2020-2021学年陕西省西安一中高一(下)月考数学试卷(3月份)(附答案详解)

2020-2021学年陕西省西安一中高一（下）月考数学试卷
（3月份）
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列命题中正确的是()
A. 第一象限角必是锐角
B. 终边相同的角相等
C. 相等的角终边必相同
D. 不相等的角其终边必不相同
2.设集合M={x|x=2k−1
4π,k∈Z},N={x|x=4k±1
4
π,k∈Z}，则集合M，N的关系
为()
A. M⊊N
B. M=N
C. N⊊M
D. M∪N=M
3.设θ是第二象限角，则点P(sin(cosθ),cos(sinθ))在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
其终边上一点P绕原点顺时针旋转π
6到达点Q(3,4)的位置，则sin(α−π
6
)=()
A. −3
5B. 3
5
C. −4
5
D. 4
5
5.cos(−19π
6
)=()
A. −√3
2B. −1
2
C. 1
2
D. √3
2
6.已知sin200°=a，则tan160°等于()
A. −a
√1−a2B. a
√1−a2
C. −√1−a2
a
D. √1−a2
a
7.函数y=cos(2x+π
3
)图象的对称轴方程可能是()
A. x=−π
6B. x=−π
12
C. x=π
6
D. x=π
12
8.函数y=tan(π
4
−x)的定义域是()
A. {x|x≠π
4} B. {x|x≠π
4
,k∈Z}
C. {x|x≠kπ+π
4,k∈Z} D. {x|x≠3π
4
+kπ,k∈Z}
9.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点
()
A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π
8
个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π
4
个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，再向右平行移动π
4
个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，再向左平行移动π
8
个单位长度
10.在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA>sinB，则()
A. cosC>0
B. cosC<0
C. cosC=0
D. cosC≥0
11.若θ是直线l的倾斜角，且sinθ+cosθ=√5
5
，则l的斜率为()
A. −1
2B. −1
2
或−2 C. 1
2
或2 D. −2
12.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
)的部分
图象如图所示，若x1，x2∈[−π
6,π
3
]，且f(x1)=f(x2)，
则f(x1+x2)=()
A. 1
B. 1
2
C. √2
2
D. √3
2
二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）
13.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)−1(a,b，α，β均为非零实数)，若
f(2020)=3，则f(2021)=______．
14.若函数y=acosx+b的最大值为5，最小值为−1，则a=______，b=______．
15.方程x=sinx实根的个数为______．
16.若函数f(x)=xsinπx
2
+1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯…+f(2021)=______．
17.若函数y=cosx的图象沿x轴向右平移π
3
个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不
变，将横坐标缩小为原来的1
2
，则新图象对应的函数解析式是______．
三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）
18.(1)已知角α的终边经过点P(4,−3)，求2sinα+cosα的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a,−3a)(a≠0)，求2sinα+cosα的值；
(3)已知角α的终边上一点P(m,−√3)(m≠0)，且cosα=√2m
4
，求tanα．
19.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
(3)若α=π
3
，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
20.(1)化简：sin(4k−1
4π−α)+cos(4k+1
4
π−α)(k∈Z)．
(2)求函数f(x)=lnsin(cosx)−√16−x2的定义域．
21.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π
2
)的部分图象如图所示．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及f(x)图象的对称轴方程；
(Ⅱ)把函数y=f(x)图象上点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平
移π
6
个单位，得到函数y=g(x)的图象，求关于x的方程g(x)=m(0<m<2)在x∈
