(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测题(包含答案解析)(4)

一、选择题
1．如图，动点P 从点A 出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S ，若8BC =，点P 移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（ ）
A ．6
B ．4π
C ．8
D ．10
2．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ） A ．2m B ．2.5cm C ．2.25m D ．3m
3．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（ ）尺．
A ．26
B ．24
C ．13
D ．12 4．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 是BC 上一点，AD ＝BD ，若AB ＝8，BD ＝5，
则CD ＝（ ）
A ．2.1
B ．1.4
C ．3.2
D ．2.4 5．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A ．0.3，0.4，0.5 B ．9，40，41 C ．2，3，4 D ．123 6．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线D
E 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（ ）
A ．60BAC ∠=︒
B ．2CD BE =
C ．DE AC =
D ．122
CD BC AB =+ 7．下列各组数中是勾股数的是（ ） A ．4，5， 6
B ．1.5，2， 2.5
C ．11，60， 61
D ．1，3，2 8．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．∠
B ＝∠
C +∠A
B ．a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）
C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5
D ．a ：b ：c ＝3：4：5 9．一个直角三角形的两条边分别是9和40，则第三边的平方是（ ）
A ．1681
B ．1781
C ．1519或1681
D ．1519 10．如图所示的是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，这个图案是由“弦图”演变而来．“弦图”最早是由三国时期数学家赵爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（ ）
A ．《周髀算经》
B ．《几何原本》
C ．《九章算术》
D ．《孙子算经》 11．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（ ）
A ．36
B ．48
C ．54
D ．108 12．下列各组数是勾股数的是（ ）
A ．4，5，6
B ．5，7，9
C ．6，8，10
D ．10，11，12 二、填空题
13．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．
14．如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，过点D 作DE 垂直AB 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长是_______．
15．如图，在ABC 中，90C =∠，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若5AB =，3AC =，则ACD △的周长为__________．
16．已知一个直角三角形的两边长为3和5，则第三边长为______．
17．一根长16cm 牙刷置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是___．
18．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.
19．如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出40A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB =公里，4BC =公里，若每天凿通隧道0.3公里，问_________天才能把隧道AC 凿通．
20．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离______cm ．
三、解答题
21．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知4m AD =，3m CD =，AD DC ⊥，13m AB =，12m BC =，求这块地的面积．
22．如图，某斜拉桥的主梁AD 垂直于桥面MN 于点D ，主梁上两根拉索AB 、AC 长分别为13米、20米．
（1）若拉索AB ⊥AC ，求固定点B 、C 之间的距离；
（2）若固定点B 、C 之间的距离为21米，求主梁AD 的高度．
23．已知：如图，一块R t △ABC 的绿地，量得两直角边AC =8cm ，BC =6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD ，且扩充部分（△ADC ）是以8cm 为直角边长的直角三角形，求扩充等腰△ABD 的周长.
（1）在图1中，当AB =AD =10cm 时，△ABD 的周长为 ．
（2）在图2中，当BA =BD =10cm 时，△ABD 的周长为 ．
（3）在图3中，当DA =DB 时，求△ABD 的周长.
24．如图，已知AB=CD ，∠B=∠C ，AC 和BD 交于点O ，OE ⊥AD 于点E ．
（1）△AOB 与△DOC 全等吗?请说明理由；
（2）若OA=3，AD=4，求△AOD 的面积．
25．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AC 上一点，点E 、点F 是BC 上的点，且∠CDF =∠CEA ，CF =CA ．
（1）如图1，若AE 平分∠BAC ，∠DFC =25°，求∠B 的度数；
（2）如图2，若过点F 作FG ⊥AB 于点G ，连结GC ，求证：AG +GF =2GC ． 26．如图，在长方形纸片ABCD 中，9,3AD AB ==．将其折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．
（1）求线段BE的长．
（2）求线段BF的长．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出AB即可求解．【详解】
解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为AS=5，
根据题意，BS=1
2
BC=4，∠ABS=90°，
∴AB=22
AS BS
-=22
54
-=3，
∴圆柱的底面周长为2AB=6，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P移动的最短距离是AS是解答的关键．
2．A
解析：A
【分析】
设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】
解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．
设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2，
∴1.52+x2＝（x+0.5）2，
解得：x＝2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
找到题中的直角三角形，设水深为x 尺，根据勾股定理列方程可解答．
