高等数学微积分学习方法及联系题汇总

01：函数概念五要素，定义关系最核心。

02：分段函数分段点，左右运算要先行。

03：变限积分是函数，遇到之后先求导。

04：奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。

05：单调增加与减少，先算导数正与负。

06：正反函数连续用，最后只留原变量。

07：一步不行接力棒，最终处理见分晓。

08：极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。

09：幂指函数最复杂，指数对数一起上。

10：待定极限七类型，分层处理洛必达。

11：数列极限洛必达，必须转化连续型。

12：数列极限逢绝境，转化积分见光明。

13：无穷大比无穷大，最高阶项除上下。

14：n项相加先合并，不行估计上下界。

15：变量替换第一宝，由繁化简常找它。

16：递推数列求极限，单调有界要先证，
两边极限一起上，方程之中把值找。

17：函数为零要论证，介值定理定乾坤。

18：切线斜率是导数，法线斜率负倒数。

19：可导可微互等价，它们都比连续强。

20：有理函数要运算，最简分式要先行。

21：高次三角要运算，降次处理先开路。

22；导数为零欲论证，罗尔定理负重任。

23：函数之差化导数，拉氏定理显神通。

24：导数函数合（组合）为零，辅助函数用罗尔。

25：寻找ξη无约束，柯西拉氏先后上。

26：寻找ξη有约束，两个区间用拉氏。

27：端点、驻点、非导点，函数值中定最值。

28：凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。

29：数字不等式难证，函数不等式先行。

30：第一换元经常用，微分公式要背透。

31：第二换元去根号，规范模式可依靠。

32：分部积分难变易，弄清u 、v 是关键。

33：变限积分双变量，先求偏导后求导。

加日志标题 34：定积分化重积分，广阔天地有作为。

35；微分方程要规范，变换，求导，函数反。

36：多元复合求偏导，锁链公式不可忘。

37：多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。

38：多重积分的计算，累次积分是关键。

39：交换积分的顺序，先要化为重积分。

40：无穷级数不神秘，部分和后求极限。

41：正项级数判别法，比较、比值和根值。

42：幂级数求和有招，公式、等比、列方程.
一.填空题（每题3分）
1.设),3
4
,2(),1,2,3(k b a ==→
→
，若→→b a //，则=k _____
2.设
2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____
3. 设向量{}{}，
，，，，，111321-=-=则向量积⨯= 。

4. 幂级数1
11010
-∞
=∑n n n x n 的收敛半径是：=R 。

5.幂级数
∑∞
=--1
1
2)
1(n n
n n
x 的收敛半径=R _____ 6.已知函数
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==0
0),(2
2
222
2y x y x y x xy y x f z ，在点)0,0(处对x 的一
阶导数
=)0,0(x f _____
7.设x y x
D 4:22
≤+，则⎰⎰D
dxdy y x f ),(在极坐标系下的二次积分为_____
8.=→→x xy y x )
sin(lim 22
0_____ 9.函数)2sin(y x e z x
+=-在点)4
,0(π
处的全微分为_____
10.若级数
∑∞
=+1
3
1
n p n
发散，则
≤p _____
11.设由方程
022222=-++z z y x 确定隐函数),(y x f z =，则
=∂∂x
z
_____ 12．设),(y x f 在点（a ，b ）处的偏导数存在，则=--+→x
b x a f b x a f x )
,2(),(lim 0。

13．化二次积分为极坐标系下的二次积分
=+⎰⎰dy y x
f dx x
x
)(22
32。

14．已知=∂∂=y
z
Lny z x 则
, .
15．设D 为：⎰⎰=≤≤≤D
xydxdy x y 二重积分的值,10 .
16．幂级数()=--∑∞
=--R x n x n
n n n 的收敛半径1
121)12)1( . 17．xy e z =在点（2，1）处的全微分dz = .
18．⎰⎰--D
d y x a σ222= 其中.:222a y x D ≤+
19．若级数)1
2(1
∑∞
=+-
n n n n
u 收敛，则n x u ∞→lim = .
20．设{}
1),(22≤+=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=+D
dxdy y x 322)( 。

