ 3) 的展开式的通项 Tr+1=Cnx · 3) =Cr xn-4r ( n x x (0≤r≤n), 由题设条件及多项式乘法运算法则知, n-4r=0,-1,-2 时,展开式中有常数项, ∵2≤n≤8,且 n∈N,∴n-4r=0 时,n=4 或 8,n-4r =-1 时,n=3 或 7,n-4r=-2 时,n=2 或 6,∴n=5.
2n-1 .
疑难误区 点拨警示 1. 通项公式 Tk+1=Ck an-kbk 是第 k+1 项, 而不是第 k 项, n 注意其指数规律. 2.求二项式展开式中的特殊项(如:系数最大的项、二项 式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有 理项„)时,要注意 n 与 k 的取值范围. 3.注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”, 展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”, “奇(偶) 数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”.