(全国版)高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系学案-人教版高三全册数学学

第2讲 两直线的位置关系
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 两条直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2.
②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直
①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2.两条直线的交点
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0
的解．
考点2 三种距离公式
1.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 1－x 2)2
＋(y 1－y 2)2
. 2.点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
3.两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋B
2.
[必会结论]
1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2
≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；
(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2.与对称问题相关的两个结论：
(1)点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
y ′－y 0
x ′－x 0
·k ＝－1，
y ′＋y
2＝k ·x ′＋x 0
2
＋b ，
可求出x ′，y ′.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |
1＋k
2
.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )
(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1
k
，且线段AB
的中点在直线l 上．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2.[课本改编]过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C.2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0
答案 A
解析 设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又经过点(1,0)，故c ＝－1，所求方程为x －2y －1＝0.
3.[2018·重庆模拟]若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )
A.1 B ．－13 C ．－2
3
D ．－2
答案 D
解析 由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2，故选D.
4.[课本改编]已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1
答案 C
解析 由题意知|a －2＋3|
2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.
5.[课本改编]平行线3x ＋4y －9＝0和6x ＋8y ＋2＝0的距离是( ) A.85 B ．2 C.115 D.75 答案 B
解析 依题意得，所求的距离等于|－18－2|62＋8
2
＝2. 6.[2018·南宁模拟]直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A.x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C.2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 答案 D
解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.
板块二 典例探究·考向突破 考向
平行与垂直问题
例1 (1)直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B ．垂直 C.相交但不垂直 D ．不能确定
答案 C
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＋m ＝0，
x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方
程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－1
2，斜率之积不等于－1，故不
垂直.
(2)[2018·金华十校模拟]“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的( )
A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行，得a 2
＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件.
触类旁通
两直线位置关系问题的解题策略
(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．
(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.
【变式训练1】 (1)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 答案 A
解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.
(2)[2018·宁夏模拟]若直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________．
答案 0或1
6
解析 因为直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－12m ＝3m －1m 或者m ＝0，∴m ＝1
6
或0.
考向
距离公式的应用
例2 [2018·潍坊模拟]已知点P (2，－1)． (1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；
(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.
若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.
由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝3
4，
此时l 的方程为3x －4y －10＝0.
综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.
(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．
由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－
1
k OP
＝2.
由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.
所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|
5
＝ 5.
(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.
触类旁通
与距离有关问题的常见类型及解题策略
(1)求距离．利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离． (2)已知距离求参数值．列方程求出参数．
(3)求距离的最值．可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值. 【变式训练2】 (1)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )
A.0 B ．1 C ．－1 D ．2 答案 A
解析 ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴
⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＝－2，|m ＋3|
5
＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)，∴m ＋n ＝0.
(2)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．
答案 －13或－79
解析 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2
＋1
，解得a ＝－13或－7
9. 考向
对称问题
命题角度1 点关于点的对称 例3 过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．
解 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，
则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，
解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.
命题角度2 点关于线的对称
例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.
答案
345
解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧
3＋n 2＝2×7＋m
2
－3，n －3m －7＝－1
2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3
5，n ＝31
5，
故m ＋n ＝34
5
.
命题角度3 直线关于直线的对称
例5 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A.x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C.x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0
答案 A
解析 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，
x －x 0＝－(y －y 0)，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝y －2，
y 0＝x ＋2，
由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 则2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 命题角度4 对称问题的应用
例6 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．
解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧
n －0m －2＝－2，
m ＋22－2·n ＋0
2
＋8＝0，解
得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝－2，n ＝8，
故A ′(－2,8)．
P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三
点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2，x －2y ＋8＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，y ＝3，
故所求的点P 的坐标为(－2，3)．
(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的
交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝12，
y ＝10，故所求的点P 的坐
标为(12,10).
触类旁通
解决对称问题的方法 (1)中心对称
①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2a －x ，
y ′＝2b －y .
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称
①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
n －b m －a ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
核心规律
1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．
2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．
3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．
满分策略
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若直线无斜率，要单独考虑．
2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的
x ，y 的系数化成相等．
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列 13——物理光学中对称思想的应用
[2018·湖南模拟]在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )
A.2 B ．1 C.83 D.4
3
解题视点 依入射光线与反射光线的对称性知，点P 关于直线BC 的对称点P 2在直线RQ
上，点P 关于直线AC 的对称点P 1也在直线RQ 上，所以点P 1，D ，P 2三点共线(D 为△ABC 的重心)，利用kP 1D ＝kP 2D 即可破解．
解析 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．
则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．
设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，
∴kP 1D ＝kP 2D ，即43
43＋m ＝4
3
－4＋m 43－4，
解得m ＝4
3
或m ＝0.