【详解】
解：由题意可知：BC=12
×10=5（尺） 设水深x 尺，则芦苇长（x+1）尺， 由勾股定理得：2225(1),x x +=+
解得：x=12，
∴这个水池的深度是12尺．
故选D ．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息建立数学模型是解题的关键． 4．B
解析：B
【分析】
设CD=x ，在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，利用勾股定理列式表示出AC 2，然后解方程即可．
【详解】
解：设CD=x ，则BC=5+x ，
在Rt △ACD 中，AC 2=AD 2-CD 2=25-x 2，
在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2-BC 2=64-（5+x ）2，
所以，25-x 2=64-（5+x ）2，
解得x=1.4，
即CD=1.4．
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC 2，然后列出方程是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．
【详解】
A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；
B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；
C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；
D ．1、2、3，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．
6．B
解析：B
【分析】
利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM ⊥BC 于M ，DN ⊥CA 的延长线于N ，
A 、在Rt ABC △中，90AC
B ∠=︒，30AB
C ∠=︒，
∴60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；
B 、∵DM ⊥B
C ，DN ⊥CA
∴∠DNC ＝∠DMC ＝90°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠DCN ＝∠DCM ＝45°．
∴∠DCN ＝∠CDN ＝45°．
∴CN=DN ．
则△CDN 是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM 也是等腰直角三角形，
∴222DN CN DN +=．222DM CM DM +，
∴DM=DN= CM=CN ，∠MDN ＝90°．
∵DE 垂直平分AB ，
∴BD=AD ，AB=2BE ．
∴Rt △BDM ≌△ADN ，
∴∠BDM=∠AND ．
∴∠BDM+∠ADM =∠AND+∠ADM ＝∠MDN ．
∴∠ADB=90°．
∴
=
．
即．
∵在Rt △AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，
∴AD ＞DN
．
∴2BE ＞CD ．故此选项说法错误．
C 、∵BD=A
D ，∠ADB=90°，
∴△ABD 是等腰直角三角形．
∴DE=12
AB ． 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∴AC=
12AB ． ∴DE=AC ．故此选项说法正确．
D 、∵Rt △BDM ≌△ADN ，
∴BM=AN ．
∴CN=AC+AN=AC+BM=CM ．
∴BC=BM+CM=AC+2BM ．
∵
， ∴
．
∵AC=12
AB ， ∴
12AB+BC ．故此选项说法正确． 故选：B ．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据勾股数的定义判断即可．
【详解】
解：A 、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；
B 、1.5， 2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
C 、112+602＝612，三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
D 不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数． 8．C
解析：C
【分析】
由三角形的内角和定理求解B 可判断,A 由勾股定理的逆定理可判断,B 由三角形的内角和定理求解 ,C ∠ 可判断,C 设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k == 利用勾股定理的逆定理可判断.D
【详解】
解：,180,B C A A B C ∠=∠+∠∠+∠+∠=︒
2180B ∴∠=︒，
90B ∴∠=︒，
故A 不符合题意； ()()222,a b c b c b c =+-=-
222,a c b ∴+=
90B ∴∠=︒，
故B 不符合题意； ::3:4:5,A B C ∠∠∠=
51807512
C ∴∠=⨯︒=︒， ABC ∴不是直角三角形，故C 符合题意，
::3:4:5,a b c =
设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k ==
()()()222
222234255,a b k k k k c ∴+=+===
90C ∴∠=︒，
故D 不符合题意， 故选：.C
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 9．C
解析：C
【分析】
由题意可分当第三边为直角边时和当第三边为斜边时，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：当第三边是直角边时，第三边的平方是402﹣92＝1519；当第三边是斜边时，第三边的
平方是402+92＝1681；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”即可解答．
【详解】
解：根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”，
故选：A ．
【点睛】
本题考查勾股定理，知道“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过是解答的关键． 11．C
解析：C
【分析】
根据图形的特征先算出4个三角形的面积之和，再除以4，即可求解．
【详解】
由题意得：15×15-3×3=216，
216÷4=54，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查“赵爽弦图”的相关计算，理清图形中的面积关系，是解题的关键． 12．C
解析：C
【分析】
根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．
【详解】
解：A. 222456+≠，故此选项错误；
B. 222579+≠，故此选项错误；
C. 2226810+=，故此选项正确；
D. 222101112+≠，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．
二、填空题
13．29【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图连接AC 由题意得：在中在中则正方形丁的面积为故答案为：29【点睛】本题考查了勾股定理的应用熟练掌 解析：29
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得222
30,16,17AB BC CD ===，再利用勾股定理可得2AD 的值，由此即可得出答案．
【详解】
如图，连接AC ，
由题意得：222
30,16,17AB BC CD ===，
在ABC 中，90ABC ∠=︒， 22246AC AB BC ∴=+=，