[−π
3,11π
3
]时所有的实数根之和．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断．
本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断．
【解答】
解：A、如角390°与30°的终边相同，都是第一象限角，而390°不是锐角，故A不对；
B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对；
C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确；
D、如角390°和30°不相等，但是它们的终边相同，故D不对．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：集合M={x|x=2k−1
4π,k∈Z},N={x|x=4k±1
4
π,k∈Z}，
对于集合M，当k=2m(m∈Z)时，x=mπ−π
4
，m∈Z；
当k=2m+1(m∈Z)时，x=mπ+π
4
，m∈Z．
∴M=N．
故选：B．
对于集合M，当k=2m(m∈Z)时，x=mπ−π
4
，m∈Z；当k=2m+1(m∈Z)时，x=
mπ+π
4
，m∈Z，由此推导出M=N．
本题考查命题真假的判断、并集、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B
【解析】解：∵θ是第二象限角，∴0<sinθ<1，−1<cosθ<0，
故sinθ为第一象限角，cosθ为第四象限角，
∴sin(cosθ)<0，cos(sinθ)>0，
故点P(sin(cosθ),cos(sinθ))在第二象限．
根据θ是第二象限角，得出sinθ，cosθ的范围，进一步得到sin(cosθ)<0，cos(sinθ)>0，从而判断点P所在象限．
本题考查了三角函数值的符号，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：依题意可知Q(3,4)在角α−π
6
的终边上，
所以sin(α−π
6)=
√32+42
=4
5
．
故选：D．
由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了诱导公式，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．
【解答】
解：原式=cos(19π
6
)
=cos(3π+π6 )
=−cosπ
6=−√3
2
．
故选A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，直接利用诱导公式化简求解即可．
解：sin200°=a，sin(180°+20°)=−sin20°，可得：sin20°=−a，cos20°=√1−a2，
则tan160°=tan(180°−20°)=−tan20°=−sin20°
cos20∘=−−a
√1−a2
=a
√1−a2
．
故选B．7.【答案】A
【解析】解：由2x+π
3=kπ(k∈Z)，得x=kπ
2
−π
6
(k∈Z)，
令k=0，得x=−π
6
，
故选：A．
利用余弦函数的对称性可得答案．
本题考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】D
【解析】解：函数y=tan(π
4−x)=−tan(x−π
4
)，
令x−π
4≠π
2
+kπ，k∈Z，
解得x≠3π
4
+kπ，k∈Z，
∴函数y的定义域是{x|x≠3π
4
+kπ,k∈Z}．
故选：D．
根据正切函数的定义域，求函数y的定义域．
本题考查了正切函数的定义域应用问题，是基础题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的诱导公式和三角函数的图象变换规律，属于基础题．由可得解．
解：因为
，
故将函数y=√2cos(2x−π
4
)的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y=√2sin(x+π
4
)，
再向右平行移动π
4
个单位长度，即可得到的图象．
故选B．
10.【答案】B
【解析】解：因为cosA>sinB，
所以sin(π
2
−A)>sinB，
又角A，B均为锐角，则0<B<π
2−A<π
2
，
所以0<A+B<π
2
，
且△ABC中，A+B+C=π，
所以π
2
<C<π．
所以cosC<0．
故选：B．
利用cos(π
2
−α)=sinα及正弦函数的单调性可求C的范围，进而可求cosC<0，即可得解．
本题考查诱导公式及正弦函数的单调性，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：∵sinθ+cosθ=√5
5
①，
∴(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1
5
，
∴2sinθcosθ=−4
5
，
∴(sinθ−cosθ)2=9
5， ∴sinθ−cosθ=
3√5
5
，② 解得：{
sinθ=2√5
5
cosθ=−
√5
5
, 故tanθ=−2， 所以l 的斜率为−2， 故选：D ．
求出sinθ，cosθ的值，得tanθ=−2，即可求出直线l 的斜率． 本题考查直线的倾斜角与斜率，同角三角函数的基本关系，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：由图知，A =1，T
2=π
3−(−π
6)=π
2， 所以T =
2πω
=π，解得ω=2；
由“五点作图法”知，2×(−π
6)+φ=0， 所以φ=π
3，
所以f(x)=sin(2x +π
3).
