山东省青岛第五十八中高三数学12月月考试题文

山东省青岛第五十八中2016届高三数学12月月考试题 文
2015.12
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，有
一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R ，集合A={1|()12
x
x ≤}，B={|2x x ≥}，R A B ð=( ) A ． [0,2] B ．[0,2) C ．(1,2) D ． (1,2]
2. 偶函数()f x 在[]0,2上递减，则(
)12211 , log , log 42a f b f c f ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭
大小为 ( ) A.c a b >> B. a c b >> C. b a c >> D. a b c >>
3.下列说法中正确的是（ ）
A.命题“若x y x y >-<-，则”的逆否命题是“若x y ->-，则x y <”
B.若命题2
2
:,10:,10p x R x p x R x ∀∈+>⌝∃∈+>，则
C.设l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,//l l αβαβ⊥⊥，则
D.设,x y R ∈，则“()2
0x y x -⋅<”是“x y <”的必要而不充分条件
4.变量,x y 满足约束条件20,201x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2
5.在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，α、β为不同的两个平面 ①m ⊥α，n ∥α⇒m ⊥n ②m ∥n ，n ∥α⇒m ∥α
③m ∥n ，n ⊥β，m ∥α⇒α⊥β
④m ∩n=A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β⇒α∥β 其中正确的命题个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6、已知：x ＞0，y ＞0，且，若x+2y ＞m 2
+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(]
[),24,-∞-+∞ B. (][),42,-∞-+∞ C. ()2,4- D. ()4,2-
7、已知函数f （x ）=
sin2x+cos2x ﹣m 在[0，
]上有两个零点，则实数m 的取值范围是
（ ） A ． （﹣1，2） B ． [1，2） C ． （﹣1，2] D ． [1，2]
8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. 36π B. 94π C. 9π D. 92
π
9、若过点()
2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. 0,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
B. 0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 0,
6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. 0,
3π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
10、从双曲线=1的左焦点F 引圆x 2
+y 2
=3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，
M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.若向量,a b r r
的夹角为150,3,42a b a b ==+=，则___________.
12.函数1
2y x
=-的定义域是________.
13.△ABC 的面积为AB ＝5， AC ＝8，则BC 等于 ．
14、已知12,F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左，右焦点，P 为双曲线右支上
的一点，且122PF PF =.若12PF F ∆为等腰三角形，则该双曲线的离心率为_________.
15.已知偶函数()f x 满足()()
[]()2
111,0f x x f x x
f x -=
∈-=，且当时，，若在区间[]13-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围_________.
三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）
已知函数()()()22
sin cos cos 0,f x x x x x f x ωωωωω=+->的图象相邻两条
对称轴的距离为
4
π. （I ）求4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （II ）将()f x 的图象上所有点向左平移()0m m >个长度单位，得到()y g x =的图象，若()y g x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
当m 取得最小值时，求()g x 的单调递增区间.
17、（本题满分12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=，S 10=40．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）令b n =（﹣1）n+1a n a n+1（n ∈N *
），求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ． 18、（本题满分12分） 如图，在三棱柱
111A B C 中，四边形1111ABB A ACC A 和都为矩形.
（I ）设D 是AB 的中点，证明：直线1//BC 平面1A DC ;
（II ）在ABC ∆中，若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A .
19. （本题满分12分）
各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点()()
1,n n a a n N *
+∈在函数3y x =的图
象上，且326.S =
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）在1n n a a +与之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
20.（本小题满分13分）
已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =，直线1y x =+经过椭圆C 的左焦点.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足
OA OB tOP +=uu r uu u r uu u r
（其中O 为坐标原点）
，求实数t 的取值范围. 21、已知函数2
1()ln 12
a f x a x x +=++ （1）当12a =
时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值 （2）讨论函数()f x 的单调性 （3）当10a -<<时，有2
()1ln()f x a a
>+
-恒成立，求a 的取值范围
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2015—2016学年第一学期单元测试
高三数学（文科）参考答案
2015.12
一、选择题
（1-5） B A C C C （6-10）D B C B C 二、填空题
11. 2 12. [)()1,22,+∞
13. 7
14. 2 15、()3,5
三、解答题
16.