在ACD △中，90ADC ∠=︒，
22229AD AC CD ∴=-=，
则正方形丁的面积为229AD =，
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
14．【分析】连接AE 设CE ＝x 由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE 在Rt △ACE 中利用勾股定理即可求出CE 的长度【详解】解：如图连接AE 设∵点D 是线段AB 的中点且∴DE 是AB 的垂直平分线∴∴ 解析：76
【分析】
连接AE ，设CE ＝x ，由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE ，在Rt △ACE 中，利用勾股定理即可求出CE 的长度．
【详解】
解：如图，连接AE ，
设CE x =，
∵点D 是线段AB 的中点，且DE AB ⊥，
∴DE 是AB 的垂直平分线，
∴3AE BE BC CE x ==+=+，
∴在Rt ACE 中，222AE AC CE =+，
即()2
2234x x +=+， 解得76
x =
． 故答案为：76
． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质并利用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．
15．7【分析】先根据勾股定理求出BC 的长再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD 即AD+CD=BC 再由AC=6即可求出答案【详解】解：∵△ABC 中∠C=90°AB=5AC=3∴BC==4∵DE 是线段AB 的
解析：7
【分析】
先根据勾股定理求出BC 的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD ，即AD+CD=BC ，再由AC=6即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴222253AB AC --=4，
∵DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴AD=BD ，
∴AD+CD=BD+CD ，即AD+CD=BC ，
∴△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+BC=3+4=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出AD+CD=BC 是解题的关键．
16．4或【分析】分5是斜边和5是直角边两种情况再分别利用勾股定理即可
得【详解】由题意分以下两种情况：（1）当5是斜边时则第三边长为；（2）当5是直角边时则第三边长为；综上第三边长为4或故答案为：4或【点
解析：4或34
【分析】
分5是斜边和5是直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）当5是斜边时，
则第三边长为22
-=；
534
（2）当5是直角边时，
则第三边长为22
+=；
5334
综上，第三边长为4或34，
故答案为：4或34．
【点睛】
本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
17．3≤h≤4【分析】先根据题意画出图形再根据勾股定理解答即可【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大h最大=16-12=4cm当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小如图所示：此时AB==13cm故h=1
解析：3≤h≤4
【分析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大=16-12=4cm．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：
此时，2222
+=+=13cm，
125
AC BC
故h=16-13=3cm．
故h的取值范围是3≤h≤4．
故答案是：3≤h≤4．
【点睛】
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，
有一定难度．
18．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长 解析：9cm
【分析】
由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．
【详解】
∵90C ∠=︒ ∴
15BC ==
同理
6CD ===
∴1569BD BC CD =-=-=
故答案为：9cm ．
【点睛】
本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．
19．10【分析】根据勾股定理可求出BC 的长度然后除以每天凿隧道的长度可求出需要的天数【详解】解：∵∠A=40°∠B=50°∴∠C=90°即△ABC 为直角三角形∵AB=5kmAC=4km ∴故：所需天数==
解析：10
【分析】
根据勾股定理可求出BC 的长度，然后除以每天凿隧道的长度，可求出需要的天数．
【详解】
解：∵∠A=40°，∠B=50°，
∴∠C=90°，即△ABC 为直角三角形
∵AB=5km ，AC=4km
∴3BC km ==，
故：所需天数=
30.3
=10天． 故答案为：10．
【点睛】 本题主要是运用勾股定理求出所需凿隧道的长度．
20．15【分析】在侧面展开图中过C 作CQ ⊥EF 于Q 作A 关于EH 的对称点A′连接A′C 交EH 于P 连接AP 则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出A′QCQ 根据勾股定理求出A′C 即可【详解】解：沿过A 的圆
解析：15
【分析】
在侧面展开图中，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q ，CQ ，根据勾股定理求出A′C 即可．
【详解】
解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，
过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P ，连接AP ， 则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E ，A′P=AP ，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C ，
∵CQ=12
×18cm=9cm ，A′Q=12cm -3cm+3cm=12cm ， 在Rt △A′QC 中，由勾股定理得：2222A'Q CQ 129+=+=15(cm)，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
三、解答题
21．224cm ．
【分析】
连接AC ，勾股定理计算222234AD CD +=+形ABC 是直角三角形，计算两个直角三角形的面积差即可．
【详解】
解：连接AC
∵AD DC ⊥
∴∠ADC=90°，
在Rt △ADC 中，根据勾股定理，得 222234AD CD +=+
=5，
在△ABC 中，
∴22222251213AC BC AB +=+==，
△ABC 是直角三角形，
∴=-ABC ACD ABCD S S S 四边形 =51234-22
⨯⨯ =242m （）
．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC 是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
22．（1）5692）12米.
【分析】
（1）用勾股定理可求出BC 的长；
（2）设BD=x 米，则BD=（21-x ）米，分别在Rt ABD ∆中和Rt ACD ∆中表示出2AD ,于是可列方程22221320(21)x x -=--，解方程求出x,然后可求AD 的长.
