北师大版初中九年级上册数学课件 《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT优质课件
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第二章 一元二次方程
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.
B. 2
C. 4
D. 3
3. 已知－3 是一元二次方程 x2－4x＋c＝0 的一个根，则 c 的值为 －－2211 ．
4. 若 m，n 是一元二次方程 x2＋x－12＝0 的两根，则 2m2＋3m＋n 的值为 2233 ．
5. 设 x1，x2 是方程 2x2＋4x－3＝0 的两根，求(x1－x2)2 的值． 解：根据根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，x1x2＝－32， 则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×－32＝4＋6＝10.
巩固训练
1. 已知一元二次方程的两根分别是 3 和－2，则这个一
元二次方程是( C )
A. x2－x＋6＝0
B. x2＋5x－6＝0
C. x2－x－6＝0
D. x2＋x－6＝0
2. 若 x1和 x2为一元二次方程 x2＋2x－1＝0的两个根．则 x21x2＋x1x22的值为( B )
A. 4 2
解：解法一：∵关于 x 的一元二次方程 5x2＋kx－6＝0 的一个根是 x1＝2，∴5×( 2 )2＋2k－6＝0，解得 k＝－7.
又∵x1x2＝－65，即 2x2＝－65，∴x2＝－35. 综上所述，k 的值是－7，方程的另一个根是－35.
解法二：∵关于 x 的一元二次方程 5x2＋kx－6＝0 的一 个根是 x1＝2，∴5×(2)2＋2k－6＝0，解得 k＝－7.
此时方程为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－35. 综上所述，k 的值是－7，方程的另一个根是－35.
知识点 2 利用根与系数的关系求与根有关的代数式 的值
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(1)x21＋x22；
【思路点拨】将所求的代数式进行变形处理：x21＋x22＝(x1 ＋x2)2－2x1x2；
3. 求下列方程两个根的和与积：
(2)5x2＋x－5＝0. 解：方程两个根的和为－15，两根之积为－1.
例题精讲
知识点 1 利用根与系数的关系求方程的解或字母系 Байду номын сангаас的值
例1 (教材 P51T3) 已知方程 5x2＋kx－6＝0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．
【思路点拨】把 x1＝2 代入已知方程，列出关于 k 的一 元一次方程，通过解方程求得 k 的值；由根与系数的关系来 求方程的另一个根．
(二)预习反馈
1. 一元二次方程 x2＋4x－3＝0 的两根为 x1，x2，则 x1·x2 的值是( D )
A. 4
B. －4
C. 3
D. －3
2. 若关于 x 的方程 x2＋3x＋a＝0 有一个根为－1，则另 一个根为 －－22 ．
3. 求下列方程两个根的和与积： (1)x2－3x＋2＝10； 解：原方程可化为 x2－3x－8＝0，方程两个根的和为 3， 两根之积为－8.
课堂小结
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根分别是 x1，x2，则 x1＋x2＝ －ba，x1x2＝ac.这是一元二次方程根与系 数的关系， 运用这一关系可解决下列问题：
问题
方法
已知方程中的一个根，求另 利用两根之和或积列方程求解
一个根
将所给的代数式变形，使其出现 求与两根有关代数式的值
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.
B. 2
C. 4
D. 3
3. 已知－3 是一元二次方程 x2－4x＋c＝0 的一个根，则 c 的值为 －－2211 ．
4. 若 m，n 是一元二次方程 x2＋x－12＝0 的两根，则 2m2＋3m＋n 的值为 2233 ．
5. 设 x1，x2 是方程 2x2＋4x－3＝0 的两根，求(x1－x2)2 的值． 解：根据根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，x1x2＝－32， 则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×－32＝4＋6＝10.
巩固训练
1. 已知一元二次方程的两根分别是 3 和－2，则这个一
元二次方程是( C )
A. x2－x＋6＝0
B. x2＋5x－6＝0
C. x2－x－6＝0
D. x2＋x－6＝0
2. 若 x1和 x2为一元二次方程 x2＋2x－1＝0的两个根．则 x21x2＋x1x22的值为( B )
A. 4 2
解：解法一：∵关于 x 的一元二次方程 5x2＋kx－6＝0 的一个根是 x1＝2，∴5×( 2 )2＋2k－6＝0，解得 k＝－7.
又∵x1x2＝－65，即 2x2＝－65，∴x2＝－35. 综上所述，k 的值是－7，方程的另一个根是－35.
解法二：∵关于 x 的一元二次方程 5x2＋kx－6＝0 的一 个根是 x1＝2，∴5×(2)2＋2k－6＝0，解得 k＝－7.
此时方程为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－35. 综上所述，k 的值是－7，方程的另一个根是－35.
知识点 2 利用根与系数的关系求与根有关的代数式 的值
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(1)x21＋x22；
【思路点拨】将所求的代数式进行变形处理：x21＋x22＝(x1 ＋x2)2－2x1x2；
3. 求下列方程两个根的和与积：
(2)5x2＋x－5＝0. 解：方程两个根的和为－15，两根之积为－1.
例题精讲
知识点 1 利用根与系数的关系求方程的解或字母系 Байду номын сангаас的值
例1 (教材 P51T3) 已知方程 5x2＋kx－6＝0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．
【思路点拨】把 x1＝2 代入已知方程，列出关于 k 的一 元一次方程，通过解方程求得 k 的值；由根与系数的关系来 求方程的另一个根．
(二)预习反馈
1. 一元二次方程 x2＋4x－3＝0 的两根为 x1，x2，则 x1·x2 的值是( D )
A. 4
B. －4
C. 3
D. －3
2. 若关于 x 的方程 x2＋3x＋a＝0 有一个根为－1，则另 一个根为 －－22 ．
3. 求下列方程两个根的和与积： (1)x2－3x＋2＝10； 解：原方程可化为 x2－3x－8＝0，方程两个根的和为 3， 两根之积为－8.
课堂小结
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根分别是 x1，x2，则 x1＋x2＝ －ba，x1x2＝ac.这是一元二次方程根与系 数的关系， 运用这一关系可解决下列问题：
问题
方法
已知方程中的一个根，求另 利用两根之和或积列方程求解
一个根
将所给的代数式变形，使其出现 求与两根有关代数式的值