21．已知函数,2x y z =则
y
z
∂∂= 。

二.选择题（每题3分）
110
1111
000
11
110
1(,)()
(,)()
(,)()(,)()(,)x
x
x y y
dx f x y dy A dy f x y dx B dy f x y dx C dy f x y dx
D dy f x y dx
-----⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
、二次积分
等于（ ）
2.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ）
A. 14
1332+=--=--z y x
B. 24
1332-=--=-z y x C. 1
4
1332--=-=-z y x
D. 1
4
1332-=-=--z y x
1
1
3
1
1
31
()(1)
()(1)sin
11
()(1)()
(1)(sin )6n
n
n n n
n
n
n n n
A B n n C D n π
∞
∞
==∞
∞
==--+--∑∑∑∑、下列数项级数中为条件收敛的级数是（ ）
4.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰
D
xy
dxdy xe （ ） A. 0
B. e
C. e
1
D. e
11+
5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）
A.∑∞
=+-11)1(n n n n B.∑∞=-1)1(n n n C.∑∞=-11)1(n n n D.∑∞
=-1
21)1(n n n 6.设点)0,0(是函数),(y x f 的驻点，则函数),(y x f 在)0,0(处（ ）
A.必有极大值
B.可能有极值，也可能无极值
C.必有极小值
D.必无极值
7.二重积分=+⎰⎰D
d y x σ)(22（ ），其中区域2:22≤+y x D 所围成的
闭区域 A.π
B.π2
C.π4
D.π8
8.若在点M 处可微，则在点M 处沿任何方向的方向导数（ ） A.必定存在
C.可能存在也可能不存在
B.必定不存在 D.仅在x 轴y 轴方向存在，其它方向不存在
9.设),(2
2
2
z y x xy f u ++=，则=∂∂z
u
（ ） A.
212zf f +
B.
212zf yf + C.212zf xf + D.22zf
10．设D 为：⎰⎰=+≤+D
dxdy y x R y x 22222,二重积分的值（ ）。

A .2R π B. 22R π C.
323R π D. 42
1
R π
11．若正项级数则收敛，n
n k
∑
∞
=11
( ). A. 1>k B.1≥k C. 1<k D. 1≤k 12．函数),(y x f 在
()),(,00y x y x =处可微是在该处连续的（ ）条件.
A.充分
B.必要
C.充分必要
D.无关的 13．函数xy z sin =在(0，1)处的全微分=dz ( ).
A. dx
B. dy
C. dx -
D. dy - 14．设D 为：()
=+≤+⎰⎰dxdy y x R y x D
22222,二重积分的值( ).
A. 3R π
B. 332R π
C. 42
1
R π D. 4R π 15．若级数()∑
∞
=-11n k
n n 绝对收敛 ，则（ ）。

A. 1>k
B. 1≥k
C. 1<k
D. 1≤k
16．设D 是圆域1)0(,222D a a y x >≤+是D 在第一象限部分区域，则
⎰⎰++D
d y x σ)1(=（ ）.
A. ⎰⎰++1
)1(4D d y x σ B.
⎰⎰
++1
)1(D d y x σ C. 2a π D. 0 17．下列级数中发散的级数是（ ）.
A. ∑∞
=+1)
1(1
n n n B.
∑∞
=-1
)1(n n
n C. ∑
∞
=1
1
n n
D. ∑∞
=1
2
1
n n
18．函数xy z =在（0，0）点处一定为（ ）
A. 极大值
B. 极小值
C. 无法确定
D. 不取得极值
19．函数xy e z
-=在（1，0）处的全微分=dz （ ）。

A. dx
B.dy
C. dx -
D. dy -
20．设{}10),(≤≤≤=x y y x D ，则二重积分⎰⎰D
xdxdy =（ ）。

A.
61 B. 21 C. 31 D. 6
5
21．下列级数中收敛的是（ ）。

A. ∑∞
=-1
)1(n n
n B.
∑∞
=+11
21
n n C. ∑∞
=12
2n n
n
D. ∑∞
=1
1
sin n n
三.计算题（每题7分，共49分）
1322()().
i j k i j k αβαβααβ=--=+-⋅-⨯、已知向量和，求2222(,)42008.
z z x y x y z z dz =++-=、设函数由方程所确定，求设222(,,)42008F x y z x y z z =++--，2,2,24x y z F x F y F z ===- (3分)
,.22z x z y x z y z ∂∂==∂-∂- (6分) 22x y
dz dx dy z z
=+--。

(7分) 3.
判
别
级
数
∑∞
=+12
31
n n 的敛散性
11313212lim lim lim (3)1(3)
332222
11.n n n n n n n n n
u u ++→∞→∞→∞++===<++分分所以收三敛（、分）
2
11
4.y x
dx e
dy -⎰⎰、计算二次积分
4、解：2
2
1
1
10
y
y y x
dx e dy dx e dy --=⎰⎰⎰⎰ (3分)
( 4分) 1112e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
(7分)
5.设z
e z y x =-+2
，求
y
z x z ∂∂∂∂, 2()()(1)2.2(3)212(1),111z z z z z
d x y z d
e dx ydy dz e dz dx ydy z z y
dz e x e y e +-=+-=+∂∂=
==
+∂+∂+分所以分解得分所以（亦可用隐含数求导）
2
1
y ye dy
-=⎰
21
1
(2)
6(1)21n n n x n +∞
=--+∑、求级数的收敛域。