又x 1，x 2∈[−π6,π
3]，且f(x 1)=f(x 2)， 所以x 1+x 2=2×
π3+(−π6
)2=π
6， 所以f(x 1+x 2)=f(π6
)=sin(π3
+π3
)=√3
2
，
故选：D ．
利用正弦函数的图象与性质可求得f(x)=sin(2x +π3)，x 1，x 2∈[−π6,π
3]，且f(x 1)=f(x 2)⇒x 1+x 2=2×
π3+(−π6
)2
=π
6
，从而可得答案． 本题主要考查了由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
13.【答案】−5
【解析】解：f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)−1=asinα+bcosβ−1=3，
∴asinα+bcosβ=4，
f(2021)=asin(2021π+α)+bcos(2021π+β)−1=−asinα−bcosβ−1=−4−1=−5． 故答案为：−5．
根据诱导公式，先化简f(2020)，可得asinα+bcosβ=4，再化简f(2021)=−asinα−bcosβ−1，从而得解．
本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】±3 2
【解析】解：①当a >0时，函数y =acosx +b 的最大值为5，最小值为−1， 所以{
a +
b =5−a +b =−1
，解得a =3，b =2．
当a <0时，{
−a +b =5
a +
b =−1，解得a =−3，b =2．
故答案为：±3，2．
直接利用分类讨论思想的应用和函数的性质的应用求出a 和b 的值．
本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：方程x =sinx 实数根的个数可以转化为函数 y =x ，y =sinx 图象交点的个数，
在同一直角坐标系中，两函数的图象如下图所示：
通过图象可知只有一个交点，
故答案为：1．
运用转化法，数形结合法进行判断即可得．
本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形思想，转化思想的应用，属于中档题．16.【答案】3032
+1，
【解析】解：根据题意，函数f(x)=xsinπx
2
则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=(1+1)+(0+1)+(−3+1)+(0+1)=2，
同理：f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=2，
……
f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=2，
f(2021)=2021+1=2022，
故f(1)+f(2)+f(3)+⋯…+f(2021)=2×505+2022=3032；
故答案为：3032．
根据题意，由函数的解析式分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)、f(5)+f(6)+f(7)+ f(8)……和f(2021)的值，相加计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及三角函数的求值，属于基础题．
)
17.【答案】y=cos(2x−π
3
【解析】解：函数y=cosx的图象沿x轴向右平移π
个单位，再将图象上的每个点的纵
3
坐标不变，
可得y =cos(x −π
3)的图象；
再将横坐标缩小为原来的1
2，则新图象对应的函数解析式是y =cos(2x −π
3)， 故答案为：y =cos(2x −π3).
由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．
18.【答案】解：(1)角α的终边经过点P(4,−3)，∴sinα=√16+9=−3
5，cosα=√16+9=4
5， ∴2sinα+cosα=−6
5+4
5=−2
5．
(2)∵角α的终边经过点P(4a,−3a)(a ≠0)，r =√x 2+y 2=5|a|， ∴当a >0时，r =5a ，∴sinα=
−3a 5a =−35,cosα=45，∴2sinα+cosα=−2
5
； 当a <0时，r =−5a ，∴sinα=−3a
−5a =3
5,cosα=−4
5.∴2sinα+cosα=2
5． 综上，2sinα+cosα=±2
5．
(3)∵角α的终边上一点P(m,−√3)(m ≠0)，且cosα=√
2m 4
，
∴r 2=|OP|2=(−√3)2+m 2(O 为原点)，r =√3+m 2． 所以，即3+m 2=8， 解得m =±√5．
当m =√5时，cosα=√10
4,sinα=−√6
4,tanα=sinα
cosα=−√
15
5
； 当m =−√5时，cosα=−√104
,sinα=−√64
,tanα=
sinαcosα
=
√15
5
．
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得α的正弦值和余弦值，可得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)l =10×π
3=
10π3
(cm)．
(2)由已知得：l +2R =20，
所以S =1
2lR =1
2(20−2R)R =−(R −5)2+25． 所以R =5时，S 取得最大值25，此时l =10，α=2rad ．
(3)设弓形面积为S 弓，由题知l =
2π3
cm ，
S 弓=S 扇−S △=
12×2π3×2−12×2×√3=2π3
−√3(cm 2).
