2022-2023学年北京市海淀区高三下学期期中考试数学试题(PDF版)

海淀区2022-2023第二学期期中练习
高三数学
2023.4
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}
{}13,0,1,2,A x x B =<<=则A B =I （A ）{2}
（B ）{0，1}
（C ）{1，2}
（D ）{0，1，2}
（2）若2,a i i b i a b R +=+∈（）（），其中i 是虚数单位，则a b += （A ）-1
（B ）1
（C ）-3
（D ）3
（3）在等差数列{}n a 中，241,5a a ==,则8a = （A ）9
（B ）11
（C ）13
（D ）15
（4）已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 的横坐标为4，则PF =
（A ）2
（B ）3
（C ）4 （D ）5
（5）若4
4
3
2
432101x a x a x a x a x a -=++++（）,则 4321a a a a -+-=
（A ）-1
（B ）1
（C ）15
（D ）16
（6）已知直线y x m =+与圆2
2
:4O x y +=交于A ，B 两点，且△AOB 为等边三角形，则m 的值为
（A ）
（B ）
（C ）2±
（D ）
（7）在△ABC 中，90C ∠=，30B ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D .若
AD AB AC λμ=+uuu r uu u r uu u r ()R λμ∈，则λμ
=
（A ）
13
（B ）
12
（C ）2 （D ）3
（8）已知二次函数()f x ，对任意的x R ∈，有()()22f x f x <,则()f x 的图象可能是
（9）已知等比数列{}n a 的公比为q ,且1q ≠，记121,2,3n n T a a a n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（），则“10a >且1q >”是“n T （）为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）即不充分也不必要条件
（10）刘老师沿着某公园的环形跑道（周长大于1km ）按逆时针方向跑步，他从起点出发，
并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数。

已知刘老师共跑了11km ，恰好回到起点，前5km 的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为 （A ）7
（B ）8
（C ）9
（D ）10
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）不等式
1
02
x x ->+的解集为_________.
（12）已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的渐近线方程为,y =则C 的离心率为_________.
（13）已知函数()sin()(02)f x x ϕϕπ=+≤<.若()f x 在区间,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
则ϕ的一个取值可以为_________. （14）设函数(1)(1),1,
()lg 1.x a x x f x x a
x -++<⎧=⎨
-≥⎩ ①当0a =时，((1))f f =_________；
②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是_________.
（15）在△ABC 中，90,2,ACB AC BC D ∠===是边AC 的中点，E 是边AB 上的动点（不与A B ，重合），过点E 作AC 的平行线交BC 于点F ，将△BEF 沿EF 折起，点B 折起后的位置记为点P ，得到四棱锥P ACFE -，如图所示，给出下列四个结论： ①AC ∥平面PEF ；
②△PEC 不可能为等腰三角形； ③存在点,E P ,使得PD AE ⊥；
④当四棱锥P ACFE -的体积最大时，AE =其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,,AC BC AA AC BC ===⊥D 是
1AA 的中点.
（I ）证明：1C D ⊥平面BCD ；
（II ）求直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值.
（17）（本小题14分）
在ABC ∆中，sin 2sin b A B =. （I ）求A ∠；
（II ）若ABC ∆的面积为再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，求a 的值.
条件①：sin 7C =
；条件②：4b c =；条件③：cos 7
C = 注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调査，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户,分别记为4组和8组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.
（I ）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；
（II ）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ,估计X 的数学期望E （X ）；
（III ）从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数,比较方差1()D ξ与2()D ξ的大小.（结论不要求证明）
（19）（本小题14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为
1212,,,2,B B B B =四边形1122A B A B 的周长为（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M ’，直线M ’N 与y 轴交于点Q ，若△OPQ 的面积为2，求k 的值.
（20）（本小题15分） 已知函数()ax
f x e x =-，
（I ）当1a =时，求曲线y f x =()在点0))f x (，(处的切线方程； （II ）求f x ()的单调区间；
（III ）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()9f x f x ≥，求a 的取值范围.
（21）（本小题15分） 已知数列{}n a .给出两个性质：
①对于{}n a 中任意两项()i j a a i j ≥，在{}n a 中都存在一项k a ，使得k i j a a a =； ②对于{}n a 中任意连续三项12,,,n n n a a a ++均有12121
()()0.2
n n n n n n a a a a a a ++++----= （I ）分别判断一下两个数列是否满足性质①，并说明理由： （i ）有穷数列{}1
:2
(1,2,3)n n n a n a -==；
（ii ）无穷数列{}:21(1,2,3)n n n n b b =-=⋅⋅⋅.
（II ）若有穷数列{}n a 满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m 的最大值； （III ）若数列{}n a 满足性质①和性质②，且1230,1,2,a a a ><-=求{}n a 的通项公式.。