6、解：令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1212)1(n n n n t 2123
21232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；
(3分)
当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞
=++-1
1
1
21
)1(n n n 收敛； (5分)
当1=t 即3=x 时，级数∑∞
=+-11
21
)1(n n
n 收敛；∴级数的半径为R=1，收敛域为[1，3]。

( 7分)
7.计算二次积分⎰⎰
-+=1
10
222
)sin(y dx y x dy I
1
220
1
22
sin (3)
sin (2)(1cos1)(2)
4
3.4
dr r rd r dr π
θπ
π
=⋅=
=
-⎰⎰⎰原式分分分
8.求二重积分⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++D y x dxdy xe
y )(2
12
21的值，其中D 是由直线1,1,=-==x y x y 围成的平面区域
2
22222
112
2
1111
2
2
2
1111
11
1
2
1
1
1
(1)
1()(2)2
22
()(2)4.0(2)
33
x y D
D
x x
x y x x
x
ydxdy xe
ye
dxdy dx ydy xe
dx e
d y dx ydy x
e e
dx ----+---=+⋅=+=+-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式分分分分
9.设z=()y
z x z xy x
∂∂∂∂+,,1求。

10.设z=.
),,2(22y x z
，f x y x f ∂∂∂求具有二阶连续偏导数
11.计算二重积分。

R Rx y x D d y x R D
所围成的闭区域是由圆周其中)0(,22222>=+--⎰⎰
σ
12.计算σd y
x D
⎰⎰
22
，其中D 是直线。

xy x y x 所围成的闭区域以及曲线1,2=== 13.已知),,(y x xy f z -=其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
∂∂∂2 .
14.已知xyz e z y x =++，求
x z ∂∂，.
y z ∂∂ 15.计算二次定积分
⎰⎰
2
2
2
x
y dy e dx .
16.设),,(2
2
y x xy f z +=其中f 具有二阶连续偏导数求.
2y x z
∂∂∂
17.交换积分次序求dy y
xy dx x ⎰⎰+1
1
3
2
1 。

18.已知),,(xy y x f z -=其中f 具有二阶连续偏导数，求.
,2y x z
x z ∂∂∂∂∂
19.改换二次积分dx e dy y
x ⎰⎰30
3
2
的积分次序并且计算该积分。

20.化为极坐标形式，然后计算二重积分值
dy y
x dx a
A
⎰
⎰
+20
2
2
1，其中
.22x ax A -=
21.试将函数x
3展开成x 的幂级数，并求其收敛域
2
ln3ln320
1()(2)3(2),2!!(ln 3)(ln 3)31l 6n 3(2)2!!
(ln 3),(.)(1)!x n
x x x n x n
n n x x e x x e e n x x x n x x x n ∞==+++++-∞<<∞===+++++=∈-∞<<∞∑分分所以分分22.把函数()x Ln x f -=2)(在区间()。

x ，
的幂级数内展开成为22- 23. 把函数)5()(x Ln x f -=在区间（-5，5）内展开成为x 的幂级数。

24. 求级数)11(,11<<-∑∞
=-x nx n n 的和函数。

四.解答题（每题7分，共21分）
1.设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=23x y f x z ，其中f 为可微函数，证明z y z y x z x 32=∂∂+∂∂ 2332222232222322223()'()(2)3()2'()(3)'()'()(3)2(3()2'())2'()31(3(1).)z y y y y x f x f yx x f yf x x x x x
z y y x f x xf y x x
z z y y y y x y x x f yf yxf x f z x y x x x x
--∂=+-=-∂∂==∂∂∂+=-+==∂∂分分、分四 2、欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现想用36元造一个容积为最大的容器，求它的尺寸。

3.在所有对角线为d 的长方体中，求最大体积的长方体的各边之长
222222222222,,.,(1)
()(2)
20202030(2.3)(1).3
x y z V xyz x y z d L xyz x y z d L L L yz x xz y xy z x y z L x y z d x y z d λλλλλ=++==+++-∂∂∂=+==+==+=∂∂∂∂=++-====∂解：设长方体的棱长为则分构造拉格朗日含数分所以分解之得，分 4.用钢板做体积为8立方米的有盖长方体水箱，最少用料是多少平方米？
解：设水箱的长为x 米, 宽为y 米, 则其高应为xy 8米. 此水箱所用材料的面积为 )0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x y
x xy xy x xy y xy S ， 3分 令0)8(22=-=x y S x , 0)8(22=-=y x S y , 得x =2, y =2. 6分
即当水箱的长为2米、宽为2米、高为
22
28=⋅米时, 水箱所用的材料最省。

7分
5.求级数∑∞
=--1
22212n n n x n 的收敛区域以及和函数 6.在区间（-1，1）内求幂级数∑∞=+01n n
n x 的和函数。

7.求级数。

n x n n
的收敛域与和函数∑∞
=+11。