17、解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，
则，解得，
故a n =1+（n ﹣1）=n+；
（Ⅱ）T 2n =a 1a 2﹣a 2a 3+a 3a 4﹣a 4a 5+…+a 2n a 2n+1
=a 2（a 1﹣a 3）+a 4（a 3﹣a 5）+…+a 2n （a 2n ﹣1a 2n+1） =﹣（a 2+a 4+a 6+…+a 2n ） =﹣（2n 2
+3n ）．
18. 证明：（Ⅰ）连接AC1交A1C 于点O ，连接OD ．………………………………2分
四边形11ACC A 为矩形，
O 为A1C 的中点，D 是AB 的中点， OD 为△ABC1 的中位线，OD//BC1, ……………………………4分 因为直线OD ⊂平面A1DC ，BC1⊄平面A1DC.
所以直线BC1∥平面A1DC. ………………………………6分
（Ⅱ）因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，
O
B
C
A
A 1
B 1
C 1
D
所以AA1⊥AB ，AA1⊥AC. ………………………………7分 因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线， 所以AA1⊥平面ABC. ………………………………9分
因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA1⊥BC. ………………………………10分 由BC ⊥AC ，BC ⊥AA1, AA1，AC 为平面ACC1A1内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC1A1. ………………………………12分
20、解：（I ）直线1+=x y 与x 轴交点为)0,1(-,1=c …………………………………1分
2
c e a =
=
， 1,2==∴b a ．……………………………3分 故椭圆C 的方程为12
22
=+y x ．…………………………………………………… 4分 （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在. 设AB ：(2)y k x =-，
由22
(2),1.2
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=.
422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212
k <
. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，
2122812k x x k +=+，2122
82
12k x x k
-=+…………………………………………………7分 ∵OA OB tOP +=，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，2
1228(12)
x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)
y y k
y k x x k t t t k +-=
=+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222
222222
(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，
∴2
2
2
16(12)k t k =+ ………………………………………………………………11分
22
2
2161616
422112222k t t k k
==<=<<+++，则-， ∴t 的取值范围是为)2,2(-. …………………………13分
21.解：（Ⅰ）当12a =-时，21()ln 124x f x x =-++，∴211
()222x x f x x x
--'=+=．
∵()f x 的定义域为(0,)+∞，∴由()0f x '= 得1x =． ---------------------------2分
∴()f x 在区间1[,]e e 上的最值只可能在1(1),(),()f f f e e
取到，
而2
251311(1),(),()42424
e f f f e e e ==+=+，
45)1()(,421)()(min 2max
=
=+==f x f e e f x f ．--4分
（Ⅱ）2(1)()(0,)a x a
f x x x
++'=
∈+∞，． ①当10a +≤，即1a ≤-时，()0,()f x f x '<∴在(0,)+∞单调递减；-------------5分 ②当0a ≥时，()0,()f x f x '>∴在(0,)+∞单调递增； ----------------6分
③当10a -<<时，由()0f x '>得2
,1a x x a ->
∴>
+x <
∴)(x f 在)+∞单调递增，在上单调递减； --------------------8分
综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增；
当10a -<<时，()f x 在)+∞单调递增，在上单调递减． 当
1
a ≤-时，
()
f x 在
(0,)
+∞单调递减；
-----------------------10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当10a -<<时，min ()f x f =
即原不等式等价
于
1ln()2
a
f a >+- ---------------------------12分
即111ln()212
a a a
a a a +-⋅+>+-+整理得ln(1)1a +>- ∴1
1a e
>
-， ------13分 又∵10a -<<，所以a 的取值范围为11,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
.-----14分。