不等式的基本性质

110,又 a0, aa0, 一
dc
dc
性质四
又 ab0,10, ab0,二
c cc
性质四
由一二可得
ab还0有,其a他 方b d c 法d吗 c
性质二
性质六
c> d > 0性质{四cc>d d o
c1 d1 0 cd cd
1 10 dc
课堂互动讲练
一．实数大小的比较
一数轴上的点与实数一一对应可以利用数轴上点的左
二．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实可以得到不等式的一些基
本性质：
一如果a＞b那么b＜a；如果b＜a那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a .
二如果a＞bb＞c那么
.a即＞ac＞bb＞c⇒ . a＞c
三如果a＞b那么a＋c> b＋. c
四如果a＞bc>0那么ac bc；>如果a>bc<0那么ac bc.
b是正数；如果a=b那么a-b等于零；如果a < b那么a-b 是负数；反过来也对.
用数学式子表示为:
表示等价于
a b a - b 0 a b a - b 0 a b a - b 0
基本理论
a b a-b 0；
a b a-b 0；
ab a-b0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序而右 边部分则是实数的运算性质合起来就成为实数的 大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质不仅 可以用来比较两个实数的大小而且是推导不等式 的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
20＞ 0
所以 （x+1)(x+2) ＞ （x-3)(x+6)
课堂小结与作业
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式；同解不等
二.比较两个实数大小的主要方法:
式．
一作差比较法：作差—变形——定号——下结论；
三.不等式的基本性质.六条 课外作业： 一.p九第一题写在书上 二.记忆并默写不等式的基本性质 二.P九第二题写在本上
基本方法
思考： 从上述事实出发你认为可以用什么方法比较两 个实数的大小
要比较两个实数a与b的大小可以转化为比较它们 的差a- b 与0的大小. 在这里0为实数比较大小提 供了标杆.
例一比较 x2 3与3x的大小
解 ： (x2 3)-3x
作差
x2-3x3
：变
作小分差四(x比步x2--较进33x大行)22 332-2 323 形
（ x 2 1 0 x 2 1 ）- （ x 2 1 0 x 2 4 ）
-3 ＜ 0
所以 （x+3)(x+7) ＜（x+4)(x+6)
变形 断号
作结
尝试探索建立新知
等式有等式两边加或减同一个数等式仍然成立 “等式两边乘或除以同一个数等式仍然成立”等 性质类比等式的基本性质不等式有哪些基本性质 呢
a b b a
( 2 ) 如 a b , b c 果 , 那 a c . 即 a 么 b 加, b 法 法c 则 a c
(3 ) 如 a b 果 ,那 a c 么 b c .
乘法法则
(4 )如 a b 果 ,c 0 ,那 a 么 c b;如 ca b 果 ,c 0 ,
那 a 么 c b.c
一.实数在数轴上的性质: 数轴上的点与实数一一对应因此可以利用
数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
数轴上
一一对应
的点
实数
二
Op
x
基本理论
Ａ
Ｂ
Ｂ
Ａ
a a<b b
x
b a>b a x
设a 、b是两个实数它们在数轴上所对应的点分别是A 、
B
那么当点A在点B的左边时a< b；
当点A在点B的右边时 a > b. 关于ab的大小关系有以下基本事实: 如果a > b那么a-
4
>0
断号
x233x
作结
常见的变形手段是: 通分、因式分解或配方等； 变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平 方式等.
课堂训练
例 2 比 较 （ x + 3 ) ( x + 7 ) 和 （ x + 4 ) ( x + 6 ) 的 大 小
解：因为
（x+3)(x+7)-（x+4)(x+6) 作差
条件，a>b⇒an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ n a > n b (n＝2k＋ 1，k∈N＋)．
课堂互动讲练
1 比 较 （ x + 1 ) ( x + 2 ) 和 （ x - 3 ) ( x + 6 ) 的 大 小
解：因为 （x+1)(x+2)-（x-4)(x+6)
（ x 2 3 x 2 ）- （ x 2 3 x - 1 8 ）
同向不等式:
在两个不等式中如果每一个的左边都大于右边或
每一个的左边都小于右边不等号的方向相同.
异向不等式： 在两个不等式中如果一个不等式的左边大于右边而
另一个的左边小于右边不等号的方向相反.
基本概念
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式.
其它重要概念: 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
基本理论 研究不等式的出发点是实数的大小关系
选修四-五
一.一.一 不等式 的
基本性质
基本概念
观察以下四个不等式：
不等号的方
a+二> a+一
--------------一
a+三 > 三a
-------------二
三x+一<二x+六 --------------三
X<a
--------------四
向⑴之与⑵间、有⑶什 与么⑷同关向系⑴
⑵与⑶⑷反 向
乘方法则
( 5 ) 如 a b 果 0 ,那 a n b n 么 ( n N ,n 2 ).
( 6 ) 如 a b 果 0 ,那 n a n b 么 ( n N ,n 开2 ) 方法.则
注意： 一.注意公式成立的条件要特别注意符号问题；
二.以上不等式的基本性质可以得到严格证明；
二.要会用自然语言描述上述基本性质；
三.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问 题的理论基础.
例如利用不等式的基本性质可以得到下列 结论：
(i)如 a b 果 c ,那 a 么 c- b . 移项法则 ( i) 如 i a b ,果 c d ,那 a c 么 b d .同向不等式相加
课堂互动讲练
(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ．
(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽
右位置关系来规定实数的 大小．在数轴上右边的数总比左
边的数 ．大
二如果a－b＞0则 a＞；b如果a－b＝0则 a；＝如b 果a
－b＜0则
. a＜b
三比较两个实数a与b的大小归结为判断它们的 差a
－b的符号 ；比较两个代数式的大小实际上是比较它们的
值的大小而这又归结为判断它们的 差的符号．
课堂互动讲练
（ⅲ）如 a b 果 0 ,c d 0 ,那 a 么 c b.d
同向正数不等式相乘
(ⅳ) 如果a＞ b，ab＞0则1＜ 1 ab
同号两数大的倒数较小小的倒数较大
例 2实已 数的a大 知 b 小与0,c 它们d 的0差,求 的关d a 证 系b c
证 : c d 明 0 , c 0 d ,c - d 0 ,1 0 , 1 - 1 c - d 0 cddccd
等式的基本研性究质实是数从的数关的系运时算联的角 度提出的同样系的实由数于的不运等算式是也一研种究实数 之间的关系所以基联本系的实数数学的思运想算加减乘 除乘方开方等来思考不等式的基本性质 非常自然的
基本性质 由两个实数大小关系的基本对事称实性得出不等式 的基本性质: ( 1 ) 如 a b 果 ,那 b a 么 ;如 b 传a 果 ,递那 性 a b 么 .即
<
课堂互动讲练
(5)如果a>b>0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2)．
(6)如果a>b>0，那么n a ＞ n b(n∈N，n≥2)．
三．对上述不等式的理解 使用不等式的性质时一定要清楚它们成立的前提条件 不可强化或弱化它们成立的条件盲目套用例如： 一等式两边同乘以一个数仍为等式但不等式两边同乘 以同一个数c或代数式结果有三种：一c＞0时得 同不向等 式；二c＝0时得 等式；三c<0时得 异向不等式．