【详解】
解：（1）∵AB ⊥AC
∴22221320569AB AC +=+
（2）设BD=x 米，则BD=（21-x ）米，
在Rt ABD ∆中，2222213AD AB BD x =-=-
在Rt ACD ∆中，2222220(21)AD AC CD x =-=--,
∴22221320(21)x x -=--，
∴x=5,
∴2213512AD -=（米）.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键.
23．（1）32m ；（2）（5m ；（3）
803
m 【分析】
（1）利用勾股定理得出DC 的长，进而求出△ABD 的周长；
（2）利用勾股定理得出AD 的长，进而求出△ABD 的周长；
（3）首先利用勾股定理得出DC 、AB 的长，进而求出△ABD 的周长．
【详解】
：（1）如图1，∵AB=AD=10m ，AC ⊥BD ，AC=8m ，
∴6()DC m ==
则△ABD 的周长为：10+10+6+6=32（m ）．
故答案为32m ；
（2）如图2，当BA=BD=10m 时，
则DC=BD-BC=10-6=4（m ），
故AD =
则△ABD 的周长为：
（
m ；
故答案为（
m ；
（3）如图3，∵DA=DB ，
∴设DC=xm ，则AD=（6+x ）m ，
∴DC 2+AC 2=AD 2，
即x 2+82=（6+x ）2，
解得；x=73
∵AC=8m ，BC=6m ，
∴AB=10m ，
故△ABD 的周长为：AD+BD+AB=2780610()33m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
24．（1）△AOB ≌△DOC ，理由见解析；（2）△AOD 的面积为
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AO=DO ，根据等腰三角形的性质得到AE=
12AD=2，由勾
股定理得到OE =
=
【详解】
（1）证明：在△AOB 和△DOC 中， AOB COD B C
AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， 所以△AOB ≌△DOC （AAS ）；
（2）因为△AOB ≌△DOC ，
所以AO＝DO，
因为OE⊥AD于点E．
所以AE
1
2
=AD＝2，
所以OE225
AO AE
=-=，
所以S△AOD
1
45
2
=⨯⨯=25．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（1）∠B=40°；（2）见解析．
【分析】
（1）先利用SAS证明△AEC≌△FDC，得出∠EAC=∠DFC=25°，从而得出∠BAC=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论
（2）过点C作GC的垂线交GF的延长线于点P，根据同角的余角得出∠PCF =∠GCA，再根据ASA得出△AGC≌△FPC，从而得出△GCP是等腰直角三角形，即可得出答案
【详解】
（1）在△AEC和△FDC中，
∵∠CDF=∠CEA CE=CD ∠C=∠C，
∴△AEC≌△FDC，
∴∠EAC=∠DFC=25°
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC=50°
∵∠C=90°，
∴在Rt△ABC中，∠B=90°－∠BAC=40°．
（2）如答图，过点C作GC的垂线交GF的延长线于点P
∴∠GCP = 90°
∴∠GCF＋∠PCF = 90°，
∵∠ACB = 90°
∴∠GCF ＋∠GCA = 90°，
∴∠PCF =∠GCA ．
∵∠ACB=90°，GF ⊥AB
∴∠B ＋∠BAC=∠B ＋∠BFG= 90°，
∴∠BAC=∠BFG ．
又∵∠PFC=∠BFG
∴∠GAC=∠PFC ．
由（1）知，△AEC ≌△FDC ，
∴CA=CF ，
∴△AGC ≌△FPC ，
∴GC=PC ，AG=FP ．
又∵PC ⊥GC ，
∴△GCP 是等腰直角三角形，
∴GF ＋FP=GP=2GC ，
∴AG ＋GF =2GC
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（1）5；（2）5．
【分析】
（1）设BE 长为x ，则,
9DE BE x AE x ===-，在Rt ABE △中由勾股定理列方程，解方程即可求得BE 的长；
（2）由//AD BC 得出DEF BFE ∠=∠，由折叠的性质得出DEF BEF ∠=∠，所以BEF BFE ∠=∠，得出BF BE =
【详解】
（1）设BE 长为x ，则,
9DE BE x AE x ===-．
在Rt ABE △中，90A ∠=︒， 222AB AE BE +=，即2223(9)x x +-=．
解得5x =，所以BE 的长为5．
（2）∵四边形ABCD 是长方形，//AD BC ∴．DEF BFE ∴∠=∠．
由折叠，得DEF BEF ∠=∠，
BEF BFE ∴∠=∠．
5BF BE ∴==．
【点睛】
本题考查了折叠的性质和应用，勾股定理的性质，解题的关键是灵活运用平行的性质、勾股定理等几何知识来解答．。