【解析】本题主要考查了弧长公式，二次函数的图象和性质，扇形的面积公式，考查了转化思想，属于中档题． (1)利用弧长公式即可计算得解．
(2)由已知得l +2R =20，可求S =−(R −5)2+25，利用二次函数的图象即可得解． (3)由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积．
20.【答案】解：(1)原式=sin[kπ−(π
4+α)]+cos[kπ+(π
4−α)]，
当k 为奇数时，设k =2n +1(n ∈Z)，
原式=sin[(2n +1)π−(π
4+α)]+cos[(2n +1)π+(π
4−α)] =sin[π−(π
4
+α)]+cos[π+(π
4
−α)]=sin(π
4
+α)+[−cos(π
4
−α)]
=sin(π4
+α)−cos[π2
−(π4
+α)]=sin(π4
+α)−sin(π
4
+α)=0；
当k 为偶数时，设k =2n(n ∈Z)，
原式=sin[2nπ−(π
4+α)]+cos[2nπ+(π
4−α)]=−sin(π
4+α)+cos(π
4−α) =−sin(π
4
+α)+cos[π
2
−(π
4
+α)]=−sin(π
4
+α)+sin(π
4
+α)=0，
综上所述，原式=0．
(2)由题意知，{sin(cosx)>016−x 2≥0，即{2kπ<cosx <2kπ+π,k ∈Z
−4≤x ≤4， 又−1≤cosx ≤1， ∴0<cosx ≤1，
∴x ∈(2kπ−π
2,2kπ+π
2)，k ∈Z ，
∵−4≤x ≤4， ∴x ∈(−π2,π
2)，
故函数的定义域为(−π2,π
2)．
【解析】(1)分两种情况：k 为奇数和k 为偶数，结合诱导公式进行讨论，即可得解； (2)由题意知，{sin(cosx)>0
16−x 2≥0，再结合正弦函数和余弦函数的图象与性质，得解．
本题考查诱导公式的应用，三角函数的图象与性质，对数函数的定义域等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T =
11π12
−(−π
12)=π，
∴ω=
2πT =2．
∵点(−π
12,0)在函数图象上， ∴Asin(−2×
π12
+φ)=0，即sin(φ−π
6
)=0，
又∵−π
2<φ<π
2， ∴−
2π3
<φ−π6<π3，从而φ=π
6．
又∵点(0,1)在函数图象上，∴1=Asin π
6，A =2． 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x +π
6). 令2x +π
6=kπ+π
2，k ∈Z ， 解得x =
kπ2+π
6
，k ∈Z ， 即函数f(x)图象的对称轴方程为x =
kπ2
+π
6
，k ∈Z ； (Ⅱ)依题意，得g(x)=2sin(x +π
3)， ∵g(x)=2sin(x +π
3)的周期T =2π，
∴g(x)=2sin(x +π
3)在x ∈[−π3,
11π
3
]内有2个周期．
令x +π
3=kπ+π
2，(k ∈Z)， 所以x =π6+kπ，(k ∈Z)，
即函数g(x)=2sin(x +π
3)的对称轴为x =π
6+kπ(k ∈Z)． 又x ∈[−π3,
11π
3
]，则x +π
3∈[0,4π]，
且0<m <2，所以g(x)=m ，(0<m <2)在x ∈[−π3,11π
3
]内有4个实根，
不妨从小到大依次设为x i (i =1,2，3，4)，
则x1+x2
2=π
6
，x3+x4
2
=13π
6
．
∴关于x的方程g(x)=m(0<m<2)在x∈[−π
3,11π
3
]时，
所有的实数根之和为x1+x2+x3+x4=14π
3
．
【解析】本题考查正弦函数的图象性质，涉及y=Asin(ωx+φ)的函数解析式的求法以及函数图象的变换，关键是求出函数的解析式，属于中档题．
(Ⅰ)由函数的图象分析可得T的值，分析可得ω的值，将点(−π
12
,0)代入函数的解析式，分析可得φ的值，将点(0,1)代入函数的解析式可得A的值，即可得f(x)的解析式，分析可得图象的对称轴方程；
(Ⅱ)根据题意，求出函数y=g(x)的解析式，结合正弦函数的图象分析可得答案．。