当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴m ＝4
3.
答案 D
答题启示 许多问题都隐含着对称性，要注意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.
跟踪训练
光线从A (－4，－2)点射出，射到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．
解 作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为
D ′，
则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .
故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋2
1＋2
.
即10x －3y ＋8＝0.
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1.[2018·四川模拟]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 答案 A
解析 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，即a 2
＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件.
2.若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( )
A.－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A
解析 由2m －20＝0得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0，∴p ＝－2.
又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.
3.[2018·启东模拟]不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C.(2,3) D ．(9，－4)
答案 D
解析 由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，
得定点坐标为(9，－4)，故选D.
4.P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )
A.(1,2)
B ．(2,1)
C.(1,2)或(2，－1) D ．(2,1)或(－1,2)
答案 C
解析 设P (x,5－3x )，则d ＝
|x －5＋3x －1|
12＋(－1)
2
＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故点P 的坐标为(1,2)或(2，－1).
5.[2018·绵阳模拟]若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )
A.95
B.185
C.2910
D.295 答案 C
解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线
间的距离，即|－24－5|62＋8
2
＝2910，所以|PQ | 的最小值为29
10. 6.[2018·合肥模拟]已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )
A.x －2y ＋1＝0 B ．x －2y －1＝0 C.x ＋y －1＝0 D ．x ＋2y －1＝0
答案 B
解析 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1
的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2
的方程为x －2y －1＝0.
7.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A.3 2 B ．2 2 C ．3 3 D ．4 2 答案 A
解析 ∵l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0是平行直线，∴可判断AB 所在直线过原点且与直线l 1，l 2垂直时，中点M 到原点的距离最小．∵直线l 1：x ＋y －7＝0，l 2：x ＋y －5＝0，∴两直线的距离为
|7－5|
12＋1
2
＝2，又原点到直线l 2的距离为522，∴AB 的中点M 到原点的距离的最小值为522＋2
2
＝3 2.故选A.
8.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，
如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2].
9.已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则实数a 的值是________．
答案 0或1
解析 因为直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，故有a (2a －1)＋a (－1)＝0，可知a 的值为0或1.
10.[2018·银川模拟]点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________． 答案 2 5
解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线
l 的距离取得最大值|PQ |＝ (2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2，1)到直线l 的最大距离
为2 5.
[B 级 知能提升]
1.[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )
A.x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C.x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0
答案 A
解析 因为直线AB 的斜率为
a ＋1－a
a －1－a
＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l 的方程
为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝
⎛⎭
⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所
以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A.
2.[2018·宜春统考]已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )
A.2x ＋3y －18＝0
B.2x －y －2＝0
C.3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0
D.2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D
解析 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|
k 2＋1
，
因此－5k ＋2＝k ＋6或－5k ＋2＝－(k ＋6)，
解得k ＝－2
3
或k ＝2，
故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.
3.[2018·淮安调研]已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．
答案 6x －y －6＝0
解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋4
2＋3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.
又反射光线经过点N (2,6)，
所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1
，即6x －y －6＝0.
4.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：
(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.
∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝4
3(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k 2≠0，
即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b
，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b
(1－a )＝－1.①
又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.
(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，
k 1＝k 2，即a
b
＝1－a .③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b
＝b ，④
联立③④，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23，
b ＝2.
∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3
，b ＝2.
5.[2018·合肥模拟]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得
⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－33
13，y ＝4
13.
∴A ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3313，413.
(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
2×
a ＋22－3×
b ＋0
2＋1＝0，
b －0a －2×23＝－1，
得M ′⎝
⎛⎭
⎪
⎫613，3013.
设直线m 与直线l 的交点为N ，则
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，
得N (4,3)．
又∵m ′经过点N (4,3)，
∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，
如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l ∥l ′，
∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得
|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|
22＋32
，解得C ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.
解法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为
P ′(－2－x ，－4－y )．∵点P ′在直线l 上，
∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.。